博弈论第7讲

客户2 提 前 客 户 1 提 前 到 期 0.8, 0.8 0.6, 1 到 期 1, 0.6 1.2, 1.2
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第二阶段
多阶段静态博弈简例：挤兑博弈
其中，风险占优均衡就是“挤兑”现象， 而帕雷托占优则是金融健康的经济现象。 若采用风险占优策略的客户比例较大，超 出了银行承受能力，就可能会造成金融危 机。
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图2-20 银行挤兑风险
多阶段静态博弈简例：挤兑博弈
用逆推归纳法来分析该博弈。 在第二个阶段的博弈。这是一个二人完全信息静 态博弈，可以得出该博弈有两个纯策略纳什均衡 （提前，提前）和（到期，到期）。 对应的支付情况分别为(0.8,0.8)和(1.2,1.2)。 分别为风险占优均衡和帕雷托占优均衡。
*
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经典案例(2):讨价还价博弈
无限阶段讨价还价问 题
罗宾斯坦恩 (Rubinstein, 1982): 在无限期轮流出价博 弈中，唯一的子博弈 精炼纳什均衡结果是 如果δ1=δ2=δ，则1 2 Fra bibliotek 1 1 2
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1 x 1
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经典案例(2):讨价还价博弈
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多阶段静态博弈简例：挤兑博弈
在两个客户都存款，从而银行给上述企业提供贷 款的情况下，如果银行满1年收回贷款，企业就 能完成一笔生意，银行可收回贷款本息，并可支 付存款客户的存款本息。
如果在不到1年的时候，其中任何一个客户单独 或同时要求提前取出存款，银行就不得不提前收 回贷款。假设银行只能收回80%的本钱。 若只有一个客户要求提前取款，则银行会偿还其 全部本金，余款则属于另一客户；若两客户同时 要求提前取款，则平分回收的资金。
多阶段静态博弈
有同时选择的动态博弈问题
如国际竞争中最优关税博弈问题，两个制 定关税的国家可看成标准模型中的参与人1 与2；两国各自的一个相互进行产量竞争的 企业就是模型中的参与人3于4。 上述标准模型的变形，如某个阶段只有一 个参与人；第二阶段的参与人3于4与第一 阶段的参与人1与2相同等，也属于同时选 择的动态博弈问题。
由于参与人1能得到的最 大份额和最小份额相同， 均衡结果是唯一的，为
1 2 m 1 1 2
1 2 1 1 2
M
1 2 x 1 1 2
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多阶段静态博弈
该类模型中至少在某个阶段参与人同时 选择其决策。
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多阶段静态博弈
模型一例
博弈中有四个参与人，分别用参与人1~4表示。 第一阶段是参与人1与2的决策选择阶段，他们同 时在各自的策略集A1和A2中分别选择a1和a2。 第二阶段是参与人3与4决策选择阶段，他们看到 参与人1和2的决策a1和a2后，同时在各自的策略 集A3, A4中分别选择a3和a4。 各参与人的支付函数是参与人的策略a1, a2, a3, a4 的函数，记为ui = ui (a1, a2, a3, a4) 31
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讨价还价实例
假设两人就冰激凌的分配讨价还价。冰 激凌会随时间而融化。
假设冰激凌重量为100克，每一回合融 化10克（即10个回合全部融化）。 假设甲先提议，然后是乙。
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讨价还价实例
两回合谈判的均衡结果推导过程：
第二回合乙提议之后博弈结束，因此相当于他 面临独裁博弈。此时，他会将全部冰激凌分 给自己（比例为1）。由于已经化掉1/10，因 此，尽管乙得到了全部，但实际上是90克； 甲什么也没得到。再回溯到第一回合，为了 不使乙反对，甲必须使得乙所获得的冰激凌 实际额不低于其第二回合的数量。 因此，均衡结果是甲10克，乙90克
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经典案例(2):讨价还价博弈
如果δ1=δ2=1, 即双方都有无限耐心，那么， 如果T=1,3,5,…,均衡结果是x=1；如果 T=2,4,6,…，均衡结果是x=0。 这里的结果可以称之为“后动优势” （last-mover advantage）
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经典案例(2):讨价还价博弈
一般说来，如果0<δi<1, i=1,2，均衡结果 不仅依赖于贴现因子的相对比率，而且还 依赖于博弈时期T和谁在最后阶段出价。然 而，这种依存关系随着T的变大而变小
因此，子博弈精炼均衡结果是x=1- δ2（1-δ1） 19
经典案例(2):讨价还价博弈
当T=4, 5, …等有限整数值时，仿照前述方法， 可以推导出任何给定的T的子博弈精炼纳什均 衡。
如果δ1=δ2=0，不论T为多少，子博弈精炼均衡的结 果是 x =1；就是说，如果两个参与人都是绝对无耐 心的，第一个出价的人得到整个蛋糕； 如果δ2=0，不论δ1为多少，子博弈精炼均衡结果仍 然是x=1; 如果δ1=0, δ2>0, 子博弈精炼均衡结果是x=1-δ2
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多阶段静态博弈简例：挤兑博弈
根据上述假设，可以用图2-20的两个矩阵表 示该问题。
客户2 不 存 存 款 1， 1 下一阶段 客 户 1 提 前 客户2 提 前 到 期 1, 0.6
客 户 1
不 存 存 款
1， 1 1， 1
第一阶段
0.8, 0.8
到 期
0.6, 1
1.2, 1.2
第二阶段
假定参与人1和参与人2的贴现因子分别为δ1 和δ2，如果博弈在时期t结束，t是参与人i的出 价阶段，则参与人1支付的贴现值是π1= δ1t-1xi, 参与人2支付的贴现值是π2= δ2t-1(1-xi)
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经典案例(2):讨价还价博弈
结合切蛋糕问题，贴现值既可以理解为
资金的时间价值
由于蛋糕由于未被分割出去所造成的自然 缩减。
5
讨价还价实例
三回合谈判的均衡结果推导过程：
第三回合甲提议之后博弈结束，因此相当于他面临独裁 博弈。此时，他会将全部冰激凌分给自己（比例为 1）。由于已经化掉2/10，因此，尽管甲得到了全部， 但实际上是80克；第二回合中，为了不使甲反对，乙 必须使得甲所获得的冰激凌实际额不低于其第三回合 的数量，即甲80克，乙10克；再回溯到第一回合，为 了不使乙反对，甲必须使得乙所获得的冰激凌实际额 不低于其第二回合的数量，即乙10克，甲90克。 因此，均衡结果是甲90克，乙10克 6
当T趋于无穷时，我们得到“先动优势”： 如果δ1=δ2=δ，唯一的纳什均衡结果为 x=1/(1+δ)
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经典案例(2):讨价还价博弈
无限阶段讨价还价问 题
罗宾斯坦恩 (Rubinstein, 1982): 在无限期轮流出价博 弈中，唯一的子博弈 精炼纳什均衡结果是
1 2 x 1 1 2
讨价还价实例
同学们可以自己推导一下，第9回合和第 十回合的均衡结果是多少？
7
讨价还价实例
第9回合，甲60克，乙40克；
第10回合，甲乙各50克。
推导过程9和10回合.doc
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讨价还价实例
结论：
1，低于10回合外，谁最后提议，谁有优 势。 2，谈判的回合越多，两人的利益分享额 越接近平均分配。 3，回合足够多得话，平均分配合作利益。
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经典案例(2):讨价还价博弈
x=1- δ2 (1- δ1M)
x=δ1M t=2
x=M t=3
… t=k
t=1
因此有 x=1- δ2 (1- δ1M)=M 进而求得
M 1 2 1 1 2
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经典案例(2):讨价还价博弈
与此类似，可求出参与人 1能够获得的最小份额m, 为
上述定理的证明
由于T=∞,博弈没有最后阶段，不可能使用 逆推归纳法。
但根据Shaked, Sutton(1984)，因为从参 与人1出价的任何一个阶段开始的子博弈等 价于从T=1开始的整个博弈，因此可转换为 有限阶段讨价还价问题。
见图2-19。
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经典案例(2):讨价还价博弈
t=1
t=2
t=3
…
t=k
…
从t=1阶段开始的整个博弈
从任一阶段开始的子博 弈（t为奇数）
图2-19 无限阶段讨价还价问题 26
经典案例(2):讨价还价博弈
x=1- δ2 (1- δ1M)
x=δ1M t=2
x=M t=3
… t=k
t=1
假定在时期t≥3时参与人1出价，参与人1能得到的最大份额 是M; 对参与人1而言，t期的M等价于t-1期的δ1M，参与人2知道在 t-1时期的任何x2≥δ1M的出价将被参与人1接受，因此参与人 出价x2= δ1M,自己获得1- δ1M; 对于参与人2而言，t-1期的1- δ1M等价于t-2期的δ2 (1- δ1M)， 参与人知道在t-2期的任何x1<=1- δ2 (1- δ1M)出价将被参与人 2接受，因此参与人1出价x1=1- δ2 (1- δ1M)
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经典案例(2):讨价还价博弈
上述过程反复进行，直到一个参与人的 出价被另一个参与人接受为止。
这是一个无限期完美信息博弈，参与人 1在1, 3, 5,…出价，参与人2在时期 2,4,6,…出价。
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经典案例(2):讨价还价博弈
若用x表示参与人1的份额，(1-x)表示参与人2 的份额，x1和(1-x1)分别是参与人1出价时参与 人1和参与人2的份额，x2和1-x2分别是参与人 2出价时参与人1和参与人2的份额。
上次内容回顾
动态博弈的概念
完美信息和完全信息（信息集）
扩展式表示（博弈树）
动态博弈的策略式表示
逆向归纳法（Back Induction） 承诺的置信（反国家分裂法） 子博弈完美均衡 斯塔克博格(Stackelberg)模型
1
子博弈完美均衡与BI
2
先动优势？后动优势
NIM
Step or throw
32
多阶段静态博弈
这类模型实质上就是完美信息动态博弈， 因此仍然可以采用逆推归纳法进行分析。