初等矩阵及酉矩阵
线性代数中的酉矩阵理论
线性代数中的酉矩阵理论线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其线性映射的性质和结构。
其中，酉矩阵是线性代数中的一种特殊类型的矩阵，具有很多重要的性质和应用。
本文将探讨线性代数中酉矩阵的理论。
一、酉矩阵的定义与性质酉矩阵是指一个复矩阵，其共轭转置等于其逆矩阵，即对于一个n 阶酉矩阵U，满足以下条件：U*U^H = I，其中U*表示矩阵U的共轭转置，U^H表示矩阵U的转置。
酉矩阵的定义可以简单表达为U*U = I。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 酉矩阵的行列式的模长等于1，即|det(U)| = 1。
这是因为酉矩阵的逆矩阵等于其共轭转置，所以行列式的值为1。
2. 酉矩阵的特征值的模长为1，即|λi| = 1。
这是因为酉矩阵具有正交对角化的性质，特征值对应的特征向量构成一组正交归一的基。
3. 酉矩阵的任意两行（或两列）是正交的。
设酉矩阵A的第i行为ai^T，第j行为aj^T，其中ai和aj分别为列向量，那么ai^T * aj = 0。
4. 酉矩阵的转置也是酉矩阵。
即如果U是酉矩阵，则U^T也是酉矩阵。
二、酉矩阵的应用酉矩阵在量子力学和信号处理等领域有广泛的应用。
1. 量子力学中的酉矩阵：量子力学中的态矢量表示为复向量，而量子系统的演化可以由酉矩阵描述。
在量子计算中，酉矩阵用于表示量子比特的操作。
2. 信号处理中的酉矩阵：信号处理领域中，酉矩阵用于表示信号变换的正交变换矩阵，如傅里叶变换和离散余弦变换等。
3. 几何旋转中的酉矩阵：二维和三维空间中的几何旋转可以由酉矩阵来表示，这是因为酉矩阵具有正交性质。
4. 线性方程组求解中的酉矩阵：酉矩阵用于线性方程组的求解，特别是在正交正交子空间的情况下，酉矩阵可以简化方程组的求解过程。
三、酉相似和酉相等在酉矩阵理论中，有两个重要的概念，即酉相似和酉相等。
1. 酉相似：如果一个矩阵A可以通过酉变换相似地变为矩阵B，即存在酉矩阵U，使得B = U^H * A * U，则矩阵A和B是酉相似的。
特征值——矩阵的本质属性(horn编写的矩阵分析学习心得)
特征值——矩阵的本质属性——《矩阵分析》课程报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028指导教师：说明本文并没有按照要求使用手写版，而是采用打印版，特此作如下说明：1.笔者采用手写版在第一部分画知识结构图时，发现由于知识点较多，框图须不停地修改；2.在进行正文书写的过程中，笔者发现课本上的前后知识点有串联，在进行后面书写的时候往往需要添加或修改前面的内容；显然，显然手写版难以满足不断修改的需要，笔者此前已写过两份手写版，但都由于无法修改不得已中途放弃，故最终采用了打印版的形式。
同时，笔者也保证，本课程教材为本文的唯一参考资料，本文无任何拷贝其他资料的内容，仅是笔者对课本知识点的整合梳理并加以自己的部分理解，望老师理解。
摘要本文以矩阵的特征值为主线，分别阐述了特征值、特征向量、相似性、酉等价、正规矩阵、Hermite矩阵和对称矩阵等矩阵的重要概念及其与矩阵特征值的关系。
关键字：特征值，矩阵的重要概念【目录】1 矩阵分析知识点框图 (3)2 特征值与特征向量 (4)2.1 特征值与特征向量 (4)2.2 谱与谱半径 (6)2.3 特征多项式 (6)2.4 小结 (7)3 相似性 (7)3.1 定义 (7)3.2 相似与特征值的关系 (7)3.3 矩阵的可对角化 (8)4 酉等价和正规矩阵 (9)4.1 酉矩阵 (9)4.2 酉等价 (9)4.3 SCHUR酉三角化定理 (10)4.4 可交换矩阵与矩阵的特征值之间的关系 (11)4.5 正规矩阵 (12)5 标准形 (13)5.1 JORDAN矩阵 (13)5.2 JORDAN标准形与矩阵特征值的关系 (13)5.3 由JORDAN表现出来的矩阵的基本性质 (14)6 HERMITE矩阵和对称矩阵 (15)6.1 HERMITE矩阵 (15)6.2 HERMITE矩阵、对称矩阵的相合与同时对角化 (16)6.3 合相似与合对角化 (17)7 总结 (18)1 矩阵分析知识点框图根据矩阵分析中出现的部分知识点的相互联系情况，作以上框图，笔者发现其几何中心为特征值，即特征值与绝大多数知识点都有直接或间接的关系，故本文中采用矩阵特征值为主线串联各知识点，以上的各种联系在下文中都会有体现。
酉矩阵——精选推荐
酉矩阵
1.酉矩阵（unitary matrix）定义 若n阶复矩阵A满足 AHA=AAH=E 则称A为酉矩阵，记之为A∈UN×N。其中，AH是A的共轭转置。
2.性质 如果A是酉矩阵 (1)A−1=AH (2)A−1也是酉矩阵； (3)det(A)=1; （det表示矩阵的行列式） (4)充分条件是它的n每个元素aij取共轭得bij，将新得到的由bij组成的新m*n型矩阵记为矩阵B，再对矩阵B作普通转置得到BT，即为A的共轭转置矩 阵：BT=AH
对于矩阵部分的内容在深度学习（花书）第二章线性代数中有一些介绍，如果遇到问题可以在第二章进行寻找。
酉矩阵通用表达式
酉矩阵通用表达式
酉矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
它是一个特殊的方阵，具有一些特殊的性质和特征。
酉矩阵的定义和性质可以用以下通用表达式来描述：
设A是一个n阶复数方阵，如果满足以下条件：
1. A的共轭转置矩阵等于A的逆矩阵，即A* = A^(-1)；
2. A的每个元素的模的平方之和等于1，即对于任意的i和j，|A(i,j)|^2 + |A(i+1,j)|^2 + ... + |A(n,j)|^2 = 1，其中|A(i,j)|表示A的第i 行第j列元素的模。
则称A为酉矩阵。
酉矩阵具有许多重要的性质和特征，下面将对其中一些进行介绍。
酉矩阵是一个幺正矩阵。
幺正矩阵是指满足A*A = I的方阵，其中I 是单位矩阵。
这意味着酉矩阵的共轭转置矩阵和它本身的乘积等于单位矩阵。
酉矩阵保持向量的内积不变。
对于任意的复数列向量x和y，如果A是一个酉矩阵，则有(x,y) = (Ax,Ay)，其中(x,y)表示x和y的内积。
这个性质在量子力学中有重要的应用。
酉矩阵的特征值都具有模长为1的性质。
对于酉矩阵A，它的特征值λ满足|λ| = 1。
这意味着酉矩阵的特征值总是在单位圆上。
酉矩阵是可逆的。
由于酉矩阵的共轭转置矩阵等于它的逆矩阵，所以酉矩阵是可逆的。
这个性质在矩阵求逆的计算中是非常有用的。
酉矩阵是一类具有特殊性质和特征的方阵。
它在许多领域中都有广泛的应用，特别是在量子力学中。
通过上述通用表达式的描述，我们可以更好地理解和应用酉矩阵的各种性质和特征。
矩阵的运算
§2 矩阵的运算一、矩阵的相等、加、减、数乘、乘法、转置与共轭(A +B )=A +B (kA )=kA (k 为任意复数) (AB )τ=BA (反序定律)(A 1A 2...A s )=τττ12...A A A s(A k )=(A )k (k 为整数)二、 矩阵的初等变换与初等矩阵设I =⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎡10101，称为单位矩阵.用数k（0）乘矩阵的第i 列（或行）初等变换具有性质：1° 任何矩阵（a ij ）都可经过有限次初等变换化为对角矩阵（a ij ）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001012° 初等变换不改变矩阵的秩.三、 矩阵的微积分假设矩阵A 的元素a ij 都是参数t 的函数，那末1° 矩阵A 的导数定义为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==t a t a ta t a t a tat a t a t a A tA mn m m n n d d ...d d d d ............d d ...d d d d d d ...d d d d d d 212222111211同样可定义矩阵的高阶导数. 2° 矩阵A 的积分定义为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t a t a ta t at at a t a t a ta t A mn m m n nd ...d d ............d ...d d d ...d d d 212222111211同样可定义矩阵的多重积分.四、 特殊矩阵[零矩阵与零因子] 元素a ij 全为零的矩阵称为零矩阵，记作O =(0)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0...00............0 (00)0 (00)零矩阵具有性质：O +A =A +O =A OA =AO =OA +(－A )=O ,－A 称为A 的负矩阵若A ,B 为非零矩阵，即A ≠O ,B ≠O ,而AB =O ,则称矩阵A 为矩阵B 的左零因子，矩阵B 为矩阵A 的右零因子，例如A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111,B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111 AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000=O[对角矩阵] 主对角线以外的元素都是零（d ij =0,i ≠j ）的方阵称为对角矩阵，记作D =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 0...021=diag(d 1,d 2,...,d n )=[ d 1 d 2 ... d n ] 对角矩阵具有性质： 1° 左乘BDB =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 0021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b b .....................212222111211=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n n n n b d b d b d b d b d b d b d b d b d ............... (2)12222221211121111 =)(ij i b d 2° 右乘BBD =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b b (2)12112111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 0021=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n n n n b d bd b d b d b d bd b d b d b d (2211222)22111122111 3° 两个对角矩阵的和、差、积仍为对角矩阵.[数量矩阵] d i =d (i =1,2,...,n )的对角矩阵称为数量矩阵，记作D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡d d d00 =[d d... d ]显然DB =BD =dB .[单位矩阵] d =1的数量矩阵称为单位矩阵，记作 I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10101 =「1 1 ... 1」显然IB =BI =B .[对称矩阵] 满足条件a ij =a ji (i ,j =1,2,...,n )的方阵A =(a ij )称为对称矩阵.例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--423261315 是对称矩阵.对称矩阵具有性质： 若A ,B 都是对称矩阵，则A A=τ,且A －1（使A －1=A －1A =I 的矩阵.详见本节，六），A m (m 为正整数)，A +B 仍是对称矩阵.［实对称矩阵］实对称矩阵按其特征值（本节，七）可分为正定矩阵，半正定矩阵、负定矩阵、半负定矩阵和不定矩阵，它们的定义与充分必要条件如下[反对称矩阵] 满足条件⎩⎨⎧-=jiij a a 0 )()(j i j i ≠= (i ,j =1,2,...,n )的方阵A =(a ij )称为反对称矩阵.例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---023201310 是反对称矩阵.反对称矩阵具有性质：１° 若A ,B 都是反对称矩阵，则A τ=－A ,且A －1, A +B 仍是反对称矩阵，A m 为⎩⎨⎧反对称矩阵对称矩阵）（）（为奇数为偶数m m２° 任意方阵A 都可分解为一个对称矩阵B =(b ij )与一个反对称矩阵C =(c ij )之和，即A =B +C只需取b ij =21 (a ij +a ji ),c ij =21(a ij -a ji )(i ,j =1,2,...n )[埃尔米特矩阵] 满足条件A τ=A的方阵A 称为埃尔米特矩阵.例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++-4232231212215i i i i i i 是埃尔米特矩阵.埃尔米特矩阵具有性质：若A ,B 都是埃尔米特矩阵，则1-A ,A +B 仍是埃尔米特矩阵.若A 又是实方阵（即a ij 全为实数），则A 就是对称矩阵.[反埃尔米特矩阵] 满足条件A τ=A -的方阵A 称为反埃尔米特矩阵.例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-05250212210i i i i i i 是反埃尔米特矩阵.反埃尔米特矩阵具有性质： 若A ,B 都是反埃尔米特矩阵，则1-A , A +B 仍是反埃尔米特矩阵.若A 又是实方阵，则A 就是反对称矩阵.[正交矩阵] 满足条件A τ=1-A的方阵A 称为正交矩阵.例如 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos 是正交矩阵.正交矩阵具有性质：若A =(a ij )和B 都是正交矩阵，则 1° 1-A , AB 仍是正交矩阵. 2° det A =±1.3° ⎩⎨⎧=∑=011n k jk ik a a )()(j i j i ≠=⎩⎨⎧=∑=011n k kj ki a a )()(j i j i ≠=[酉(U )矩阵] 满足条件1-=A A τ的方阵A 称为酉(U )矩阵.例如：A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡00i i 是酉矩阵.酉矩阵具有性质：若A =(a ij )和B 都是酉矩阵，则 1° A -1,AB 仍是酉矩阵. 2° det A ∙det A =1.3° 若A 又是实方阵，则A 是正交矩阵.[带型矩阵] 满足条件a ij =0 )(m j i >-的方阵A =(a ij )称为带型矩阵.2m +1称为带宽.一般形式为A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++++nn mn n n m n n n n m a a a a a a a,,1,11,11,11100[三角矩阵] 满足条件a ij =0 (i >j )的方阵A =(a ij )称为上三角形矩阵，一般形式为A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a a a a a 022211211 满足条件()j i b ij <=0的方阵()ij b B =称为下三角形矩阵，一般形式为B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n b b b b b b 212221110 三角形矩阵具有性质：1° 任何秩为r 的方阵C 的前r 个顺序的主子式不为0时，C 可表为一个上三角形矩阵A与一个下三角形矩阵B 的乘积，即C =AB2° 上（或下）三角形矩阵的和、差、积及数乘仍是上（或下）三角形矩阵.[分块矩阵] 用水平和垂直虚线将矩阵A 中的元素的阵列分成小块（称为子阵），A 就成为分块矩阵.例如A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211B B B B 式中B 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a，B 12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2313a a B 21=[]3231a a , B 22=[]33a 它们都是A 的子阵. 进行分块矩阵的运算时，可将子阵当作通常矩阵的元素看待.这些运算指加、减、乘法、数乘、转置与共轭等.[分块对角矩阵] 主对角线上的子阵都是方阵，其余子阵都是零矩阵的分块矩阵称为分块对角矩阵.一般形式为A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡kkB O B O O O B 2211 分块对角矩阵A 的逆矩阵A －1和A 的行列式可以用下面简单公式求出A －1=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1122111KK B OB O Bdet A =det B 11·det B 22·...·det B kk注意，一般分块矩阵的行列式不能用把子阵当作通常矩阵的元素的方法来计算，例如把四阶方阵化为分块矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡44434241343332312423222114131211...........................a a a a a a a a a a a a a a a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211B B B B 一般det A =det B 11·det B 22－det B 21·det B 12不成立（参见§1，二，3中的四阶行列式）.五、 相似变换[相似变换] 如果有一非奇异矩阵X （即det X ≠0）使得B =1-X AX那末称矩阵A 与矩阵B 相似，也称A 经相似变换化为B ，记作A ~B .它具有下列性质： 1° A ~A ,AA .2° 若A ~B ,则BA .3° 若A ~C ,B ~C ,则A ~B .4° 1-X (A 1+ A 2+...+ A m )X =1-X A 1X + 1-X A 2X + ...+ 1-X A m X 5° 1-X (A 1 A 2 ...A m )X =1-X A 1 X ·1-X A 2 X ·... ·1-X A m X 6° 1-X A m X =( 1-X AX )m7° 若)(A f 为矩阵A 的多项式，则1-X )(A f X =)(1AX X f -8° 若A ~B ，则A 与B 的秩相同，即rank A =rank B . A 与B 的行列式相同，即det A =det B .A 与B 的迹（定义见本节，七）相同，即tr A =tr B . A 与B 具有相同的特征多项式和特征值（本节，七）.[正交变换] 若Q 为正交矩阵（即1-Q =Q τ）,则称Q τAQ 为矩阵A 的正交变换，其性质与相似变换类似.特别还有性质： 对称矩阵A 经正交变换后仍是对称矩阵.[旋转变换] 取正交矩阵U 为)(p)(qU pq =(u ij )=)()(11cos sin 11sin cos 11q p ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ-θθ 即u pp =u qq =θcosu pq =-u qp =θsin u ii =1 (i ≠p,q )u ij =0 (i,j ≠p,q;i ≠j ) 这时称B =pq pq AU U τ为A 的旋转变换，称为旋转角，如果A 是对称矩阵，那末B 的元素b ij 与A 的元素a ij 有 如下对应关系：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=θ+θ=θ-θ=θ-θ+θθ-==θ+θθ+θ=θ+θθ-θ=ijijqj pj qj qj pj pj pq qq pp qp pqqq pq pp qq qq pq pp pp a b a a b a a b a a a b b a a a b a a a b cos sin sin cos )sin (cos cos sin )(cos cos sin 2sin sin cos sin 2cos 222222）其他元素(),(),(q p j q p j ≠≠同时有性质：∑=nj i ija1,2=∑=nj i ij b 1,2∑=ni iia 12∑=≤ni ii b 12 若取旋转角pqpp qq a a a 2cot arc 21-=θ则旋转变换使0==qp pq b b六、 逆矩阵[逆矩阵及其性质] 若方阵A ,B 满足等式AB=BA=I (I 为单位矩阵)则称A 为B 的逆矩阵，或称B 为A 的逆矩阵,记作A=1-B 或B=1-A这时A,B 都称为可逆矩阵（或非奇异矩阵，或满秩矩阵）.否则称为不可逆矩阵（或奇异矩阵，或降秩矩阵）.可逆矩阵具有性质：1° 若A,B 为可逆矩阵，则AB 仍为可逆矩阵，且111)(---=A B AB （反序定律）一般地，若A 1 ,A 2 ,…,A s 为可逆矩阵，则=-121)(s A A A 11121---A A A s2° 矩阵A 可逆的充分必要条件是：det A ≠0.3° 若矩阵A 可逆，则det 1-A ≠0 且 det 1-A =(det 1)-A11)(--A =A , 111)(---=A a aA (a ≠0)1)(-τA =(1-A )τ,()()11--=A A4° 矩阵A 可逆的充分必要条件是：矩阵A 的特征值全不为零.[伴随矩阵与逆矩阵表达式] 设A ij 为矩阵A =(a ij )的第i 行第j 列元素a ij 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵.若A 为非奇异矩阵，即det A ≠0,则A 的逆矩阵表达式为AA A det *1=-注意，A *的第i 行第j 列元素是A 的第j 行第i 列元素的代数余子式.[对角矩阵的逆矩阵] 对角矩阵D =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 0...021, d i ≠0 (i =1,2,...,n )的逆矩阵为D －1=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---112110...0n d d d 显然对角矩阵的逆矩阵仍是对角矩阵.[三角形矩阵的逆矩阵] 三角形矩阵L =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n l l l l l l ...............0...0...21222111, 00=≠ij ii l l )(),...,2,1(i j n i >= 的逆矩阵为1-L =P =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n p p p p pp ...............0...0 (02)1222111 式中iiii l p 1=(i =1,2,...,n )∑-=-=11i jk kj ikiiij p ll p⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=n j i n j ,...,11,...,2,1 0=ij p)(i j >显然非奇异下（上）三角形矩阵的逆矩阵仍是下（上）三角形矩阵.[正定矩阵的逆矩阵] 1° 高斯—若当法正定矩阵A =(a ij )的逆A －1=(b ij )可由下列递推公式求出：)1(11)(1-=k k nnaa, )1(11)1(1)(1,----=k k jk j n aa a, )1(11)1(1)(,1---=k k i k ni a a a)1(11)1(1)1(1)1()(1,1-------=k k jk i k ij k j i aa a a a )2,...,1,,(-=n n j i ij n ij a a =)((k=1,2,...,n )最后得到)(n ijij a b = 式中n 为该正定矩阵A 的阶. 2° 三角阵法 其步骤如下：（1） 把正定矩阵A =(a ij )表示为A =ΛD Λτ式中D 为实的非奇异对角矩阵D =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 0021为实的非奇异下三角矩阵.Λ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλλ-1111,2121n n n n是的转置矩阵.d i (i =1,2,...,n )与λij (i =2,...,n;j=1,…,n )由下面递推公式算出：0=ij λ)(i j > 1=λii ),...,2,1(n i =∑-=-=11j k jk ik ij ij x a x λ)1,...,2,1;,...,2(-==i j n ijij ij d x =λ)1,...,2,1;,...,2(-==i j n i∑-=-=11i k ik ik ii i x a d λ),...,2,1(n i =（2）求出D 的逆矩阵1-D =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 11121（3）求出Λ的逆矩阵1-Λ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1112121 n n ρρρ 式中⎪⎩⎪⎨⎧=-=∑-=11ii i jk kjik ij ρρλρ ),...,2,1(),...,2,1;1,...,2,1(n i n j j i n j =++=-=（4）求出A 的逆矩阵1-A =(ΛD 1)-τΛ=(1-Λ)τ1-D 1-Λ =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n βββββββββ212222112111式中∑==nik kkjki ij d ρρβ ),,2,1;,,2,1(n i i j ==注意，这种方法的好处是避免了求平方根的运算.[分块矩阵的逆矩阵] 设非奇异矩阵A 的分块矩阵为A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211B B B B 式中B 11,B 22为方子阵，那末A 的逆矩阵A －1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211C C C C由下面公式求出111211211111111212221221211112112111212222)(-------=-=-=-=B B C B C B B C C C B B C B B B B C[初等变换法求逆矩阵] 设1-A =1212222111211...........................-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b b 212222111211=B 对矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001212222111211 nn n n n n a a a a a a a a a 作一系列行的初等变换，使虚线左边一块矩阵化为单位矩阵，而右边一块单位矩阵就变为A 的逆矩阵B =A －1,即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b b212222111211100010001[逆矩阵的近似求法] 设10-A 为矩阵A 的初始近似逆矩阵，可由下列迭代公式求出更精确的逆矩阵：)2(1111---+-=n n n AA I A A (n=0,1,2,...)式中I 为与A 同阶的单位矩阵.[计算机求逆程序的检验矩阵] 用下列n 阶非奇异矩阵及其逆矩阵，来检验大矩阵求逆的计算程序.A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+------+-++222210221211210002112100002112122100021222n n n n n n1-A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------n n n n n n n n n n n n n13211432341223111221七、 特征值与特征矢量[特征值与特征矢量] 对n 阶方阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 和n 维非零列矢量α=(a 1,a 2,...,a n )τ如果有一个数λ，使得A α=λα则称λ为矩阵A 的特征值（特征根），α为矩阵A 的特征值λ所对应的特征矢量. 矩阵A 的所有特征值中绝对值最大的一个称为A 的第一特征值.[特征矩阵特征多项式特征方程] n 阶方阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 的特征矩阵定义为=-I A λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---λλλnn n n n n a a a a a aa a a212222111211 式中I 为n 阶单位矩阵.行列式|A －λI |称为矩阵A 的特征多项式，记作（）=|-A λI |方程（）＝０称为矩阵A 的特征方程.[矩阵的迹与谱] n 阶方阵A 的主对角线上各元素之和称为A 的迹，记作∑==ni ii a A 1tr特征方程（）＝０的n 个根1，2，...，n 就是矩阵A 的n 个特征值.集合{1，2，...，n }称为矩阵A 的谱，记作ch A .线性齐次方程组0)(=-αλI A i的非零解便是矩阵A 的特征值i 所对应的特征矢量.[特征值与特征矢量的性质]1° 设1，2，...，n 为n 阶方阵A 的n 个特征值，则A k 的特征值为k n k k λλλ,,,21 （k 为正整数）. A 的逆矩阵A －1的特征值为11211,,,---n λλλ .A 的伴随矩阵A *的特征值为A A A n 11211,,,---λλλ .2° n 阶方阵A 的n 个特征值之和等于A 的迹，矩阵A 的n 个特征值之积等于A 的行列式，即1+2+...+n =a 11+a 22+...+a nn12...n =A由此可以推出矩阵可逆的另一充分必要条件是：A 的所有特征值都不为零. 3° 若i 是特征方程的k 重根，则对应于i 的线性无关的特征矢量的个数不大于k .当i 为单根时，对应于i 的线性无关特征矢量只有一个.4° 矩阵A 的不同特征值所对应的特征矢量线性无关.若n 阶方阵A 对应于特征值1，2，...，s 的线性无关的特征矢量分别有k 1,k 2,...,k s个，则这∑=s i i k 1个特征矢量线性无关，且n k si i ≤∑=1.5° 实对称矩阵的特征值都是实数，并且有 n 个线性无关（而且是正交）的特征矢量. 6° 矩阵的特征值在相似变换下保持不变，特别，A τ与A 具有相同的特征值.[求第一特征值的迭代法] 在实际问题中，往往不要求算出矩阵A 的全部特征值，只需算出第一特征值，用迭代法计算如下：⎩⎨⎧=λ=α++b αα)0()1()1(1)(k k k A )2,1,0( =k 假定当ε<-+)1()(m m αα时，可以认为(k ) ≈(m +1)，那末迭代到m k =即可.这时)1(1+m λ为矩阵A 的第一特征值的近似值，(m +1)为所对应的特征矢量.[求实对称矩阵的雅可比法] 设n 阶实对称矩阵A =(a ij )的特征值是1，2，...，n ，则必存在一正交矩阵Q ，使得Q τAQ =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλn 0021为对角矩阵.正交矩阵Q 可用一系列旋转矩阵的积来逼近：Q =∏pq U式中)()(11cos sin 11sin cos 11)()()(q p u U q p ij pq⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==θθθθ取pqpp qq a a a 2cot arc 21-=θ因为在这种旋转变换下，消去了矩阵中位于第p 行第q 列(p ≠q )交点上的元素（见本节，五），而矩阵所有元素的平方和保持不变，而且对角线上的元素的平方和增大，因而非对角线元素的平方和随之减小，因此，当旋转次数足够大时,可使非对角线元素的绝对值足够小.对于预先给定的精度>0,如果｜a ij ｜<(i ≠j ),则可认为a ij ≈0.于是得到求矩阵A 的特征值与特征矢量的具体迭代方法.1° 按以下递推公式求特征值1，2，...，n ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=θ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->-+=θ=⎪⎩⎪⎨⎧<ςς++ς-≥ςς++ς=θ=-=θ=ς--2221212)()()(1sin )0(11)0(112tan )0()1()0()1(tan 22cot k k k k k k k k k kk k k k k k k k pq k pp k qq k t t s t t t t t t v t a a a⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===≠≠=≠-+=≠+-=+=-=+++++),2,1(),,2,1,(),,,()()()()()1()1()()()()1()()()()1()()()1()()()1( k n j i a a q p j q p i a a q j a a s a a p j a a s a a a t a a a t a a ij ij kijk ijk qj k k pj k k qj k qj k pj k k qj k k pj k pj k pqk k qq k qq k pqk k pp k pp υυ假定当)()(j i a m ij ≠<ε时，可以认为0)(≈m ij a ，则迭代到1-=m k 即可.而取)(m iia 作为i的近似值：),,2,1(n i a miii =≈λ2° 求特征矢量 从1°有m m m m U U AU U U U 1111-- τττ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ0021记P m =U 1…U m-1U m则AP m = P m ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ0021所以P m 为特征矢量矩阵.P m 由下列递推公式算出：)1,,2,1(),,2,1,(),,2,1(),()()()1()()1()()()()1()()()()1(-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===≠=-+=+-=+++m k n j i u u n i q p j u u u u s u u u u s u u ijij k ijk ij k iq k k ip k k iq k iq k ip k k iq k k ip k ip υυ最后得到 )()(m ij m u P =即 τ),,,()()(2)(1)(m ni m i m i m i u u u u =为对应于特征值i 的特征矢量的近似值.[求对称三对角矩阵特征值的方法]1° 相似变换法 设A 为n 阶对称三对角矩阵：A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--n n n d e e d e e d e e d 113222111(1)经过相似变换1211211)(U U U I t A U U U A n k k n k --+-=τττ式中I 为单位矩阵,t k 为适当选定的常数，U i 为雅可比旋转矩阵：)1()(1111)1()(+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+i i c s s c U i i ii i iiτi U 为U i 的转置矩阵.又A 1=A ，A k +1与k k t A -I 相似，且A m 与∑-=-111m j j I t A 相似.因此，若A m 的特征值为),,2,1()(n i m i =λ，则A 1的特征值i (i=1,2,...,n )为∑-=+=11)(m j j m ii t λλ(i =1,2,…,n )假定当),,2,1()(n i e m i =<ε时，可认为0)(≈m i e ，那末可适当选择s i ，c i ，使得当m 充分大时，A m 在该精度下化为对角线矩阵；其特征值),,2,1()()(n i d m i m i =≈λ.)(m i d (i=1,2,...,n )可由下列递推公式算出：()())1,,2,1;1,2,,2,1(,)]([)(//g ])()[(0,,)(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)()()(1)()()(1)1(1)(1)()()()()(1)()()(1)(1)()(1)(1(k)1)()(1(k)1212)(2)(1)(1)()(-=--=⎪⎩⎪⎨⎧===-++=--=====+==-=+++++++++++++++++++++m k n n i q s e q c d r s e t d s g c s h d g s t d c q r e s r q c q c h e c c q rs c t d q k k k k k k k i k i k i k k i k i k i k i k i k i k i k i k i k k i k i k i k i k i k i k i k i k i k i k i i k i k i i k ik i k i k nk n k k n k nt k 的选择对收敛速度影响较大，取t k 为二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(2)(1)(1)(1k k k k d e e d 的接近于)(1k d 的那个特征值，即t k =⎪⎩⎪⎨⎧≥ββ++β-<ββ+-β-)0()1/()0()1/(2)(1)(12)(1)(1k k k k e d e d式中 )(1)(1)(22k k k e d d -=β 2° 二分法 设A 为n 阶对称三对角矩阵（如（1）式），对任意，设序列q 1()=d 1-q i ()=),,2()()(121n i q e d i i i =----λλ中q i ()<0的个数为N ()(在这些关系式中，对于某些i ，如果q i -1()=0，则只需用适当小的数代替即可），则N ()等于矩阵A 的小于的特征值的个数.假定矩阵A 的第k 个特征值k (1≤2≤… ≤k ≤…≤n )在区间[u ,υ]中，令21υ+=u r ,当N (r 1)≥k 时，则k ∈[u , r 1]；当N (r 1)<k 时，则k ∈[ r 1,v ];…依此类推，m步之后，k 包含在宽度为mu2-υ的区间中.m 充分大时，便可得到所求的特征值.八、 矩阵多项式与最小多项式[矩阵多项式] 设i a (i=1,2,...,n )为某一数域（实数域或复数域）中的数，A 为这个数域上的n 阶方阵，则表示式f (A )=a 0I+a 1A+...+a n A n称为矩阵A 的多项式，式中I 为n 阶单位矩阵.如果矩阵A 使得f (A )=O那末称A为多项式f(λ)=a0λ+ a1λ+ ...+a nλn的根.[哈密顿-凯莱定理] 任一方阵都是它的特征多项式的根.[最小多项式及其性质] 以矩阵A为根的非零多项式f(λ)中，存在首项系数为1次数最低的多项式(λ)，它就称为矩阵A的最小多项式.最小多项式具有性质：1°任一方阵仅有一个最小多项式；2°任一以A为根的多项式f(λ)都可被A的最小多项式(λ)所整除.特别，任一方阵的最小多项式可整除其特征多项式；3°方阵A的特征多项式的根都是A的最小多项式的根：4°相似矩阵具有相同的特征多项式和最小多项式.。
矩阵分析3-2
= α
(σ (α + β ), σ (α + β ) ) = (α + β , α + β ) ⇒ (σ (α ), σ ( β ) ) + (σ ( β ), σ (α ) ) = (α , β ) + ( β , α ) (σ (α + iβ ), σ (α + iβ ) ) = (α + iβ , α + iβ ) ⇒ (σ (α ), σ ( β ) ) − (σ ( β ), σ (α ) ) = (α , β ) − ( β , α )
(σ (α ), σ (β ) ) = (α , β )
则称 σ 是 V 的酉变换 设 V 是 n 维欧氏空间， 是V 的线性变换，若 ∀α , β ∈ V σ 都有
(σ (α ),σ (β ) ) = (α , β )
则称 σ 是 V 的正交变换
定理 设 σ 是酉空间(欧氏空间)V 的线性变换，则下列 命题等价
−1−i 2 −1−i 2
都是酉矩阵
酉矩阵的性质 若 A, B ∈ U n×n，则
(1) A−1 = AH ∈ U n×n
(2) det A = 1
(4) AB, BA ∈ U n×n
(3) A ∈U
T
n×n
正交矩阵的定义 若 n 阶实矩阵 A 满足 AT A = AAT = E 则称 A 是正交矩阵，记作 A ∈ E n×n 正交矩阵的性质 若 A, B ∈ E n×n ，则
§3.2 酉变换、正交变换
酉矩阵、 一、酉矩阵、正交矩阵 酉变换、 二、酉变换、正交变换
酉矩阵、 一、酉矩阵、正交矩阵 酉矩阵的定义 若 n 阶复矩阵 A 满足
初等矩阵(高等代数课件)
1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 P (i , j ) 1
1
0
1 1
1
第i 行
第 j 行
1
0
1
(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2、以数 k 0 乘某行或某列
3) n 级方阵A可逆
Ps AQ1Q2
A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价.
4) 定理6
n 级方阵A可逆 A能表成一些初等矩阵的积,
§4.6 初等矩阵
即 A Q1Q2
Qt .
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 B PAQ . 由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵 Pss , Qnn , 使
r2 r3 , c1 2c3 ,
1r3 , 1c3
P (i , j ) A :
对换 A 的 i , j 两行；
AP ( i , j ): 对换 A 的 i , j 两列． P ( i ( k )) A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AP ( i ( k )) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列． P ( i , j ( k )) A ： A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ; AP ( i , j ( k )) ：A的第 i 列乘以 k 加到第 j 列．
§4.6 初等矩阵
A 如果要求Y CA , 则可对矩阵 作初等列变换， C A 列变换 E 1 , 即可得 Y CA1 . C CA
1
也可改为对( AT , C T ) 作初等行变换， （A , C )
线性代数§3.2初等矩阵
定理2: 方阵A为可逆的充分必要条件是存在有限 个初等矩阵P1, P2,· · · , Pl , 使A=P1P2 · · · Pl . 证: 充分性. 由于A = P1P2· · · Pl , 且初等矩阵P1, P2, · · · , Pl 为可逆的, 有限个可逆矩阵的乘积仍是可逆的, 故方阵A可逆. 必要性.设矩阵A为可逆的, 且A的标准形为F, 则存 在有限个初等矩阵P1, P2, · · · , Pl 使 P1P2· · · Ps F Ps+1· · · Pl =A. 由于A可逆, 且P1, P2, · · · , Pl 也可逆, 故A的标准形F 也必 可逆, 设 Er O F O O nn 假若 r < n, 则| F | = 0, 这与F 可逆矛盾. 故有F =E. 证毕 A = P1P2· · · Pl , 从而,
由以上的证明可得: 可逆矩阵的标准形就是E, 实 际上, 可逆矩阵的行最简形也是E. 推论1: 方阵A可逆的充分必要条件是AE. 推论2: mn矩阵A B的充分必要条件是存在m阶 可逆方阵P及n阶可逆方阵Q, 使 PAQ = B. 利用初等变换求逆阵的方法: 当| A | 0时, 则由 A=P1P2· · · Pl , 得 1 P 1 A E , 及 P 1 P 1 P 1 E A1 . Pl1 Pl l l 1 1 1 1 对n2n矩阵(A E)分块为(A|E), 则 1 1 Pl1 Pl P 1 1 A | E 1 1 1 1 1 1 E | A Pl1 Pl P A | P P P E 1 1 l l 1 1 即, 对n2n矩阵(A|E)施行初等行变换, 当把A变成E的 同时, 原来的E就变成了A-1.
例2: 求矩阵X, 使AX=B, 其中 1 2 3 2 5 A 2 2 1 , B 3 1 . 3 4 3 4 3 解: 若A可逆, 则 X=A-1B. 5 1 2 3 2 5 r –2r 1 2 3 2 ( A | B) 2 2 1 3 1 2 1 0 2 5 1 9 3 4 3 4 3 r3–3r1 0 2 6 2 12 1 0 2 1 4 r –2r 1 0 0 3 2 r1+r2 0 2 5 1 9 1 3 0 2 0 4 6 r3–r2 r2–5r3 0 0 1 1 3 0 0 1 1 3 3 2 3 2 r2(–2) 1 0 0 0 1 0 2 3 . 2 3 . 所以 X r3(–1) 1 3 0 0 1 1 3
酉矩阵的应用 -回复
酉矩阵的应用-回复酉矩阵的应用是一项广泛而重要的数学领域，它在各个学科中都有着广泛的应用。
本文将逐步阐述酉矩阵的概念、性质和应用，并介绍一些相关的实际应用案例。
首先，我们来了解什么是酉矩阵。
酉矩阵是指一个复数域上的方阵，其共轭转置等于其逆矩阵。
换句话说，一个方阵U是酉矩阵，当且仅当U的共轭转置矩阵U*满足以下条件：U*U=UU*=I，其中I是一个单位矩阵。
接下来，我们来详细探讨酉矩阵的性质。
首先，酉矩阵的行列式的模长等于1，即det(U) =1。
其次，酉矩阵的特征值具有单位模长，即酉矩阵U 的特征值λ满足λ=1。
此外，酉矩阵的特征向量正交归一，即酉矩阵U 的特征向量对应于不同特征值的特征向量是正交且归一的。
最后，酉矩阵可以分解为单位模长的特征向量与特征矩阵的乘积，即U=VDV*，其中V 是酉矩阵的特征向量组成的酉矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素是酉矩阵U的特征值。
接下来，我们来看一些酉矩阵的应用案例。
首先，酉矩阵在量子力学中起着重要的作用。
量子力学是研究微观领域中粒子的行为和相互作用的理论框架，而酉矩阵则是描述量子力学系统中的态演化的数学工具。
量子态的演化可以用酉矩阵来表示，而量子测量可以通过酉矩阵的特征向量和特征值来描述。
其次，酉矩阵在信号处理中也有广泛应用。
例如，在正交频分复用系统中，酉矩阵可以用来进行信号的正交化处理，从而实现多个信号的同时传输。
在多输入多输出（MIMO）系统中，酉矩阵可以用来进行信号的空间预编码和信号的空间解码，从而提高系统的信号传输速率和可靠性。
此外，酉矩阵还在图像处理和机器学习等领域中广泛应用。
在图像处理中，酉矩阵可以用来进行图像的变换和压缩。
在机器学习中，酉矩阵可以用来进行特征提取和数据降维，从而改善机器学习算法的性能。
总之，酉矩阵的应用十分广泛，涉及到数学、物理、工程等多个学科领域。
通过了解酉矩阵的概念、性质和应用，我们可以更好地理解和应用酉矩阵，发挥其在各个领域的作用。
初等矩阵概念
初等矩阵概念
初等矩阵是指一个由相同元素组成的矩阵,这些元素都是 0 或 1。
在数学和计算机科学中,初等矩阵是一个重要的概念,可以用来表示一些基本的矩阵运算,如加法、乘法、交换律和结合律等。
初等矩阵可以看作是一个特殊的矩阵,它有一个唯一的特征值,即它的行列式为零。
因此,初等矩阵的行数等于列数,即 $n$ 行 $n$ 列。
在数学和计算机科学中,初等矩阵通常用于矩阵乘法的实现,如矩阵和向量的加法和乘法。
除了初等矩阵之外,还有一些其他的矩阵类型,包括高等矩阵、单位矩阵、对角矩阵等。
高等矩阵是一种比初等矩阵更复杂的矩阵类型,它可以用来表示一些更复杂的矩阵运算。
单位矩阵是一种具有特殊性质的矩阵,它的行数等于列数,并且每行和每列的元素都相等。
对角矩阵是一种具有对角线的矩阵类型,它可以用来表示线性方程组和矩阵的对角化。
在数学和计算机科学中,矩阵是一种非常常见的数学工具,可以用来表示和处理各种数据类型。
矩阵的运算包括加法、乘法、交换律和结合律等,这些运算可以用来解决各种数学和计算机科学问题。
初等矩阵是一个重要的概念,可以用来表示一些基本的矩阵运算,同时也有其他特殊的矩阵类型,这些矩阵类型可以用来表示更复杂的矩阵运算。
酉矩阵unitarymatrix
酉矩阵unitarymatrix
所谓的酉矩阵（Unitary Matrix ），是指其具有如下性质
I =ΦΦH
其中的上标H 表示共轭转置，也即
()T
H *ΦΦ=
所谓的共轭转置其实就是熟悉的转置运算推广到复数域。
当然在这个推广过程中，最重要的物理性质得以保留。
这个保留的意思解释如下。
譬如在实数情况下，两个实数向量之间的内积定义为∑=i i i y x y x ,
而向量的长度则为
x x x ,2=
而两个向量为正交是说这两个向量的内积等于0. 那么，推广到复数域，内积要推广为
∑==i
i i H w v *,w v w v
这样才能保证内积与长度的关系还是
v v v ,2=
回到最前面，很显然，所谓矩阵是unitary 的，无非是说其不同列之间是正交的，而且每一列具有单位长度。
可以证明，酉矩阵是保持长度或者说保持范数的，也即
()()()22z z z z z z z z z z =====H H H H H H ΦΦΦΦΦΦΦ。
矩阵理论基本知识
矩阵理论的基本概念1.奇异矩阵1)方阵;2)行列式为零,即不可逆矩阵;3)0Ax =有非零解或无解; 非奇异矩阵:1)方阵;2)行列式不为零,即可逆矩阵;3)0Ax =只有零解,因为A 可逆.2.酉矩阵 n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix )。
一个简单的充分必要判别准则是：方阵U 的共轭转置乘以H U 等于单位阵，则U 是酉矩阵。
即酉矩阵的逆矩阵与其共轭转置矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。
酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
酉矩阵的相关性质： 设有A ，B 矩阵（1）若A 是酉矩阵，则A 的逆矩阵也是酉矩阵;（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 也是酉矩阵;（3）若A 是酉矩阵，则|det |1A =;（4）A 是酉矩阵的充分必要条件是，它的n 个列向量是两两正交的单位向量.3.矩阵的奇异值4.矩阵的特征值n 维方阵A 的特征值定义为:使()0A I x λ-=有非零解x 的λ的取值,相应的非零解x 称为λ所对应的特征向量.因为()0A I x λ-=有非零解,其充要条件为||0A I λ-=.这是特征值求解的方法.确定λ后,代入()0A I x λ-=即可求解出相应的特征向量.5.矩阵的秩定义1. 在m n ⨯阶矩阵A 中,任意取k 行和k 列(1min(,))k m n ≤≤交叉点上的元素构成A 的一个k 阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A 的一个k 阶子式.例如，在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A 的一个2阶子式.定义2. ()ij m n A a ⨯=的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA ，或rankA .特别规定零矩阵的秩为零.显然min(,)rA m n ≤,易得:若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，且在min(,)r m n ≤时,A 中所有的1r +阶子式全为零,则A 的秩为r . 由定义直接可得n 阶可逆矩阵的秩为n ,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det()0A >;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det()0A =.定义3. n 阶方阵的行列式 定义4. n 阶方阵A ，其对角线上元素的和称为矩阵的迹，记为1()nii i tr A a ==∑，它与矩阵的特征值之和相等。
酉矩阵概念及性质
酉矩阵概念及性质
酉矩阵是在线性代数研究中分析及其他研究，例如信号处理，系统设计等，有着重要地位
的一种矩阵类型。
它的定义是一个极大的可操作的长方形矩阵，它的主要特性是行数和列
数均为偶数，它可以在特定的坐标系中被定义。
酉矩阵有一系列特定的性质。
首先，偏移矩阵是主对角线上元素零化的矩阵，即主对角线
上元素均为零。
第二，它可以被分解为两个子矩阵及其相反的对角矩阵的乘积。
第三，它
的乘积可以在它的状态空间中表示。
第四，它的元素、行列式以及其他属性可以通过两个子矩阵及它们的对角矩阵求得。
第五，它能够完全表达当前变量之间的线性关系。
酉矩阵在许多学科中都被广泛应用，特别是在生物技术、电气工程、物理、传感器工程、
信号处理等领域都有着重要的地位。
它被广泛应用于传感器技术，为传感器系统提供了可
靠的方案，从而促进了传感器技术的发展和应用。
在信号处理的应用中，酉矩阵可以用来
分析和处理信号，从而获得更准确的结果。
系统设计中，它可以用来估算系统改进后的性能，以及评估系统变化对系统性能的影响。
总之，酉矩阵是一种重要的矩阵类型，因其自身的特殊性质，在众多学科的应用中发挥着
重要的作用，它的应用不仅有利于提高系统的可靠性和性能，而且还有利于更深入研究系
统的运作原理，充分发挥其应用价值。
§3-3初等矩阵与逆矩阵
数 a，b
1 E
方阵 A，B
ab 1 , 则 b a 1 ba 1
AB E ，则 B A 1 BA E
1、可逆矩阵的定义
定义7 对于 n阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使
AB BA E，则称 A可逆， B为A的逆矩阵 , 记作 B A 1 .
对A 施行一次初等行变换,相当A左乘以相应的初等方阵;
对A施行一次初等列变换,相当A 右乘以相应的初等方阵。
1 a11 a12 a13 a11 a12 a13 kr2 E ( 2( k )) A k a 21 a 22 a 23 ka21 ka22 ka23 1 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a11 a12 a13 1 a11 ka12 a13 kc 2 AE ( 2( k )) a 21 a 22 a 23 k a 21 ka22 a 23 a a 32 a 33 1 a 31 ka32 a 33 31
求 (1) E (1, 2) A, AE (1, 2); ( 2) E ( 2( k )) A, AE ( 2( k )); ( 3) E (1, 2( k )) A, AE (1, 2( k )).
解
0 1 0 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 r r 2 1 E (1，) A 1 0 0 a 21 a 22 a 23 a11 a12 a13 2 0 0 1 a a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 31
a1 例4 n阶方阵 A
矩阵分析 酉矩阵
第一题正交矩阵定义：满足的方阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。
n阶正交矩阵的集合记为。
1.正交矩阵与运算的关系1.1.和：正交矩阵的和不一定是正交矩阵。
如：取,则，但，所以。
但若又取,；则=。
1.2.伴随：矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是它本身是正交矩阵。
(充分性) 若是正交矩阵，则可逆，且也是正交矩阵，而，又因为，所以是正交矩阵。
(必要性) 反之若是实矩阵且是正交矩阵，则可逆，于是可逆。
由于,故，又由于，故，由得，所以也是正交矩阵。
1.3对角化：若为正交矩阵且有n 个特征值，则正交相似于对角矩阵因为由3（３）的推论，对任意的正交矩阵，有正交矩阵为上三角矩阵，由于都是正交矩阵，所以也是正交矩阵，而，所以，是上三角的，而是下三角的，所以为对角矩阵；又因为这个根据3（２）的证明，这个正交矩阵一定是对称的，所以再根据3（５）1的证明且正交矩阵的特征值为，可得正交相似于不过在附录中正交矩阵与（反）对称矩阵关系的讨论中我们可以发现一个正交矩阵可找到另一个正交矩阵，使这个正交矩阵化为准对角形式，而且这个命题的逆方向也是正确的，即若能找到另一个正交矩阵，使某个矩阵化为准对角形式，则这个矩阵是正交矩阵！1.4.与对称矩阵：设，则的充分必要条件是,是一个对角矩阵。
（充分性）。
（必要性）由3（３）的推论，是上三角矩阵，在两边加转置，可得，是下三角矩阵，所以是对角的，不仅对角化，还可以化到以特征值为对角元的对角矩阵，因为对称变换中不同特征值对应的特征向量必正交。
酉矩阵定义：若一行列的复数矩阵满足：其中，为的共轭转置，为阶单位矩阵，则称为酉矩阵。
2A Hadamard matrix of order n is an n×n matrix with elements in {+1,−1} such that HHT = nIn where HT is the transpose of H and In is the identity matrix of order n. This class of matrices are useful in many practical applications. Q1 Does Hadamard matrix exist for anyorder? Please list a Hadarmard matrix of order n with n ≤20 if such a matrix exists. Q2 Design two Hadamard matrices H = [h1,h2,···,hn] and G = [g1,g2,···,gn] of order n = 2m (where m is odd) such that •{h1,h2,···,hn/2} is orthogonal to {g1,g2,···阿达玛矩阵的顺序是一个n×n矩阵元素{ + 1−1 },遗传性出血性毛细血管扩张症=外祖母在HT的转置H和n阶单位矩阵。
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⾣矩阵将学习到什么这⼀节介绍⼀类⾮常特殊且⾮常重要的矩阵，⾣矩阵。
并简单介绍了⼀些性质。
⼊门知识先给定义可以看到，如果把矩阵定义域限定在实数域，⾣矩阵就叫实正交矩阵啦。
这只是“官⽅定义”，它还有很多等价说法，列出来 证明：(a)~(f) 都没什么好说的，说⼀下最后⼀个 (g). 如果说U是⾣矩阵，令y=Ux，那么y∗y=x∗U∗Ux=x∗Ix=x∗x, 即‖x‖2=‖Ux‖2. 反过来，我们设U∗U=A=[a ij],取x=z+w，其中z,w∈C n, 则x∗x=z∗z+w∗w+2Re z∗w, 且y∗y=x∗Ax=z∗Az+w∗Aw+2Re z∗Aw. 由‖x‖2=‖Ux‖2可知z∗z=z∗Az以及w∗w=w∗Aw, 从⽽对任意的z与w有Re z∗w=Re z∗Aw. 取z=e p以及w=i e q, 并计算 Re i e T p e q=0=Re i e T p Ae q=Re i a pq=−im a pq, 即虚部全为零，则A的每个元素都是实的。
再取z=e p以及w=e q, 计算e T p e q=Re e T p e q=Re e T p Ae q=a pq, 这告诉我们有A=I, 则证明了U是⾣矩阵。
上个定理中的 (g) 中的条件有个定义那么就是说，复⽅阵U∈M n是 Euclid 等距的，当且仅当它是⾣矩阵。
下⾯给出⼀个简单结论 证明：(UV)∗(UV)=V∗U∗UV=V∗V=I, 所以UV是⾣矩阵。
可见⾣矩阵相乘还是⾣矩阵。
其实⾣矩阵的集合构成⼀个群。
这个群称为n×n⾣群，对应实数域中的实正交群。
群是对单独⼀个满⾜结合律的⼆元运算封闭的集合，且在此集合中含有该运算的恒等元以及逆元，对⾣矩阵来说，其相乘仍是⾣矩阵，所以对乘法运算封闭，乘法显然是可结合的，⾣群的恒等元是I, 其逆元仍是⾣矩阵，即U−1=U∗.深⼊⼀点⾣矩阵U∈M n的每⼀列或者每⼀⾏的 Euclid 范数都是 1，因⽽U=[u ij] 中没有任何元素有绝对值⼤于 1. 如果我们把⾣群看作是] 是⾣矩阵组成的⼀个⽆限序列（k=1,2,⋯）, 使得对所有C n2的⼀个⼦集，这就是说是它的⼀个⼦集；如果U k=[u(k)iji,j=1,2,⋯,n都有lim, 那么由恒等式U_k^*U_k=I, k=1,2,\cdots，我们就看出\lim\limits_{k\rightarrow\infty}U_k^*U_k=U^*U=I, 其中U=[u_{ij}]. 于是，极限矩阵U也是⾣矩阵. 也就是说，⾣矩阵的集合是\mathbb{C}^{n^2}的封闭⼦集. 学过泛函的都知道有限维的有界闭集是⼀个紧集，所以我们可以说M_n中⾣群是紧的. 由这个结论可推出关于⾣矩阵的选择原理. 证明：紧集中必存在收敛的⽆限⼦序列于⾃⾝的某个元素。
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⾣矩阵正交矩阵、正规矩阵和⾣矩阵在数学中，正规矩阵是与⾃⼰的共轭转置交换的复系数⽅块矩阵，也就是说，满⾜其中是的共轭转置。
如果是实系数矩阵，那么条件简化为其中是的转置矩阵。
矩阵的正规性是检验矩阵是否可对⾓化的⼀个简便⽅法：任意正规矩阵都可在经过⼀个⾣变换后变为对⾓矩阵，反过来所有可在经过⼀个⾣变换后变为对⾓矩阵的矩阵都是正规矩阵。
在复系数矩阵中，所有的⾣矩阵、埃尔⽶特矩阵和斜埃尔⽶特矩阵都是正规的。
同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。
两个正规矩阵的乘积也不⼀定是正规矩阵⾣矩阵n阶复⽅阵U的n个列向量是U空间的⼀个标准正交基，则U是⾣矩阵(Unitary Matrix)。
⼀个简单的充分必要判别准则是：⽅阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是⾣矩阵。
即⾣矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。
⾣⽅阵在量⼦⼒学中有着重要的应⽤。
⾣等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
若⼀ n ⾏ n 列的复矩阵U满⾜其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为⾣矩阵或译⼳正矩阵。
即，矩阵U为⾣矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:。
若⾣矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。
与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，⼳正矩阵U不改变两个复向量的内积：若为n阶⽅阵，则下列条件等价：1.是⾣矩阵2.是⾣矩阵3.的列向量构成内积空间C n上的⼀组正交基4.的⾏向量构成内积空间C n上的⼀组正交基⾣矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平⾯的单位圆上，因此⾣矩阵⾏列式的值也为1。
⾣矩阵是正规矩阵，由谱定理知，⼳正⾣矩阵U可被分解为其中V是⾣矩阵，Σ是主对⾓线上元素绝对值为1的对⾓阵。
对任意n，所有n阶⾣矩阵的集合关于矩阵乘法构成⼀个群。
性质U可逆U 1 = U*|det(U)| = 1U*是⾣矩阵正交变换最初来⾃于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部运动的动能,⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部势能,⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部势能,由⼒常数的数学表达式可以知道fij = fji因⽽矩阵为⼀个正交变换通过⾣变换可以把矩阵变形成为对⾓矩阵的形式：。
1-3 常见特殊矩阵
把正定矩阵定义中的x 改成x 把正定矩阵定义中的 TAx>0改成 TAx<0，则称 改成 ，则称A 矩阵。 是负定 (negative definite)矩阵。记做 矩阵 记做A<0。 。 负定矩阵的特征值都是负数 负数。 负定矩阵的特征值都是负数。
× 如果对任意x∈ 设A∈SRn×n，如果对任意 ∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 ∈ ， 称A为半正 负)定 (semi positive/negative definite) 为半正(负 定 矩阵，记做A≥(≤)0。 矩阵，记做 。
4. 正交矩阵
设Q∈Rn×n，如果 TQ=QQT=I，则称 为正交 ∈ × 如果Q ，则称Q为 (orthogonal)矩阵。 矩阵。 矩阵 正交矩阵一定可逆， 正交矩阵一定可逆，且Q-1=QT。 是正交矩阵， 设Q1,Q2是正交矩阵，则Q1-1, Q1Q2, diag(Q1,Q2)也 也 都是正交矩阵。 都是正交矩阵。 1. Givens变换： 变换： 变换 A = c s , c 2 + s 2 = 1, A = cosθ sinθ . − s c − sinθ cosθ 可以通过一系列的Givens变换把任意非零向量变 可以通过一系列的 变换把任意非零向量变 的倍数。 成e1的倍数。
1.3 常见特殊矩阵
1. 上三角矩阵 2. 初等变换矩阵 3. 对称矩阵 4. 正交矩阵 5. 内积空间
我们尽量采用如下记号： 我们尽量采用如下记号： 用大写英文字母表示矩阵， 用大写英文字母表示矩阵，如A,B,… 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素， a11,b2n,… 用小写英文字母表示向量， 用小写英文字母表示向量，如x,y,z,… 用小写希腊字母表示标量， 用小写希腊字母表示标量，如α,β,λ,µ,…
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( H (u) x, H (u) y) ( x, y) H (u) x ( H (u ) x, H (u) x) ( x, x) x H (u ) x x
2 2
<1> Householder变换不仅适用于常数向量，也适用于 随机向量. 它能够保持随机向量的协方差（即二阶统 计 量不变）. <2> Householder变换的范数（或协方差）不变性是几 乎所有Householder变换的关键.
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三.初等酉阵(Householder变换)
H (u) E (u,u; 2) E 2uu H , (u H u 1)
(1) H (u)H H (u) H (u)1
Байду номын сангаас
(2) H (u)(a ru) a ru,a u ,r C (镜象变换)
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(3)Householder变化的特性
§1.6 初等矩阵及酉矩阵
一、初等矩阵的一般形式
n 定义 1 设u,v C , C , 则称 E (u,v , )=E uv H 为初等矩阵 .
1.初等矩阵的特征向量(u,v 0 , 0).
(1) u v ,设u1 , ,un1是v 的一组基 ,它们也是E( u,v , )的 n 1个线性无关的特征向量. (2) u v ,设u1 , ,un1是v 的一组基 , 则u,u1 , ,un1
是E( u,v , )的n个线性无关的特征向量.
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2.初等矩阵的特征值
(E(u,v , ))={1,1, ,1,1 v u} 3.det (E (u,v , ))=1 v H u 1 4. E( u,v, ) E( u,v, H ),(1 v H u 0) v u1
Ei (k ) E (1 k )ei ei E (ei ,ei ,1 k )
T
T
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二、初等下三角矩阵
1 1 Li (li ) E (li , ei ,1) , li 1,i 1 l 1 n ,i li (0, , 0, li 1,i , , ln ,i )T 其中 T e (0, , 0,1, 0, , 0) i ak ,i a k ,i 0(k i 1,, n). lk ,i (k i 1, , n), E (li , ei ,1) A A ai ,i
H
5.非零向量a ,b C n ,存在u,v , , 使得 ab E( u,v , )a b,( u H ). v a
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6.初等变换矩阵
Eij E (ei e j )(ei e j )T E (ei e j ,ei e j ,1)
Eij ( k ) E ke j ei E (e j ,ei , k )