组合数学课件--第一章排列与组合讲解
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1.2 一一对应 1 2 5 任给一个序列B{b1,b2,b3,…,bn-2} 1、从A找到最小的不属于B的元素,设为a1,与b1连 接，从A中去掉a1，从B中去掉b1. 2、重复以上过程只到B为空，A中剩余两个 3、连接剩余的两个顶点。
*
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树的顶点集合为12345
3 4
这棵树对应序列（2，3，2）
因此这两种站位方式的方案数一样多，都是 9!
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1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 9个人站成方阵的方案数为： C(9,3)3!C(6,3)3!C(3,3)3!
9! 6! 3! 3!3! 9! 6!3! 3!3!
16
1.2 一一对应 定理1.1 n个有标号1,2,…,n的顶点的树 的数目等于nn-2。（n>=2） 设一棵树的顶点集为A 1、从中找到编号最小的 1 叶子结点，去掉该叶子结点a1 及其邻接边(a1,b1)。 2 3 4 2、重复以上过程。只到 剩一条边为止。 5 (1,2),(4,3),(3,2) 这棵树对应序列（2，3，2） 一个棵对应序列B=b1b2b3…bn-2而且是唯一的
2、f(0,0)=0,f(0,1)=0,f(1,0)=0,f(1,1)=1 。 ………… 对应着长度为22的字符串，每一位都可以取0或1;
乘法：2^22
自变量数为n个时：2^2n
*13
1.2 一一对应
1、从n个数中找出最大值问题 2、n个人参加单淘汰赛，最后产生冠军的 过程。
14
1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 解：9个人站成一排的方案数是9!， 设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排， 可构成一个方阵 给定一个方阵 a 1 a 2a 3 b1b2b3 a 4 a 5a 6 b4b5b6 a 7 a 8a 9 b7b8b9 也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9
组合数学
课时：36学时 成绩分配：平时成绩30分，期末考 试成绩70分。 平时成绩取得方式：安排5次课堂 测验，每次6分。 课件邮箱:hjh20070826@163.com
密码:20070826
1
组合数学的应用范畴
从广义上讲组合数学就是离散数学
组合数学研究满足一定条件的组合模型的 情况: (1)存在性： (2)计数： (3)有哪些？ 组合数学与算法、 密码学、编码理论、数 据压缩等计算机方向密 不可分。
1.3：排列与组合
1、排列的定义：设A={a1,a2,…,an}是n个不 同的元素的集合，任取A中r个元素按顺序排成一 列，称为从A中取r个的一个排列，r满足0≤r≤n。
(1) (2) (3) (…) (r)
从n个不同的球中取一个球放在第一个盒子中， 从余下的n-1个球中取一个球放在第二个盒子中， ………………………………… 从余下的n-(r-1)个球中取一个放在第r个盒子中。 根据乘法法则： 19 P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
****
2
(4)哪些最优？
选用教材
组合数学
(第四版) 卢开澄 卢华明 著
清华大学出版社
3
组合数学的应用范畴 第一章:排列与组合 第二章:递推关系与母函数 第三章:容斥原理与鸽巢原理 第四章:Burnside引理与Polya定理 第五章:区组设计 第六章:线性规划
第七章:编码简介
第八章:组合算法简介
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1.1基本计数法则 例1.3：长度为n的0,1符号串的数目? 例1.4 人类DNA链的长度为2.1×1010,链上 每一位由T,C,A,G四种化合物组成,求人类DNA链 的可组成数目。
12
1.1基本计数法则
例1.5：求布尔函数f(x1,x2,…,xn)的数目 以n=2为例： f(x1,x2)有四种方式： f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1)。 1、f(0,0)=0,f(0,1)=0,f(1,0)=0,f(1,1)=0 。
1.8 应用举例 1.9 *Stirling公式
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1.1基本计数法则
1、加法法则:
如果具有性质A的事件有m个，性质B的事件有 n个，则具有性质A或B的事件有m+n个。
A和B是性质无关的两个事件。
8
1.1基本计数法则
2、乘法法则: 若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件 有n个，则具有性质A及B的事件有mn个
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第一章：排列与组合
排列可以看作n个不同的元素取r个放进r 个不同的盒子的放法.
组合可以看作n个不同的元素取r个放进r个 相同的盒子的放法.
公式1：C(n,r)=C(n,n-r)
21
1.3：排列与组合 从5个元素中取3个进行排列的算法： int a[5]={1,2,3,4,5},b[3]； for(i=0;i<5;i++) {b[0]=a[i]; for(j=0;j<5;j++) {if (j==i) continue; else b[1]=a[j]; for(k=0;k<5;k++) {if(k==i||k==j) continue; else b[2]=a[k]; 打印b[]}}}
1.3：排列与组合 全排列:P(n,n)=n(n-1)…2×1=n!
2、组合的定义：当从n个不同元素中取出r个 而不考虑它的顺序时,称为从n中取r个的组合, 其数目记为C(n,r)。
公式：从n中取r的组合数记作C(n,r) 从n中取r的排列数是P(n,r)。 二者之间的关系:
C(n,r)=P(n,r)/r! =n!/[r!(n-r)!]
9
1.1基本计数法则
例1.1 若从合肥到南京有2条路可走，从南京到 上海有3条路可走，从上海到杭州有2条路可走， 问从合肥经南京、上海到杭州有多少路可走？
10
1.1基本计数法则
例1.2：用乘法法则解释8卦及64卦。
解：1、太极生两仪 2、两仪生四象 00，01，10，11； 3、四象生八卦 000，001，010, 011 100，101，110, 111
4
参Байду номын сангаас教材
组合数学
Richard A. Brualdi 著 冯舜玺等译
机械工业出版社
5
参考教材
组合数学及其算法
杨振生
中国科学技术大学出版社
6
第一章：排列与组合 1.1 基本计数法则 1.2 一一对应:
1.3 排列与组合
1.4 圆周排列
1.5 排列的生成算法
1.6 允许重复的组合与不相邻的组合
1.7 组合意义的解释
1.2 一一对应 1 2 5 任给一个序列B{b1,b2,b3,…,bn-2} 1、从A找到最小的不属于B的元素,设为a1,与b1连 接，从A中去掉a1，从B中去掉b1. 2、重复以上过程只到B为空，A中剩余两个 3、连接剩余的两个顶点。
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树的顶点集合为12345
3 4
这棵树对应序列（2，3，2）
因此这两种站位方式的方案数一样多，都是 9!
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1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 9个人站成方阵的方案数为： C(9,3)3!C(6,3)3!C(3,3)3!
9! 6! 3! 3!3! 9! 6!3! 3!3!
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1.2 一一对应 定理1.1 n个有标号1,2,…,n的顶点的树 的数目等于nn-2。（n>=2） 设一棵树的顶点集为A 1、从中找到编号最小的 1 叶子结点，去掉该叶子结点a1 及其邻接边(a1,b1)。 2 3 4 2、重复以上过程。只到 剩一条边为止。 5 (1,2),(4,3),(3,2) 这棵树对应序列（2，3，2） 一个棵对应序列B=b1b2b3…bn-2而且是唯一的
2、f(0,0)=0,f(0,1)=0,f(1,0)=0,f(1,1)=1 。 ………… 对应着长度为22的字符串，每一位都可以取0或1;
乘法：2^22
自变量数为n个时：2^2n
*13
1.2 一一对应
1、从n个数中找出最大值问题 2、n个人参加单淘汰赛，最后产生冠军的 过程。
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1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 解：9个人站成一排的方案数是9!， 设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排， 可构成一个方阵 给定一个方阵 a 1 a 2a 3 b1b2b3 a 4 a 5a 6 b4b5b6 a 7 a 8a 9 b7b8b9 也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9
组合数学
课时：36学时 成绩分配：平时成绩30分，期末考 试成绩70分。 平时成绩取得方式：安排5次课堂 测验，每次6分。 课件邮箱:hjh20070826@163.com
密码:20070826
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组合数学的应用范畴
从广义上讲组合数学就是离散数学
组合数学研究满足一定条件的组合模型的 情况: (1)存在性： (2)计数： (3)有哪些？ 组合数学与算法、 密码学、编码理论、数 据压缩等计算机方向密 不可分。
1.3：排列与组合
1、排列的定义：设A={a1,a2,…,an}是n个不 同的元素的集合，任取A中r个元素按顺序排成一 列，称为从A中取r个的一个排列，r满足0≤r≤n。
(1) (2) (3) (…) (r)
从n个不同的球中取一个球放在第一个盒子中， 从余下的n-1个球中取一个球放在第二个盒子中， ………………………………… 从余下的n-(r-1)个球中取一个放在第r个盒子中。 根据乘法法则： 19 P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
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(4)哪些最优？
选用教材
组合数学
(第四版) 卢开澄 卢华明 著
清华大学出版社
3
组合数学的应用范畴 第一章:排列与组合 第二章:递推关系与母函数 第三章:容斥原理与鸽巢原理 第四章:Burnside引理与Polya定理 第五章:区组设计 第六章:线性规划
第七章:编码简介
第八章:组合算法简介
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1.1基本计数法则 例1.3：长度为n的0,1符号串的数目? 例1.4 人类DNA链的长度为2.1×1010,链上 每一位由T,C,A,G四种化合物组成,求人类DNA链 的可组成数目。
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1.1基本计数法则
例1.5：求布尔函数f(x1,x2,…,xn)的数目 以n=2为例： f(x1,x2)有四种方式： f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1)。 1、f(0,0)=0,f(0,1)=0,f(1,0)=0,f(1,1)=0 。
1.8 应用举例 1.9 *Stirling公式
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1.1基本计数法则
1、加法法则:
如果具有性质A的事件有m个，性质B的事件有 n个，则具有性质A或B的事件有m+n个。
A和B是性质无关的两个事件。
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1.1基本计数法则
2、乘法法则: 若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件 有n个，则具有性质A及B的事件有mn个
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第一章：排列与组合
排列可以看作n个不同的元素取r个放进r 个不同的盒子的放法.
组合可以看作n个不同的元素取r个放进r个 相同的盒子的放法.
公式1：C(n,r)=C(n,n-r)
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1.3：排列与组合 从5个元素中取3个进行排列的算法： int a[5]={1,2,3,4,5},b[3]； for(i=0;i<5;i++) {b[0]=a[i]; for(j=0;j<5;j++) {if (j==i) continue; else b[1]=a[j]; for(k=0;k<5;k++) {if(k==i||k==j) continue; else b[2]=a[k]; 打印b[]}}}
1.3：排列与组合 全排列:P(n,n)=n(n-1)…2×1=n!
2、组合的定义：当从n个不同元素中取出r个 而不考虑它的顺序时,称为从n中取r个的组合, 其数目记为C(n,r)。
公式：从n中取r的组合数记作C(n,r) 从n中取r的排列数是P(n,r)。 二者之间的关系:
C(n,r)=P(n,r)/r! =n!/[r!(n-r)!]
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1.1基本计数法则
例1.1 若从合肥到南京有2条路可走，从南京到 上海有3条路可走，从上海到杭州有2条路可走， 问从合肥经南京、上海到杭州有多少路可走？
10
1.1基本计数法则
例1.2：用乘法法则解释8卦及64卦。
解：1、太极生两仪 2、两仪生四象 00，01，10，11； 3、四象生八卦 000，001，010, 011 100，101，110, 111
4
参Байду номын сангаас教材
组合数学
Richard A. Brualdi 著 冯舜玺等译
机械工业出版社
5
参考教材
组合数学及其算法
杨振生
中国科学技术大学出版社
6
第一章：排列与组合 1.1 基本计数法则 1.2 一一对应:
1.3 排列与组合
1.4 圆周排列
1.5 排列的生成算法
1.6 允许重复的组合与不相邻的组合
1.7 组合意义的解释