线性代数第一章 第一节线性方程组的消元法

第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换

◆线性方程组的消元法

◆矩阵的的初等变化

引例（物资调运问题）

ij

C j B i A 12,,B B 有三个生产同一产品的工厂

其年

产量分别为40、20和10，单位为吨；该产品每年有两个用户其用量分别为45和25，单位为吨；由各产地到各用户的距离为（千米）

假设每吨货物每千米的运费为1（元），问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？

123,,,

A A A ()

1,2,3;1,2i j ==

表

C ij A1A2A3 B1455892 B2587236

14253640,(1)20,(2)10.

(3)

x x x x x x +=+=+=1. 对产地来讲，产品全部调出，因而有

解：假设到的产品数量，到的产品数量，到的产品数量；3个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以：2A 1A 3A 12,B B 12,B B 25,x x 12,B B 36,x x 14,x x

12345645,(4)25.

(5)

x x x x x x ++=++=123456455892587236.

(6)

S x x x x x x =+++

++2. 对用户来讲，调查的产品刚好为其所需，因而有：

3. 考虑总运费S ：

（1）－（5）每个方程都是线性方程，几个线性方程联立在一起，称之为线性方程组.

因此方程（1）－（5）构成6个未知数5个方程的线性方程组.

不少实际问题可以化为线性方程组的问题.这样的方程组所包含的未知数的个数不只是一个两个，而是更多.

因此，为了解决这类问题需要讨论含有个n个未知数m个方程的线性方程组.

11112211211222221122

(7)

n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 形式如下：

它是第个方程中第个未知量的系数；

i j j x ij a (1,2,,;1,2,)i m j n == 这里

为已知数i b (1,2,,)

i m = i 是已知数，称为第个方程的常数项。

当线性方程组（7）的常数项均为零时，则我们称它为齐次线性方程组，否则，称为非齐次线性方程组

所谓方程组（7）的一个解就是指个数

n 1122,,,n n

x x x ξξξ=== 12n ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪=

⎪ ⎪⎝⎭

组成的有序数组

方程组（7）的解的全体称为它的解集合解方程组实际上是找出它的全部解;如果两个方程组有相同的解集合，它们就称

为是同解的.

2、线性方程的线性组合线性方程的加法：

式与式的和

(11)(12)1111221121122222

,n n n n a x a x a x b a x a x a x b +++=+++= (11)(12)

()()()()

11211122221212n n n a a x a a x a a x b b ++++++=+ (13)

线性方程乘常数：

()()()11112211

n n a x a x a x b λλλλ+++= 线性方程的线性组合：

()()()()

1112211112222211221122n n n a a x a a x a a x b b λλλλλλλλ++++++=+ (14)

注意为任意常数，也可以为0.λ式与

式的一个线性组合。(11)(12)其中为任意常数。

12,λλ

两个线性方程组（1）和（2），如果

方程组（2）中的每个方程都是方程组（1）中的方程的线性组合，就称方程组（2）

是方程组（1）的线性组合。

方程组（1）的每一个解都是方程组（2）

的解。

如果方程组（1）和方程组（2）互为线性组合，就称这两个方程组等价（可互推）。

将方程组（1）变成同解方程组（2）的过程称为同解变换。

1231231

32314254(8)

226x x x x x x x x -+=⎧⎪

++=⎨⎪+=⎩1232323231425x x x x x x x -+=⎧⎪

-=⎨⎪-=⎩

例1解线性方程组（消元法）

解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成

将上面的第二个方程与第三个方程互换，即得

1232323231542x x x x x x x -+=⎧⎪

-=⎨⎪-=⎩

将第三个方程减去第二个方程的4倍，得

1232332315318x x x x x x -+=⎧⎪

-=⎨⎪=-⎩

将第三个方程两边乘，得

13

1232332315(9)

6x x x x x x -+=⎧⎪

-=⎨

⎪=-⎩

将第一个方程减去第三个方程的3倍，第二个

方程加上第三个方程，得

122

321916

x x x x -=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩

将第一个方程加上第二个方程,得

1

2321816x x x =⎧⎪

=-⎨⎪=-⎩

将第一个方程两边乘得

1

2

123

916x x x =⎧⎪

=-⎨⎪=-⎩即：12391(10)

6x x x ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪=- ⎪ ⎪

⎪ ⎪-⎝⎭

⎝⎭