现代设计方法---优化设计

x2 d1 x1
d2
x3
d3
xk dk
xk+1
xk+1 = xk + akdk
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机械优化设计的优点
1. 使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能 2. 使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行 3. 使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能 4. 使零缺陷（废品）设计成为可能 5. 大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量 6. 大大提高了生产效率，降低了产品开发周期 1、美国BELL公司利用优化方法解决450个设计变量的大型结构 优化问题。一个机翼质量减轻了35% 2、波音公司，在747的机身设计中收到了减轻质量、缩短生产 周期、降低成本的效果。 3、武汉钢铁公司从德国引进的1700薄板轧机，经该公司自主优 10 化之后，就多盈利几百万欧元。
4
F
强度条件
M
FL w 3 0.1d M 3 0.2d
d
max
L
条件 刚度条件
FL3 64 FL3 f f 4 3EJ 3Ed
14 L Lmin 8cm
边界条件
例3 设某车间生产A和B两种产品，每种产品各有两道工序，分 别由两台机器完成这两道工序，其工时列于表中。若每台机器每 周至多工作40小时。产品A的单价为200元，产品B的单价为500 元。问每周A、B产品应各生产多少件，可使总产值为最高。 （这是生产规划的最优化问题）
可以利用一定方法，将约束形式相互转变。如 g ( xi ) 0，可转 变为 g ( xi ) 0 ；亦可转变为 g ( xi ) xi 0 。
在所需求解的问题中，有时并无约束，有时则有约束。
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• 4.设计空间及设计可行域
为便于分析、研究，应用矩阵向量的知识，可将设计模型转化 为设计空间，并在此空间内，讨论择优过程。
C D2 d
2.5~6 4~10
7 8 1.18
7~16 4~8
9 1.16
18~24 4~6
10 1.14
7~14
4 1.40
5~12
5 1.31 6
5~10
表1-2 弹簧旋绕比与曲度系数对照表
பைடு நூலகம்
C K
1.25
1.21
4C 1 0.615 制订上表的根据是曲度系数计算式 ： K 4C 4 C 在选定C后，依上表即可查得K值。如表列数值不理想，尚须 5 插值求解。
罚函数法 内点罚函数法 外点罚函数法 混合点罚函数法
不等式约束 加等式约束
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§1-2 优化设计的术语及概念
一、实际技术问题及其数学模型
例1 现有一块薄铁皮，宽度 b =14厘米，长度L = 24厘米，制成 如图所示的梯形槽，求斜边长 x 和倾角α为多大时，槽的容积 最大 。

max A
L
2
P

F —弹簧在负荷P作用下所产生的变形量 n —弹簧的有效圈数 d —弹簧材料的直径 G —弹簧材料的切变模量
3
• 根据上式，如己知或先预定 D2、 n、d、G 各参数，通过多次试算、 修改，就有可能得到压簧刚度等于或接近于 的设计参数。 P
• 刚度公式也可以写成一般的多元函数表达式，即
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• 2．表格法
这种方法始于20世纪30年代。它仍以一定的理论计算公式 为根据，参照常用离散数列及规范，预制出系统的表格，供 设计者直接查阅。目的在于简化设计过程、减少重复试算量。 如螺旋状拉、压弹簧设计中所用曲度系数表格。
表1-1 弹簧旋绕比的选择
d (mm) 0.2~0.4 0.45~1 1.1~2.2
• 3．图算法
这种方法始于20世纪40年代。 它也以一定的理论公式为根据， 建立图尺方程，确定图尺系数， 作出具有专用图线的算图。这些 专用图线，避免了函数值的离散 化，使用时也需用插值法求中间 值。 具体使用方法是：如 选 d 11 mm ，D2 41mm，先分 别在 d 线及 D2 线上找到相应的 两点，然后联结 d — D2并延长， 与 K 线相交，交点即为K 值， 等于1.44。
如将设计方案抽象为一个空间向量X，并将与之有关的各设计 变量抽象为各分向量(x1，x2，…… xn)，且各分向量线性独立， 则以各分向量为轴所构成的空间，即为设计空间。如有n个独 立的设计变量，就可相应地构成n维空间。称为n维欧氏空间， 记为En 。
x
1 (24 2 x) (24 2 x 2 x cos ) x sin 2 f ( x, ) * 0 xL
这一优化设计问题是具有两个设计变 量(即x和α)的非线性规划问题。
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图1－2
b
例2：有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷 F=1000N和扭矩M=100N· m。由于结构需要，轴的长度L不得小于 8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力[σW]=120MPa，许用扭转切 应力[τ]=80MPa，允许挠度[f]=0.01cm，密度ρ=7.8t/m3，弹性模量 E=2×105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用 料最省的方案。 1 2 优化目标 用料最省 V d L
概念：对设计变量的取值加以某些限制的条件称为约束条件。
分类：包括常量约束与约束方程两类。常量约束亦称边界约束， 它表明设计变量的允许取值范围。约束方程亦称性能约束，它 是以所选定的设计变量为自变量，利用几何关系、设计规 范，……建立起来的函数式，它常用来限制某些设计性能。约 束方程又分不等式约束和等式约束。
现代设计方法
第二部分 优化设计 （ Optimal design ）
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第一章 优化设计的基本知识
§1-1 概论
寻找最优的决策以获得最好的经济效果，就促使最优化技术 迅速发展。评价一种设计方法优劣的主要根据，是设计质量及 设计速度。设计质量取决于所用的基本理论是否正确及设计方 法恰当与否，设计速度则取决于设计方法及运算辅助工具。为 提高设计质量与设计速度，采用最佳的优化设计方法是极其重 要的。 优化设计是现代设计方法的一个重要领域，已经广泛应用到 各个领域，如在生产中，如何使成本最低？如何合理地分配资 源获得最大经济效益？如何使设计的机械在满足各项功能的前 提下，使其重量最低、造价最低等。优化设计技术的应用，成 为促进国民经济多、快、好、省地发展的有效方法。
１)连续变量：可以在实数范围内连续取值的变量。
２)离散变量：只能在给定数列或集合中取值的变量。
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• 2．目标函数
概念：以所选定的设计变量为自变量，以所要求的性能指标 为因变量，并按一定关系所建立起来的函数式。
它反映了设计性能要求与设计参数之间的关系。由于目标函 数的函数值大小可以评价设计质量的优劣，也称为评价函数。 设计变量的个数，确定了目标函数的维数。设计变量的幂及 函数的性态，确定了目标函数的性质。
工 时 工序 产品 A B 1.5 小时 5 小时 2 小时 4 小时 第一道 第二道
解： 设该车间每周应生产产品A、B分别为 x1、x2 件。则有约束 条件为： 1.5 x1 5 x2 40 而且 x1 0 , x2 0 2 x1 4 x2 40 该车间每周的总产值为最大就是目标函数，即：
• 充分条件：在x*点存在二阶连续偏导数。当 y( x* ) 0 时为 极大；当 y( x* ) 0 时为极小。 • 所确定的设计参量，即为获得最优性能所应选用的具体值。 • 实际上，绝大多数设计都非一元问题。
• 这种设计方法虽有理论意义，但较少具有实用价值。
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• 5．优化设计法 (最优化设计Optimal Design)
31.75 19.05 15.9 11.0 9.53 6.35 4.76 3.18 304 152 50.8 41 38.7 25.4 19 9.5 3.2 1.05 1.1 1.15 1.2 1.28 1.3 1.4 1.5 1.8 2.0
d
D2
K
图1-1 曲度系数K值线图
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• 4．利用一元函数极值理论的设计方法
• 式中 代表性能指标 ， 是设计参量，分别代 y 、 、 ，所以 表 、 P xi 。 •
y f ( xi )
i 1,2,, N
N 4 G d n D2 对于一个多元函数，如要求函数值一定，固然可以通过适当选 定各 值来满足要求。但在 既有一定数值范围限制又包括部 分离散量的情况下，即使经过多次试算，修改，也难获得理想 xi xi 结果。计算量也会随着试算次数的增多而加大。
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优化设计的基本思想
优化算法各种各样，但大 多数方法都是采用数值法，其 基本思想是搜索、迭代和逼近。 就是说，在求解时，从某一初 始点x0出发，利用函数在某一 局部区域的性质和信息，确定 下一步迭代的搜索方向和步长， 去寻找新的迭代点x1。然后用 x1取代x0，(对于极小化问题) d0 x1点的目标函数值应比x0点的 x0 值为小。
共轭梯度法
变尺度法 随机搜索法
单纯形加速法
共轭方向法和Powell法 Hooke-Jeeves模式搜索法 随机试验法 随机方向法 复合形法 可行方向法 等式约束 消元法
直接解法 约束非线 性规划 间接解法 Auriel-Williams法 几何规划 修正简约梯度法 分析解法 动态规划 数值解法
拉格朗日乘子法
如果所选的设计变量与所要求的性能指标之间无精确的函数 关系，亦可采用曲线拟合、多元回归或其他近似计算方法，获 得近似的函数式作为目标函数。 如果在同一设计中，需要满足一个以上的性能指标，则可分 别建立一个以上的目标函数表达式，并以之作为初始模型。这 种目标函数称为多目标函数。
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• 3．约束条件
• 这种方法始于20世纪40年代末，目的在于获得理论上的最优 设计性能，是优化设计的萌芽。 • 如某一设计的性能指标为 函数关系
y ，诸设计参量为 x i ，并保持一定
y f ( xi )
i 1,2,, n
• •
y 的极大值或极小值，表征了设计的最优性能 必要条件： y( x* ) 0
优化设计的分类
根据优化问题的不同特征，可有不同的分类方法。
(1) 按有无约束：无约束优化问题和有约束优化问题。 (2) 按设计变量的性质：连续变量、离散变量和带参变量。 (3) 按问题的物理结构：优化控制问题和非优化控制问题。 (4) 按模型所包含方程式的特性：线性规划、非线性规划、二 次规划和几何规划等。 (5) 按变量的确定性性质：确定性规划和随机规划。
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匈牙利法 线性规划 整数规划 隐枚举法 割平面法
标准单纯形法
单纯形法 修正单纯形法 对偶单纯形法 牛顿法 分数法
0.618法
一维搜索法 平分法
抛物线法
常 用 优 化 方 法 的 分 类
三次插值法 有理插值法
坐标轮换法
无约束非 线性规划 优 化 方 法 不使用导数 非线性规划
一阶梯度法
使用导数 牛顿法
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优化设计的改进历史：
•
1．试算法
这种方法始于20世纪20代末。试算法以一定的理论公式为 根据，利用已知或假定的技术条件，通过多次试算、修改， 最终获得适用的设计参数。 例如，设计一个刚度P 一定的圆柱形螺旋压簧，可以根据 下列刚度公式进行试算： P Gd 4
3 F 8nD2 式中 d 3 0 P —弹簧所受的轴向负荷， P 8KD2 D —弹簧的平均直径，简称中径
起源：始于上世纪50年代末，而普及应用于70年代 概念：是以数学规划理论为基础，以电子数学计算为辅助工具的 一种设计方法 原理：将优化技术应用于设计过程之中，最终获得较理想的设计 参数，由于这种设计一般多在完成初始设计之后进行，最终获 得优化参数及结果，故称之为优化设计。 分类：一为直接法（数值法）：直接计算函数值、比较函数值， 并以之作为迭代，收敛根据的方法。 二为间接法（解析法）： 以多变量函数极值理论为依据，利用函数性态、以之作为迭代， 收敛根据的方法。两种方法的择优、运算过程，皆按预编程序 在计算机上进行。故在有的技术领域中，亦将此过程称之为自 动设计。
S 200x1 500x2 max f ( x1 , x2 )
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二、术语
• 1．设计变量
概念：设计变量是设计模型的基本成分，是设计最后所需确 定的参数。设计变量的个数，即是所需求解问题的维数。 确定原则：在满足设计基本要求的前提下，应恰当确定设计 变量的数目，尽可能把影响不大的参数定为设计常量，只把 对目标函数影响较大的独立参数选为设计变量。 设计变量的分类：