混沌通信系统
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• 研究表明，Logistic映射的动态行为与外部参数r(又 称为分形参数)密切相关，随着r的不同，Logistic映 射呈现出鲜明的周期性或混沌态。具体来讲， 0<r<3.5699456时，序列{xk}呈现出周期为2^m(对某 些m)的周期性。当3.5699456<r<4时，Logistic映射工 作于混沌态，此时由Logistic映射产生的序列{xk: k=0,1,2,…}是非周期、非收敛、对初始值十分敏感。
• 6.混沌吸引子具有正的李雅普诺夫指数，而一般的吸引子 不会出现正的李雅普诺夫指数，这一区别显然和第2点中 所表述的对初始值的敏感性有密切的关系。具有多个正的 李雅普诺夫指数的奇怪吸引子称为超混沌吸引子。 • 7.由于混沌吸引子具有正的李雅普诺夫指数，轻微的扰动 就会引起轨道偏离，因而要想获得某一根轨道的准确信息 是很难的。另一方面，一些数学和实验的证据表明能够为 混沌吸引子找到轨道点的概率密度分布函数，从而提供一 种统计度量，一旦找到这种不变概率密度分布函数，就可 以确定出诸如某轨道时间序列的均值和均方值等统计意义 上的量度值。
混沌通信系统
CHAOTIC COMMUNICATIONS SYSTEM
面临的挑战
• 水声信道的多径效应使信号产生严重衰落，是 影响水声通信系统性能的主要因素。 • 解决办法：扩频技术、均衡技术、分集技术等。 传统扩频码有一定的局限性: • 在扩频增益一定的情况下，可用的地址码数目 有限; • 部分互相关时，其相关函数性能迅速下降。
不动点
• 对一个映射来说，如果存在点x*，满足 则称x*为映射的不动点。 •离散映射的不动点类似微分方程解的定态。定态有稳定性问 题，不动点也有稳定性问题，即不动点可能是稳定的，也可 以是不稳定的。设外界影响使x值稍许偏离x*一极小量，即:
• 推出 • 由于 很小，所以上式只需要保留一次项
•所谓稳定性，自然要求经过迭代后的 越来 越小，因此离散映射的稳定性条件是：
混沌信号
• 混沌信号是有界的确定性类随机信号
• 特点： • 1.从时域表现形式来讲，混沌信号具有类随机 信号的特性，即它看起来非常像是随机信号， 但它终归不是随机信号，因为一旦给定产生混 沌信号的确定性系统的初始值，这个混沌信号 是唯一确定的。
• 2.从时域行为可重现、可预测的角度来讲，周期解(概周期 解)对初始值的扰动是不敏感的，因而很小的初始值扰动 不会使它们偏离原来的解很远，也就是说，周期解(概周 期解)的重现性好，具有可预测性，而混沌解则不然，它 对初始值的扰动是非常敏感的，因而很小的初始值扰动会
轨迹通过N次迭代以后其间隔扩展的程度。 • 利用Lyapunov指数可以判断哪些映射可能产生混沌，哪些 不能。对混沌映射来说，经过迭代，两条原来十分接近的 轨迹将逐渐分离开来，其间隔越来越大，即 >l，
必定存在
>0。所以，存在正的Lyapunov指数是混沌
的主要特征，通过Lyapunov指数的符号来判断是否可能产 生混沌。
混沌系统的测度
• • • •
• • • •
(1)不动点(Fixed-point) (2)李亚普诺夫指数(Lyapunov Exponent) (3)不变测度 (Invariant Measure); (4)序列的相关特性(相关函数Correlation Function) (5) 功率谱密度 (6)关联维数 (7)分岔图 (8)测度熵
•满足上面不等式时说明该映射产生的序列是 收敛的。
Lyapunov指数
• 描述了初始值受到轻扰的混沌轨迹以指数速度迅速分离开 来的程度，是混沌对初始值敏感性的定量描述。N次迭代 后 是两个点间的距离
当 趋向于零，N趋向于无穷大时，就能得到一个Lyapunov 指数的正规表达式：
• 这说明，
是一个平均因子，它表示两个十分接近的
• 也可以计算Logistic映射的Lyapunov指数:
Logistic映射参量分析结论
• 从以上计算中看到，迭代产生的Logistic混 沌序列均值为零，自相关是delta函数，互 相关为零。其概率统计特性与白噪声一致， 因此，Logistic混沌序列可以用作噪声调制， 适合于在扩频通信中作为扩频序列。
• 通信的一个研究发展方向是组建水声通信 网络水声网络UAN- Underwater Acoustic Networks，CDMA方案将成为撇的首选。 • 尽管跳频扩频 (FHSS)可以抗多径和Doppler 扩展，但在低信噪比下性能不如DS-CDMA。 因此，水声扩频通信中主要采用DS-CDMA.
• 用于FH和DS的伪随机序列与混沌序列的不同点在于 伪随机序列的长度是有限的，可用的序列也是有限 的;混沌产生器则可以产生无限长的序列并且永不重 复，随机序列的长度越长，保密的等级越高。因此， 在用户不断增加的网络通信、保密通信和个人通信 中，混沌扩频通信方式有其独特的优势。 • 混沌扩频通信的另一大优点是将混沌序列用作地址 码，混沌序列对初始条件的灵敏依赖性转变成了无 限多的地址码，而地址码的初值是可以预先确定的， 避免了混沌序列对初始值的灵敏依赖而造成系统同 步困难。
• 迭代生成的Logistic混沌序列{xk : k=0，l，2，…}， 其不变测度为:
• 均值
• 自相关函数AC(m)，当自相关间隔m=0时
• 所以，Logistic映射产生的混沌序列的自相关函数为:
• 当自相关间隔m 0时
• 独立选取两个初始值，若迭代产生的两条 轨迹无移位重叠，则序列的互相关系数为:
一维混沌映射
• • • • Tent映射 Logistic映射 Chebyshev 映射 Bernoulli映射
高维混沌映射
• Henon映射 • Lorenz方程 • Chen’s方程
Logistic映射
• Logistic映射是在实际系统中存在的最简单的非 线性差分方程，是一个被广泛研究的动态系统， 它能够表现出混沌行为，在某些应用中它被当 作伪随机数发生器。其表达式为
混沌多址通信
• CTDMA：时分多址是将每一时间段分成若干时隙， 不同的用户占用不同的时隙，系统利用随机跳动的 开关将各个用户的信息取样，调制后传输到接收端; 接收端解调后，利用与发射端同步跳动的开关恢复 出原始信息。开关跳动的规律是由随机序列决定的。 • CFDMA：与时间复用相对应，频分复用是不同用户 占用不同的频段，载波频率跳变的规律也是由随机 序列决定的。 • CCDMA：时如果将伪随机序列改为混沌序列即为相 应混沌多址方式。码分多址是依靠相互正交的码序 列来区分不同用户的，序列的相关性直接影响系统 的性能。选择相关性能优于伪随机序列的混沌序列 作为地址码，不仅可以增加系统的保密性，而且可 以增加用户量，提高系统性能。
混沌序列的优势归纳
混沌序列的优势：
• 对初始值和参数的极端敏感性，使其数目 众多;
• 随着序列长度的增加，混沌序列的自相关 和互相关函数的统计值可以接近于理想值; • 混沌序列具有伪随机特性。
一维混沌映射
• • • • Tent映射 Logistic映射 Chebyshev 映射 Bernoulli映射
使它偏离原来的解很远，也就是说，混沌解的重现性很差，
不具有长期可预测性，当然，确定性的产生机理使得混沌 解具有短期的可预测性。
• 3.从相关性的角度来分析会发现，混沌信号的相关函数类 似于随机信号的相关函数，具有类似冲激函数的特性，而 周期信号(概周期信号)的相关函数也是周期的(概周期的)。 • 4.从频域表现形式来讲，混沌信号的频谱与随机信号的频 谱类似，表现为连续频谱，而周期信号(概周期信号)的频 谱表现为离散的谱线。 • 5.从相空间来看，周期信号在相空间的吸引子表现为环， 概周期信号在相空间的吸引子表现为环面，环和环面都具 有整数维数，而混沌信号在相空间的吸引子表现为几何结 构非常复杂的具有分数维的奇怪吸引子。
高维混沌映射
• Henon映射 • Lorenz方程 • Chen’s方程
混沌系统的刻画
• 时间离散的混沌系统，它的时间演化规律 用非线性确定性差分方程NDDE(Nonlinear Deterministic Difference Equations)来描述。
• 其中， 是n维向量，也称为状态，J是状态空 间，f把当前状态xk映射成下一状态xk+1。以初始值x0 开始迭代得到的序列{xk :k=0,1,2… L}称为此时间离散 动态系统的一条轨迹。这里特别要提到的是外部控 制参数 ，在选择合适的值的情况下，该非线性确 定性差分方程将呈现出混沌行为。
Biblioteka Baidu沌
• 混沌运动是指确定性系统中局限于有限相 空间的高度不稳定的运动，通常采Lyapunov 指数描述轨道稳定性。所谓高度不稳定， 是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分 离。由于这种不稳定性，系统的长时间行 为会显示出某种混乱性，在时间或相空间 将呈现典型的随机行为。简单地讲，混沌 信号是由确定系统产生的类似随机的信号。
混沌理论在通信中的应用
• 混沌扩频 • 混沌键控 • 混沌掩盖
混沌扩频
• 扩频通信方式主要包括跳频（FH）和直接序列 扩频（DS）两种。 • 直接序列扩频是利用伪随机序列对数字信号进 行相位调制来完成的，跳频则是将可用的频段 分成N个频道，利用伪随机序列控制系统频率 在N个频道之间跳变形成的。 • 扩频通信系统传输信息所占用的带宽远远大于 信息本身带宽，以此为代价而产生的扩频通信 的优点有:抗阻塞、抗截获、可实现多用户随 机访问通信，并具有抵抗多用户干扰的能力。
Logistic映射对初值的敏感性
• 现以Logistic映射来说明混沌序列对初始值的敏感性。对 Logistic映射取两个靠的很近的初始值分别为x10=0.12001、 x20=0.12005，由图可见，两条轨迹经过大约20次迭代就 完全分开。
• 6.混沌吸引子具有正的李雅普诺夫指数，而一般的吸引子 不会出现正的李雅普诺夫指数，这一区别显然和第2点中 所表述的对初始值的敏感性有密切的关系。具有多个正的 李雅普诺夫指数的奇怪吸引子称为超混沌吸引子。 • 7.由于混沌吸引子具有正的李雅普诺夫指数，轻微的扰动 就会引起轨道偏离，因而要想获得某一根轨道的准确信息 是很难的。另一方面，一些数学和实验的证据表明能够为 混沌吸引子找到轨道点的概率密度分布函数，从而提供一 种统计度量，一旦找到这种不变概率密度分布函数，就可 以确定出诸如某轨道时间序列的均值和均方值等统计意义 上的量度值。
混沌通信系统
CHAOTIC COMMUNICATIONS SYSTEM
面临的挑战
• 水声信道的多径效应使信号产生严重衰落，是 影响水声通信系统性能的主要因素。 • 解决办法：扩频技术、均衡技术、分集技术等。 传统扩频码有一定的局限性: • 在扩频增益一定的情况下，可用的地址码数目 有限; • 部分互相关时，其相关函数性能迅速下降。
不动点
• 对一个映射来说，如果存在点x*，满足 则称x*为映射的不动点。 •离散映射的不动点类似微分方程解的定态。定态有稳定性问 题，不动点也有稳定性问题，即不动点可能是稳定的，也可 以是不稳定的。设外界影响使x值稍许偏离x*一极小量，即:
• 推出 • 由于 很小，所以上式只需要保留一次项
•所谓稳定性，自然要求经过迭代后的 越来 越小，因此离散映射的稳定性条件是：
混沌信号
• 混沌信号是有界的确定性类随机信号
• 特点： • 1.从时域表现形式来讲，混沌信号具有类随机 信号的特性，即它看起来非常像是随机信号， 但它终归不是随机信号，因为一旦给定产生混 沌信号的确定性系统的初始值，这个混沌信号 是唯一确定的。
• 2.从时域行为可重现、可预测的角度来讲，周期解(概周期 解)对初始值的扰动是不敏感的，因而很小的初始值扰动 不会使它们偏离原来的解很远，也就是说，周期解(概周 期解)的重现性好，具有可预测性，而混沌解则不然，它 对初始值的扰动是非常敏感的，因而很小的初始值扰动会
轨迹通过N次迭代以后其间隔扩展的程度。 • 利用Lyapunov指数可以判断哪些映射可能产生混沌，哪些 不能。对混沌映射来说，经过迭代，两条原来十分接近的 轨迹将逐渐分离开来，其间隔越来越大，即 >l，
必定存在
>0。所以，存在正的Lyapunov指数是混沌
的主要特征，通过Lyapunov指数的符号来判断是否可能产 生混沌。
混沌系统的测度
• • • •
• • • •
(1)不动点(Fixed-point) (2)李亚普诺夫指数(Lyapunov Exponent) (3)不变测度 (Invariant Measure); (4)序列的相关特性(相关函数Correlation Function) (5) 功率谱密度 (6)关联维数 (7)分岔图 (8)测度熵
•满足上面不等式时说明该映射产生的序列是 收敛的。
Lyapunov指数
• 描述了初始值受到轻扰的混沌轨迹以指数速度迅速分离开 来的程度，是混沌对初始值敏感性的定量描述。N次迭代 后 是两个点间的距离
当 趋向于零，N趋向于无穷大时，就能得到一个Lyapunov 指数的正规表达式：
• 这说明，
是一个平均因子，它表示两个十分接近的
• 也可以计算Logistic映射的Lyapunov指数:
Logistic映射参量分析结论
• 从以上计算中看到，迭代产生的Logistic混 沌序列均值为零，自相关是delta函数，互 相关为零。其概率统计特性与白噪声一致， 因此，Logistic混沌序列可以用作噪声调制， 适合于在扩频通信中作为扩频序列。
• 通信的一个研究发展方向是组建水声通信 网络水声网络UAN- Underwater Acoustic Networks，CDMA方案将成为撇的首选。 • 尽管跳频扩频 (FHSS)可以抗多径和Doppler 扩展，但在低信噪比下性能不如DS-CDMA。 因此，水声扩频通信中主要采用DS-CDMA.
• 用于FH和DS的伪随机序列与混沌序列的不同点在于 伪随机序列的长度是有限的，可用的序列也是有限 的;混沌产生器则可以产生无限长的序列并且永不重 复，随机序列的长度越长，保密的等级越高。因此， 在用户不断增加的网络通信、保密通信和个人通信 中，混沌扩频通信方式有其独特的优势。 • 混沌扩频通信的另一大优点是将混沌序列用作地址 码，混沌序列对初始条件的灵敏依赖性转变成了无 限多的地址码，而地址码的初值是可以预先确定的， 避免了混沌序列对初始值的灵敏依赖而造成系统同 步困难。
• 迭代生成的Logistic混沌序列{xk : k=0，l，2，…}， 其不变测度为:
• 均值
• 自相关函数AC(m)，当自相关间隔m=0时
• 所以，Logistic映射产生的混沌序列的自相关函数为:
• 当自相关间隔m 0时
• 独立选取两个初始值，若迭代产生的两条 轨迹无移位重叠，则序列的互相关系数为:
一维混沌映射
• • • • Tent映射 Logistic映射 Chebyshev 映射 Bernoulli映射
高维混沌映射
• Henon映射 • Lorenz方程 • Chen’s方程
Logistic映射
• Logistic映射是在实际系统中存在的最简单的非 线性差分方程，是一个被广泛研究的动态系统， 它能够表现出混沌行为，在某些应用中它被当 作伪随机数发生器。其表达式为
混沌多址通信
• CTDMA：时分多址是将每一时间段分成若干时隙， 不同的用户占用不同的时隙，系统利用随机跳动的 开关将各个用户的信息取样，调制后传输到接收端; 接收端解调后，利用与发射端同步跳动的开关恢复 出原始信息。开关跳动的规律是由随机序列决定的。 • CFDMA：与时间复用相对应，频分复用是不同用户 占用不同的频段，载波频率跳变的规律也是由随机 序列决定的。 • CCDMA：时如果将伪随机序列改为混沌序列即为相 应混沌多址方式。码分多址是依靠相互正交的码序 列来区分不同用户的，序列的相关性直接影响系统 的性能。选择相关性能优于伪随机序列的混沌序列 作为地址码，不仅可以增加系统的保密性，而且可 以增加用户量，提高系统性能。
混沌序列的优势归纳
混沌序列的优势：
• 对初始值和参数的极端敏感性，使其数目 众多;
• 随着序列长度的增加，混沌序列的自相关 和互相关函数的统计值可以接近于理想值; • 混沌序列具有伪随机特性。
一维混沌映射
• • • • Tent映射 Logistic映射 Chebyshev 映射 Bernoulli映射
使它偏离原来的解很远，也就是说，混沌解的重现性很差，
不具有长期可预测性，当然，确定性的产生机理使得混沌 解具有短期的可预测性。
• 3.从相关性的角度来分析会发现，混沌信号的相关函数类 似于随机信号的相关函数，具有类似冲激函数的特性，而 周期信号(概周期信号)的相关函数也是周期的(概周期的)。 • 4.从频域表现形式来讲，混沌信号的频谱与随机信号的频 谱类似，表现为连续频谱，而周期信号(概周期信号)的频 谱表现为离散的谱线。 • 5.从相空间来看，周期信号在相空间的吸引子表现为环， 概周期信号在相空间的吸引子表现为环面，环和环面都具 有整数维数，而混沌信号在相空间的吸引子表现为几何结 构非常复杂的具有分数维的奇怪吸引子。
高维混沌映射
• Henon映射 • Lorenz方程 • Chen’s方程
混沌系统的刻画
• 时间离散的混沌系统，它的时间演化规律 用非线性确定性差分方程NDDE(Nonlinear Deterministic Difference Equations)来描述。
• 其中， 是n维向量，也称为状态，J是状态空 间，f把当前状态xk映射成下一状态xk+1。以初始值x0 开始迭代得到的序列{xk :k=0,1,2… L}称为此时间离散 动态系统的一条轨迹。这里特别要提到的是外部控 制参数 ，在选择合适的值的情况下，该非线性确 定性差分方程将呈现出混沌行为。
Biblioteka Baidu沌
• 混沌运动是指确定性系统中局限于有限相 空间的高度不稳定的运动，通常采Lyapunov 指数描述轨道稳定性。所谓高度不稳定， 是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分 离。由于这种不稳定性，系统的长时间行 为会显示出某种混乱性，在时间或相空间 将呈现典型的随机行为。简单地讲，混沌 信号是由确定系统产生的类似随机的信号。
混沌理论在通信中的应用
• 混沌扩频 • 混沌键控 • 混沌掩盖
混沌扩频
• 扩频通信方式主要包括跳频（FH）和直接序列 扩频（DS）两种。 • 直接序列扩频是利用伪随机序列对数字信号进 行相位调制来完成的，跳频则是将可用的频段 分成N个频道，利用伪随机序列控制系统频率 在N个频道之间跳变形成的。 • 扩频通信系统传输信息所占用的带宽远远大于 信息本身带宽，以此为代价而产生的扩频通信 的优点有:抗阻塞、抗截获、可实现多用户随 机访问通信，并具有抵抗多用户干扰的能力。
Logistic映射对初值的敏感性
• 现以Logistic映射来说明混沌序列对初始值的敏感性。对 Logistic映射取两个靠的很近的初始值分别为x10=0.12001、 x20=0.12005，由图可见，两条轨迹经过大约20次迭代就 完全分开。