非线性波方程的行波解——辅助方程法理论与应用(斯仁道尔吉著)思维导图
数学物理方法课件第七章-----行波法
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
• 考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：
这里“无界”的理解： 如果考察的弦线长度很 长，而需要知道的 又仅仅是在较短的、离 开边界很远的一段范围 内的振动情况，则 远处的边界条件可以忽 略，可以那弦线的长度 视为无限或无界。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
两边再对积分，得
x at x at
u ( , ) f ( )d G ( ) F ( ) G ( ) 还原自变量，得到①的 通解为 u ( x, t ) F ( x at) G ( x at) ⑤ 其中，F ( )和G ( )为任意函数。
故 只 要 遇 到形 如 § 7.1中 的 定 解 问题 ( Ⅰ )的 问 题 ， 或 者 变 形 后 够 能化 为 这 类
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
例2：使用行波法求解定解 问题 utt a 2u xx 0, - x , t 0 1 u | 0 , u | t t 0 t 0 1 x2 解：本例题为一维波动 方程的标准形式，可以 直接使用达朗贝尔 公式求解。 这里 ( x) 0, ( x) 1 , 故由达朗贝尔公式得 2 1 x
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
第七章-行波法
的物理意义
u2 f2 ( x)
u2 f 2 ( x a / 2)
a
a 2
u2
a
3a 2
u2
x
x
t 1
t 2
u2 f 2 ( x a)
u2 f 2 ( x 2a)
0
u2
2a
x
a
3a
x
随着时间 t 的推移，u2 f2 ( x at ) 的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动，所以表示一
(t x / a) (t x / a)
(t x / a)
1 1 ( )d 2a x at 2a 1 2a
x at
x at
x at
0
1 1 ( )d ( )d 2a x at 2a
0 x at
0
x at
0
1 ( )d ( )d 2a x at
数学物理方程与特殊函数
第7章 - 行波法
2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次 二阶偏微分方程。 3 适用范围： 无界域内波动方程，等…
由一维波动方程建立通解公式，然后得到Cauchy问题解的表达式
数学物理方程与特殊函数
（一）波动方程的达朗贝尔公式
A. 变量代换
第7章 - 行波法
x
1 1 1 f1 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 a x0 2
1 1 1 f 2 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 a x0 2
x
数学物理方程与特殊函数
课件：第三章 行波法
0(3 .1)(3.2)
对于上述初值问题，由于微分方程现定解条件都是 线性的，所以叠加原理同样成立，即如果函数和 分
别是下ux述,0初 值utt问x,题aut2uxx,x0 x (3.3)
(3.4)
•和
uuxtt,0a20u,xux txf,0x((,33t..650))
的解，则 u u1x,t u2x就,t是 原初值问题 (3.1)(3.2)的解，这
1
2 1
2
x x
1
2a 1
2a
x
x0 x
x0
d d
c
2a c
2a
( 3.17)
把它们代入(3.13) 得初值问题(3.3)(3.4)的解
ux, t
x
at
2
x
at
1 2a
xat(3.1d8) xat
这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称为达 朗贝尔解。这种求解方法称为达朗贝尔解法。
题大
有有
其局
特限
殊 的 优 点
性
， 但 对
，
内 波 动 方 程 的 定
解 问
题 ，
波 法 只 能 用 于 求
解 无
界 区
波解 法定 ，解 二问 是题 积和 分方
变法 换，
法一 。是
本 章 我 们 将 介
绍 另 外
两 个
引 言
3.2 达朗贝尔（D’Alembert）公式 波的传播
• 本章我们将介绍另外两个求解定解问题和方法， 一是行波法，二是积分变换法。行波法只能用于 求解无界区域内波动方程的定解问题，虽然有很 大有局限性，但对于波动问题有其特殊的优点， 所以该法是数理方程的基本之一。我们只注重解 决问题的思路，导出形式解，不追求分析的条件 与验证。积分变换法不受方程的类型限制，主要 用于无界区域，但对于有界区域也能应用
14 波动方程的行波解
x at c1 x at c2
2u u 0
u f1 ( ) f 2 ( )
通解
1 1 2 x a t
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
右
2 2u u 2 x , t 0 t 2 a x 2 , u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x), x t u f1 ( x at) f 2 ( x at)
右行波解：
u( x, t ) ( x at)
左行波方程
左行单波方程初值问题（其中常数 a 0 ）
u u 0 t 0, x R a x t u t 0 ( x)
练习
求左行波解？
左行波方程
左行单波方程初值问题（其中常数 a 0 ）
(0) f (0) g (0)
x at x at u ( x, y ) ( ) ( ) (0) 2 2
半无界（穷）弦的自由振动---延拓法*
思考：
当 ( x)， ( x)为偶函数时，该如何延 拓？ 此时，对解u( x, t )在原点处有什么要求？
作 业 #2
半直线上的问题---延拓法*
1.4.1 一维波动方程的通解和初值问题的达朗贝尔 （d’Alembert）公式
• 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定 特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 • 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 • 适用范围：（初值问题，混合问题）
左行波解
u ( x, t ) ( x at)
数理方程第三章行波法与积分变换法-PPT课件
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2019/3/8
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2 u u 2 2 2 a f (xt ,) , x ,t 0 2 2 t x u x ,0 ) 2( u x ,0 )0 , 0 , x 2( t 利用齐次化原理，若 满足：
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数学物理方程与特殊函数
2 2 2 u u u ( A B ) AB2 0 2 x x y y u u u u u A B x x x
第3章行波法与积分变换法
yA x y Bx
2 2 2 u u u ( A B ) AB 2 2 x x y y 2 2 2 2 2 2 u u 2 u u u u 2 A 2 2 A B B 2 ( AB ) A ( AB ) B 2 2
2 2 u u 2 1 1 a , x ,t 0 2 2 t x u ( x ,0 ) 1 u ( x ,0 ) ( x ) , ( x ) , x 1 t 2 2 u u 2 2 2 a f (xt ,) , x ,t 0 2 2 t x u x ,0 ) 2( u ( x ,0 ) 0 , 0 , x 2 t x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d 1 x a t 2 2 a
] e ds
e
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数学物理方程与特殊函数
4 数理方程第四章 行波法
第四章 行 波 法
我们已经熟悉常微分方程的求解，一般是先求方程的通 解，再用初始条件去确定通解中的任意常数而得到特解。 因此我们也想仿照这个方法来求解偏微分方程的定解问 题。即先求偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解 中的任意常数或函数。但是偏微分方程的通解不那么容 易求，用定解条件确定函数往往更加困难，通过分析， 我们发现这种方法主要适用于求解（元界区域的）齐次 波动方程的定解问题。齐次波动方程反映介质一经扰动 在区域里不再受到外力的运动规律。如果问题的区域是 整个空间，由初始扰动所引起的振动就会在一往无前地 传播出去，形成行（进）波。故我们把这种主要适用于 求解这类行波问题的方法称为行波法。本章将介绍这种 方法。
u2 ( x, t ) ( x, t , )d
0
t
1 t x a (t ) 0 xa (t ) f ( , )dd 2a
从而原问题的解为 1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 1 t x a (t ) 0 xa (t ) f ( , )d d 2a
x at
2ase
s 2
s 2
ds
2
e
] 1 [ e 2
x at 2 x at s
x at
e
ds2
e ( x at )
6 相关概念 1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
2013/10/16
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
波动方程和行波法ppt课件
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由于张力的作用，一个小段的振动必带动它 的邻段，邻段又带动它自己的邻段，这样一个 小段的振动必然传播到整个弦，这种振动的传 播现象叫作波。弦是轻质弦（其质量只有张力 的几万分之一）。跟张力相比，弦的质量完全 可以略去。
位移， u t t 为弦的横向加速度。 近似：考虑小的振动， 1 ， 2 为小量。
cos1121!241!4 1
精品课件
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cos2122!242!4 1
sin11 3 1 !3 5 1 !5 1tan1
sin22 3 2 !3 5 2 !5 2tan2
ds(dx)2(du)21(ux)2dx
∵
ux
xFdxdxutt
T u x xd x F d xd x u tt
utt TuxxF
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即
utt a2uxx f
—— 弦的强迫横振动方程
其中: a 2 T
，
f
F
量纲分析：T:MLT2 ， : ML1
精品课件
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∴
T
:
MLT2 ML1
L2T2
即 a2 :L2T2
a ：振动的传播速度 a
沿 y方向（纵向）： T2 sin 2 T1sin1
于是由牛顿第二定律对 dx 所对应的这一小
段弦有:
T 2cos2T 1cos10
①
T 2 s in2 T 1 s in 1 F d s (d s ) u tt②
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其中: 是弦的线密度，即单位长度的
质量，d s 为 d x 对应弧长，u 为弦的横向
数学物理方程——6 行波法
u ( x) = =
=
1 2
1 2
1 2
[e
− ( x + at ) 2
+e +e
+e
− ( x − at ) 2
]+
1 2
1 2
1 2a
[e
[e
− ( x + at ) 2
− ( x + at ) 2
− ( x − at ) 2
− ( x − at ) 2
]+
பைடு நூலகம்]+
∫
x − at x + at
ξ = y − 3x ∂ 2u =0 η = y+x ∂ξ∂η u = f1 (ξ ) + f 2 (η ) = f1 ( y − 3 x) + f 2 ( y + x)
u ( x,0) = e
− x2
= f1 (−3x) + f 2 ( x)
∂u ( x,0) 1 ′(−3x) + f 2′ ( x) = 0 = f1 − f 1 (−3x) + f 2 ( x) = C ∂y 3 3 − x2 / 9 3 3 − x2 3 3 − x2 3 f1 ( x) = e − C f 2 ( x) = e + C f1 (−3 x) = e − C 4 4 4 4 4 4 3 −( y −3 x )2 3 3 −( y + x )2 3 3 −( y −3 x )2 3 −( y + x )2 u= e − C+ e + C = e + e 4 4 4 4 4 4
下午9时27分
数学物理方法
数学物理方程chpt3_行波法
由达朗贝尔公式（11）可见，解在( x, t )这一点的数值仅仅依赖于 x轴上的区间[x-at,x at]内的初始条件，而与其它点上的初始条件 无关。这个区间[x-at,x at]称为点(x,t)的依赖区间。它是由过(x,t) 的两条斜率分别为 1 的直线在x轴上所围成的区间。如图3所示。
a
t
(x,t)
1
x at
( )d
⑾
2
2a xat
问题：定解问题(Ⅰ)的解在点(x,t)上的值跟初始条件在x轴上哪些点有关？
§3.2 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
三、依赖区间与影响区域
u(x, t) 1 [(x at) (x at)]
1
x at
( )d
2
2a xat
⑾
问题：定解问题(Ⅰ)的解在点(x,t)上的值跟初始条件在x轴上哪些点有关？
在此区域之外的波动不受区间[x1, x2 ]上初始扰动的影响(仍为静止状态)，称这个不等式 确定的区域为区间[x1, x2 ]的影响区域。如图4所示。 在上面的讨论中，平面上的直线x at c(常数)对波动方程的研究起着重要的作用，称
它们为波动方程(Ⅰ)的特征线。 t
影响区域
x=x0-at
x=x0+at x
• 齐次波动方程反映了介质经过扰动后，激 发的波一直向前传播，形成行波，故使用
这种原理的方法称为行波法。 • 本章将要介绍的行波法（Travelling wave
method）是求解波动方程初值问题的一种 有效方法，它只能够求解无界区域波动方 程的定解问题。
本章主要内容
• 能够导出并且记住一维波动方程的通解 （达朗贝尔公式）；
§3.2 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
三个五阶非线性方程的精确解
三个五阶非线性方程的精确解钟鸣华;那仁满都拉;斯仁道尔吉【摘要】为了得到三个五阶非线性方程的精确解,本文通过假设行波解将三个五阶非线性方程化为常微分方程并借助辅助方程法和Mathematica软件对其求解,最终获得了一系列精确解.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)004【总页数】9页(P70-78)【关键词】五阶非线性方程;辅助方程法;精确解【作者】钟鸣华;那仁满都拉;斯仁道尔吉【作者单位】内蒙古师范大学数学科学学院,呼和浩特010022;内蒙古师范大学数学科学学院,呼和浩特010022;内蒙古师范大学数学科学学院,呼和浩特010022【正文语种】中文【中图分类】O175.2非线性偏微分方程在现实生活以及生物、物理等邻域中有着重要而广泛的应用,因此非线性偏微分方程的求解问题就成为非线性科学的前沿研究课题之一.到目前为止，数学和物理工作者在求解非线性偏微分方程的领域积累了大量的经验并先后提出了一系列求解方法,这些方法在许多具体的方程上都得到了应用,如Jacobi椭圆函数法[1]、齐次平衡法[2]、完全近似法[3]、试探函数法[4]、双曲函数展开法[5]、约化摄动法[6]、F-展开法[7]、Exp函数法[8]、辅助方程法[9]等都在具体的文献中被引用,并作为主要求解方法.本文运用辅助方程法精确求解文献[10]中提出的如下三个方程并且得到一些新的精确解.考虑如下形式的非线性偏微分方程假设其行波解为其中k和v是待定常数,则方程(4)可转化为下面形式的常微分方程其中“′”是函数u关于ξ的导数.设方程(6)有如下形式的解其中φ(ξ)满足辅助方程这里n是根据方程中最高阶导数项和最高次幂的非线性项平衡得到的ai,bj,j=0,1,2,3,4是待定常数.把(7),(8)带入到(6),令φ(ξ)的各次幂的系数为零而得到一个非线性代数方程组并求解可得到待定的系数ai,bj.由文献[11]和[12]知,辅助方程(8)有如下几种解:解(一) 当b0=b1=b3时,(8)具有钟状孤子解、三角函数解和有理解:解(二)时,(8)具有扭状孤子解、三角函数解和有理函数解:解(三) 当b0=b1=0,(8)具有如下几种解:解(四) 当b0=b1=b4=0时,(8)具有如下钟状孤子解、三角函数周期解和有理解: 解(五) 当b4=0,b3>0时,(8)具有Weierstrass椭圆函数解:其中.假设方程(1)的行波解为代入方程,积分两次并取积分常数均为零,则有如下常微分方程设u′(ξ)=w(ξ),则以上方程变为根据平衡最高阶导数项和最高幂次的非线性项,得到n=2,所以,设方程(24)有如下形式的解其中φ(ξ)满足方程(8).把(8)和(25)代入到(24),化简后,令φ(ξ)n的系数为零,得到如下关于a2,a0,a1,b2,b0,b1,b3,b4,k,v的超定代数方程组利用Mathematica软件,解方程组,得如下两组解:(Ⅰ)(Ⅱ)把(Ⅰ)代入到解(四)有由b1=0可得a0=0且,或可得且,所以①b2>0时,则代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得②b2<0时,则代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得把(Ⅰ)代入到解(五)有:b4=0且b3>0时,则代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分即可得原方程的解u(ξ).把(Ⅱ)代入到解(一)有①b2>0,b4<0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得②b2<0,b4>0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得③b2=0,b4>0时,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得把(Ⅱ)代入到解(二)有①b2<0, b4>0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得②b2>0, b4>0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得③b2=0, b4>0时,由b2=0可得v2=12a0k3,则,这时代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得把(Ⅱ)代入到解(三)有:由b1=0可得b3=0或情形1:b3=0,则代入(Ⅱ)可得由b0=0可得显然b2<0,所以当b4>0时,则,令,代到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得情形2: 4b4v2-k4-48a0b4k3=0,则可得代入(Ⅱ)有由b0=0可得,而,显然b2<0,本文没有列举这种情况的解,所以不做研究.由于(Ⅱ)中b4≠0,所以不把(Ⅱ)代入到解(四)和解(五)研究.同第一个方程的精确解的求法一样, (2)经行波变换后化为利用Mathematica软件,解平衡后得到的方程组,得如下两组解:(Ⅰ)(Ⅱ)把(Ⅰ)代入到解(四)有:由b1=0可得①b2>0时,则有②b2<0时,则有③b2=0时,可得则有,对w(ξ)积分一次可得把(Ⅰ)代入到解(五)有:b4=0且b3<0时,则有则对w(ξ)求不定积分即可得原方程的解u(ξ).把(Ⅱ)代入到解(一)有①b2>0, b4<0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得②b2<0, b4>0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得③b2=0, b4>0时,,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分有把(Ⅱ)代入到解(二)有,则①b2<0, b4>0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得②b2>0,b4>0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得③b2=0,b4>0时,由b2=0可得,这时,代到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得把(Ⅱ)代入到解(三)有:由b1=0可得情形1:a1=0,则代入(Ⅱ)且由b0=0得① 当b2<0,b4>0时,则令,代到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得② 当b2>0,b4<0时,则令,代到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得③ 当b2>0,b4>0时,则令,代到(22)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得情形,则有代入(Ⅱ)且由b0=0可得,而,所以若由上知,代入(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得:由于(Ⅱ)中b4≠0,所以不把(Ⅱ)代入到解(四)和解(五)研究.方法同上,解不定方程组可得下面两组解:(Ⅰ)(Ⅱ)把(Ⅰ)和(Ⅱ)分别代入解(一)、解(二)、解(三)、解(四)、解(五),可得如下解:本文用行波变换后把三个五阶非线性方程转化为常微分方程,再利用辅助方程法得到了这三个方程的一系列精确解,并且这些解都是首次给出的.【相关文献】[1] 刘官厅,范天佑.一般变换下的Jacobi椭圆函数展开法及应用[J].物理学报, 2004, 53(3): 676-679.[2] 张解放. 变更Boussinesq方程和Kupershmidt方程的多孤子解[J].应用数学和力学, 2000, 21(2): 171-175.[3] 郭鹏,张磊,吕克璞,段文山.一类非线性弹性杆波动方程的求解[J].应用数学和力学,2008,29(1):57-61.[4] 武祥,郭鹏,刘远聪.一类非线性粘性弹性杆波动方程的求解[J].科技信息, 2008(2):203.[5] 杨建荣,毛杰健,张解放.一维弹性杆的非线性波动方程的孤波解[J].毕节师范高等专科学校学报, 2001, 19(4):48-50.[6] 吕克璞,郭鹏,张磊等.非线性弹性杆波动方程的摄动分析[J].应用数学与力学, 2006, 27(9): 1079-1083.[7] 张平.关于一类五阶非线性发展方程的新精确解[J].五邑大学学报(自然科学版), 2008, 22(1): 35-39.[8] 杨昆望.应用指数函数展开法求解非线性发展方程[J].纯粹数学与应用数学,2012,01:85-91.[9]Sirendaoreji.Auxiliaryequationmethodforsolvingnonlinearpartialdifferentialequations[J].Ph ysicsLettersA, 309(5-6)(2003):387-396.[10] Abdul-MajidWazwaz.Kinksolutionsforthreenewfifthordernonlinearequations[J].AppliedMathematicalModelling,2014,33:110-118.[11] 长勒.几类非线性演化方程的精确类孤子解[D].内蒙古：内蒙古师范大学数学科学学院, 2012.[12] 郭玉翠.非线性偏微分方程引论[M].北京:清华大学出版社, 2008.。
非线性数学物理方程的行波解
非线性偏微分方程行波解1直接积分法行波解形式：0()u x ct φξξξ= =-+代入偏微分方程得常微分方程。
这个过程简记为行波变换。
直接积分法指直接求解这个常微分方程。
例0()()()()0t x xx u uu u c αφξφξφξαφξ''''+-=⇒-+-=积分难计算：1用特殊形式的解试凑：exp()1exp()B a u a ξξ=+ vakhnenko 方程20t x x xx u u u u u +++=；fisher 方程(1)t x x u u u u αβ---= ()exp(())u i kx wt φξ=- Schrodinger 方程20t xx iu u u u αβ++=2椭圆函数在常微分方程求解中的应用。
2混合指数方法适用于多项式方程，非多项式方程需变换。
如sine-Gordon 方程sin xt u u =【1】具体步骤1.行波变换2.进行奇性分析：将p φξ-=代入,平衡方程中最高阶导数项与最高阶非线性项,计算出p 的值。
通常p 为正整数;若n 为有理数12/m m ,可令21m φϕ-=,若n 为负数,可设1φϕ-=。
3.为获得更多的解，引入变换+C φϕ=4.设1,exp()n nn a g g k φξ∞===∑是方程相应线性项部分的指数解（若无则为最低次非线性项构成方程的解），代入方程，得到递推关系。
解出n a 。
得到方程的解。
注：1.n a 的递推关系难解，可以设n a 是n 的多项式。
【2】2.第3步也可以这样假设2020,exp()n n i ii i i ni n n i ii i i n i a g a g g k b g b g φξ=-==-====∑∑∑∑，代入方程令g 前系数为0解出a ，b 。
【3】3齐次平衡法齐次平衡法已推广到寻找非线性发展方程的自Backlund 变换、相似约化、多孤子解等领域。
课件_行波法
8. 利用行波法来讨论一端固定的半无界弦的自由振动问题 延拓法
2 2u u 2 0 (t 0,0 x ), 2 a 2 x t u ( x) (0 x ) t 0 : u ( x), t x 0 : u 0
由前文中推导可见，自由振动情况下的波动方程的解可以表示 为形如F(x-at)和G(x+at)的两个函数的和。由此可以特别清楚地看出 波动传播的性质。
u( x, t ) F ( x at) G( x at)
~ F ( x) u
x0
at
~ F ( x at) u
O
x0 at
x0
6. 特征线 在前面的讨论中，我们看到在 (x,t) 平面上斜率为±1/a 的 直线x=x0-at和x=x0+at对波动方程的研究起着重要作用，它们 称为波动方程的特征线。我们看到，扰动实际上沿特征线传 播。扰动以有限速率传播，是弦振动方程的一个重要特点。 行波法又叫特征线法
7. 相关概念
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
u y 0 x 2 , u x 1 cos y
2
1 2 x h( x) p(0) cos y y h(1) p( y ) 6 2
1 h(1) p(0)
1 2 x cos y y h( x) p(0) h(1) p( y ) 6 1 2 2 h( x) p ( y ) x cos y y 1 6 1 3 2 1 2 2 u ( x, y ) x y x cos y y 1 6 6
波动方程的非线性问题
波动方程的非线性问题波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它在物理、工程、生物学等领域中广泛应用。
然而，许多实际问题中的波动现象往往是非线性的，例如水波的相互作用、光学中的自相互作用、地震中的土壤非线性效应等等。
因此，如何处理非线性问题是当前研究的热点之一。
在传统的波动方程中，波动现象是由线性叠加产生的，即一系列波动可以通过简单的相加构成新的波动。
然而，在非线性波动问题中，波动之间会相互作用，相互干扰，形成新的波形。
这种相互作用导致波形的非线性变化，使得波动方程的求解变得异常困难。
一个经典的非线性波动方程是Korteweg-de Vries方程。
该方程描述的是水波的非线性现象，它的基本形式是：$$u_t+6uu_x+u_{xxx}=0$$其中，$u(x,t)$表示水波的波高，$x$表示水面上的位置，$t$表示时间。
这个方程被称为“孤立子方程”，因为它可以描述单个孤立波的运动，而且孤立波之间相互作用后仍可以保持形状不变。
Korteweg-de Vries方程是一个非线性偏微分方程，它的解法比较困难。
一般情况下，我们需要借助数值计算方法来求解该方程。
常用的数值方法有有限元法、有限差分法等等，这些方法可以将偏微分方程转化为代数方程，从而得到波动方程的数值解。
除了Korteweg-de Vries方程以外，还有一些其他的非线性波动方程，如Boussinesq方程、Nonlinear Schrödinger方程、Sine-Gordon方程等等。
这些方程都是为了描述一些特定的波动现象而设计的，它们的求解方法也各不相同。
除了数值计算方法以外，还有一些其他的方法来处理非线性波动方程。
其中一个比较重要的方法是变换法。
变换法是一种通过变量替换来简化方程的方法，它可以将非线性波动方程转化为一些线性方程，从而得到解析解。
总的来说，非线性波动方程是一个非常复杂的研究课题，涉及到多种数学方法和物理学知识。
在实际工程中，我们也面临着各种非线性波动问题，需要针对具体情况进行研究和解决。
非线性方程解法
运动,
+ g θ = g θ 3 θ l 6l
2 取 x = θ , ω 0 = g l , ε = g 6l 即 可 , 所以 本 节 的 结果
完全 适 用 于大幅 角 单 摆 运 动 , 可 用 来研究其 周 期 与幅角的近似关系.
由于 ε 是小量, 上式右端各项为不同量级的项, 分别称零级项、 一级项、 二级项，……后一级比 前 一级小很 多 , 这 样 我们可 以逐 级求近似 , 求解 可 精 确 到任 一级 , 这种求解方法 称 为微 扰 法 ( 或 摄动法). 微扰法是非线性物理中常用的近似方法, 它适用于弱非线性情况. 其次, 假设振动频率也需要在固有频率 ω 基础 上逐级修正 (表为小量 ε 的级数形式)
( x1 + x 2 ) 2 = x1 ⋅ x1 + 2 x1 ⋅ x 2 + x 2 ⋅ x 2
等号右 端第 二项不可 能由 原来的 运 动 叠加得 出 , 它表征由两个解相互作用产生的新的现象. 二、用小参数展开方法求解非线性自由振动问题 非线性 自由 振动是指 质点 不 受 阻尼力和驱动 力的 作用 , 仅受 非线性恢复力 作用 产生 的振动 , 例 如 , 弹簧 振 子 在振动幅 度 较大时 需要 考虑弹 性 力展开中三次方项, 此时振动方程为
εA 2 ε 2 A4 x = (1 + − ) A cos ω t 32 ω 2 1024 ω 4
εA 2 ε 2 A4 −( ) A cos 3ω t + ( ) A cos 5ω t 2 4 32 ω 1024 ω
ω ≈ ω 0 (1 − ε
3A2 8ω 0
2
+ε
2
3A4 256ω 0
4
数理方程：第7讲行波法
在 x t平面上斜率为
1 a
的两族直线 x at 常数
对一维波动方程的研究起到重要作用,
称这两族直线为一维波动方程的特征线, 变换
x at
称为特征变换, 行波法也叫特征线法.
x at
一维波动方程
utt a2uxx
的两族特征线 x at 常数 恰好是常微分方程
dx2 a 2 dt2 0
的积分曲线, 这个常微分方程称为它的特征方程 .
一般的二阶线性偏微分方程
Au xx 2Bu xy Cu yy Du x Eu y Fu G, (*)
它的特征方程为 Ady2 2Bdxdy C dx2 0
这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的
特征曲线.
2u 2 2u 2u
2 2
代入方程化简得:
2u 0
它的通解为
u( ,) f1( ) f2 ()
于是，原方程的通解为
u(x, y) f1(3x y) f2 (x y)
代入初条件始得
f1(3x) f2 (x) 3x2
f1(3x)
f
2
(
x)
0
第二式的两端得关于x 积分得
2u x2
(3 u
u )
x
(3 u
u
)
x
9
2u
2
6
2u
2u
2
2u (3 u u ) (3 u u ) xy y y
3
2u
2
2 2u
2u
2
u u u u u y y y
3x y x y
2u ( u u ) ( u u ) y2 y y
1 3
求非线性偏微分方程行波解的几种方法毕业论文答辩PPT
数学科学学院 2015级1班
答辩人：
导师：
目录
CONTENTS
绪论
研究方法与思路
研究结果与应用
研究总结
绪论
选题背景 研究意义 研究现状
背景
罗素观察到一种奇妙的水波有稳定的速度且波的形状不变,后来 著名的KdV方程解释了这种现象,并说明这是偏微分方程的特殊 解——行波解.这一结果一定程度地推动了流体力学的发展.
研究 现状
研究现状
随着科学技术的发展,前人提出了许多描述非线性现象的偏微分方 程,涉及生物学、物理学以及力学等等领域.例如1895年,数学家 Korteweg研究浅水波运动,提出著名的KdV方程,再到其他科学家 提出的Schrodinger方程、BBM方程等等.
相关研究人员们已经提出了一些方法去寻找非线性偏微分方程的 行波解比如Tanh函数法、反散射变换法、Darboux变换法、辅助 函数法等.但到目前为止,求行波解没有普适的解法.
研究结果与应用
首次积分法的应用 齐次平衡法的应用 雅可比椭圆函数的应用
PHi-four方程的行波解 1
首次积论分文法总的结应用
PHi-four方程的行波解 1
首次积论分文法总的结应用
mKdV方程的行波解 2
首次积论分文法总的结应用
mKdV方程的行波解 2
首次积论分文法总的结应用
mKdV方程的行波解 1
研究思路与方法
预备基 本方法
了解首次积分 法,齐次平衡法, 雅可比椭圆函 数展开法的理 论依据,并分别 提取总结求解 步骤.
应用
应用这些方法 求具有实际应 用背景的非线 性偏微分方程 的行波解.
优缺点 分析
第四讲行波法dhh
二阶线性微分方程的特征方程
定义２ 考虑下面二阶线性微分方程 （３） （４）
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 cu f 0 xy x y x y
方程 即
a11 (dy) 2 2a12 dxdy a22 (dx) 2 0
数学物理方程
utt a2uxx 4a2u
2 2u u 2 a u 0 2 2 t x
u 0 d f ( )
u f ( )d f 2 ( ) F ( ) G ( )
u( x, t ) F ( x at ) G( x at )
解：齐次方程直接利用达朗贝尔公式：
1 1 x at 2 u sin( x at ) sin( x at ) d 2 2a x at t 2 2 2 sin x cos at (3 x a t ) 3
数学物理方程
x x utt 9u xx e e 例2 求定解问题： u ( x, 0) x, ut ( x, 0) sin x
式中 ( x), ( x) 均为已知函数，表示初始位移和初始速度。 特征线族
dx dx dx 2 a 0, a 0 a 0 dt dt dt 1 1 t x c1 , t x c2 a a
2
x at c1 , x at c2
解：一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchoff公式
a 3, f ( x, t ) ex e x , ( x) x, ( x) sin x
关于x奇函数
u关于x奇函数
数学物理方程
3-2 延拓法求解半无限长振动问题 • （一）半无限长弦的自由振动问题
三角函数型辅助方程法与非线性发展方程的精确解
三角函数型辅助方程法与非线性发展方程的精确解
套格图桑;斯仁道尔吉;旺吉乐
【期刊名称】《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》
【年(卷),期】2008(037)005
【摘要】以辅助方程法和双曲正切函数法为基础,给出构造非线性发展方程精确解的三角函数型辅助方程法.借助符号计算系统Mathematica构造了Boussinesq方程和Klein-Gordon方程的Jacobi椭圆函数精确解和精确孤波解.
【总页数】6页(P579-584)
【作者】套格图桑;斯仁道尔吉;旺吉乐
【作者单位】内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古,呼和浩特,010022;内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古,呼和浩特,010022;内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古,呼和浩特,010022
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.变系数辅助方程法与一类非线性发展方程行波解 [J], 陈自高;梁芳
2.利用一类辅助函数方法求非线性发展方程精确解 [J], 白秀;杨培凤
3.辅助方程法与非线性发展方程的孤立波解 [J], 斯仁道尔吉
4.辅助方程法解的推广及其非线性发展方程的精确孤立波解 [J], 乌敦其其格
5.求解非线性发展方程(组)精确解的辅助方程法 [J], 刘力华;朝鲁
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