函数的极限函数的连续性

xxo
xxo
lim [ f (x)]n [lim f (x)]n
xxo
xxo
这些法则对于的情况仍然适用
函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在
点x=x0处有定义，
lim
x x0
f(x)存在，且
lim
x x0
f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0
处连续
函数f(x)在(a，b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一 点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b) 内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续 函数
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
xxo
xxo
那么,
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B lim f (x) A (B 0)
xxo
xxo g(x) B
当C是常数，n是正整数时 lim [Cf (x)] C lim f (x)
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
函数的极限、函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
3x2 1 lim x (x 1)3
lim x 2 1 x2 x2 x 2
x2 1
lim
x1
2x2
x
1
lim ( x2 3 1 ) x1 x 2 1 x 1
（1）讨论函数
f（x）=
1 0
(x 0), (x 0),在点x 0处的连续性;
1 (x 0)
（2）讨论函数f（x）= ［0,3］上的连续性
x x3
在区间
例7 讨论下列函数在给定点处的连
续性 （1）f (x) x2 4
x2
点x 2 ；
（2）f (x)
x 2
1,0 x,1
x x
1，
3
点 x 1 ；
极限问题的基本类型：
分式型，主要看分子和分母的首项系 数指各；数式型有(极00限和； 型），通过变形使得 根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使 得各式有极限；
例1 求下列各极限
lim
x2
(
4 x2
4
x
1
) 2
x lim x0 | x |
lim
xπ 2
co
s
cos x 2
x s in
x 2
.
例2求下列函数的极限：
函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端
点x=a处有 xlimaf(x)=f(a)，在右端点x=b
处有
lim
xb
f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区
间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，
b］上的连续函数
最大值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对 于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在 点x1处有最大值f(x1) 最小值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对 于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在 点x2处有最小值f(x2) 最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那 么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值
记作 lim f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a x
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x
f(x)→a
常数函数f(x)=c(x∈R)，有lim f(x)=c
lim f(x)存在，表示
x
lim
x
f(x)x和xlim
f(x)
都存在，且两者相等所以f(x)中的∞既
有+∞，又有－∞的意义，而数列极限
an中的lxim∞仅有+∞的意义
趋向于定值的函数极限概念：
当自变量无限趋近于x0（ x x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就 说当x趋向x0时，函数y=f(x)的极限是a， 记作特别地， lim f (x) a；