第13章第1节平面点集

O(
M
0
,
)＝
(
x
,
y)
(x
x0 )2
y
y0 2
。
M
．
0
在几何上表示一个以M0为圆心,以为半径的圆内部,
但不包含圆周本身.
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§13.1. 平面点集
1.定义:(点列收敛)
设平面点列{Mn} {( xn, yn )}, M0 x0, y0 .
如果对M 0的任何一个邻域O( M 0 , ）,
存在N ,当n N时，有 Mn O(M0, ),
就称
M
n收敛，并且收敛于M
，
0
记为
lim
n
Mn
M0.
即 xn, yn x0, y0 n
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§13.1. 平面点集
点列收敛也可以用不等式表示为:
xn, yn x0, y0 0, N ,当n N时，
有
xn x0 2 ( yn y0 )2 .
(2) 设Mn M, Mn M n ，{Mn}收敛于不同的两点。
则 0，正整数N，当n N时，有
r
Mn, M
, 2
r
Mn, M
. 2
当n N时,
r M, M r Mn, M r Mn, M
这表明 M M 。
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§13.1. 平面点集
二、开集、闭集、区域
设E是一个平面点集.
9.有界：设D是一集合，如果存在M 0,使得D O(0, M ),
就称D是有界的.
M1 E
M2
E E1 E2
· M1 E1
· M2 E2
区域
不是区域
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§13.1. 平面点集
三、平面点集的几个基本定理
矩形套定理： 设an x bn,cn y dn是矩形序列,
其中每一个矩形都含在前一个矩形中，
Chapt 13§. 1多3.元1.函平数面的点极集限与连续
教学目的：
本章在平面点集相关概念基础上建 立多元函数及其极限和连续概念和理论， 为学习多元函数微积分学奠定基础。
教学重点难点：
多元函数极限和连续概念和理论。
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Chapt 13§. 1多3.元1.函平数面的点极集限与连续
教学内容：
§1. 平面点集
x2 y2 4
（x, y) 1 x2 y2 4 ;
E的外点全体为
x2 y2 1
o
x
（x, y) x2 y2 1 或 x2 y2 4
E的边界为
（x, y) x2 y2＝1或x2 y2 4 .
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§13.1. 平面点集
例2. 设E x, y x Q且y Q, 则E的内点全体为,
有限覆盖定理：若一开矩形集合＝ x , y 覆盖一有界闭区域，那么从里，必可选
出有限个开矩形，它们也能覆盖这个区域。
收敛原理：平面点列Mn有极限的充分必要条件是：
0,N ,当m,n N时，有r(Mn, Mm ) .
三、作业: p142. 2. 4
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M •
就称M0是E的聚点。
M
任意邻域内都有
0
E的无限多个点
.
性质: 设M0是E的聚点，则在E中存在一个点列Mn以
M
为极限.
0
E {(x, y) | x2 y2 1},它的内点和界点都是E的聚点.
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§13.1. 平面点集
例1. 设E （x, y) 1 x2 y2 4 . y
则E的内点全体为
•
M0 (x0, y0)
并且 bn an 0, dn cn 0,
那么有唯一的一点M0 x0, y0 ，
使得an x0 bn , cn y0 dn , n 1, 2,L
致密性定理：如果序列 Mn xn, yn 有界，那么从
其中必能选取收敛的子列.
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§13.1. 平面点集
xn x0 , yn y0 .
“”。设xn x0, yn y0 n .
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§13.1. 平面点集
则 0，正整数N，当n N时，有
xn
x0
, 2
yn y0 2
于是当n N时, 有
xn x0 2 yn y0 2 ,
xn, yn x0, y0 .
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§13.1. 平面点集
2.性质
（1） xn , yn x0, y0 xn x0, yn y0. (2) 若Mn收敛，则它的极限为一。
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§13.1. 平面点集
证（1）“”.设 xn, yn x0, y0 . 则 0，
正整数N，当n N时，有
xn x0 2 yn y0 2 ,
更有 xn x0 , yn y0
E的外点全体为, E的边界为R2.
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§13.1. 平面点集
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7.闭集： 若E的所有聚点都在E内，就称E是闭集.
E ( x, y) x2 y2 1 是闭集.即包含边界的点集.
8.区域：
设E是一个开集，并且E中任意两点M1和M
之间
2
都可以用折线连接起来，且折线都在E中，就称E
是区域. 区域加上它的边界就是闭区域.
即M 的任意邻域内既有 E的点又有非 E的点.
4边界： E的边界点全体叫做E的边界.
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§13.1. 平面点集
5.开集：若E的点都是E的内点，则称E是开集.
E ( x, y) x2 y2 1 是开集.
M1•
E
6.聚点：设M0 R2 .如果 0,有
M 0•
O(M0 , ) I (E \ M0) ,
1.内点: 设M0 E.如果存在 0,使得O(M0, ) E,
就称M0是E的内点.
2.外点：设M1 E.如果存在 0,使得O(M1, ) I E ,
就称M1是E的外点.
3.界点：设M* R2 .如果 0,都有O(M*, ) I E ,
O(M*, ) I (R2 \ E) ,就称M*是E的边界点.
§2. 多元函数的极限 和连续性
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§13.1. 平面点集
一、邻域、点列的极限 平面上任何两点M1( x1, y1 )和M（2 x2 , y2 )之间的距离
r(M1, M2 ) ( x1 x2 )2 y1 y2 2
凡是与M 0(x0 ,y0 )的距离小于的那些点M 组成的平面点集，
叫做M0的 邻域，记为O(M0 , ), 即