浅析集合论的发展

∞ 的悖论
两个同心圆点可以一一对应 周长相等Leabharlann Baidu？ 线段的整体等于部分吗？
——漫长的困扰
N={ 0，1，2，3，...} A={ 0，1，4，9，...} F(X)=X•X A是N的子集吗？
历史长时期内，哲学家、数学家认为： 在历史长时期内，哲学家、数学家认为： 无穷特别是存在无穷是理性思维永远不可能到达的彼岸。 无穷特别是存在无穷是理性思维永远不可能到达的彼岸。
罗素悖论的影响
——第三次数学危机
• 集合论的悖论，尤其是罗素和策梅罗所发现的一个矛盾， 直接在数学界产生灾难性的作用 ——希尔伯特 • 狄德金放弃了划时代著作《什么是数和数的应用》的出版 • 弗雷格：我的著作要出版时，发现建筑物的基础塌了 • 拓扑学权威劳威尔宣布自己过去的工作全在说废话 。。。。。。
集合论悖论
——历史的讥讽
• 康托尔悖论（1895）
大全集U的幂集基数比U大吗？
• 布拉里—弗蒂悖论（1897）
有关最大序数和良序的悖论
• 罗素悖论（1902） 罗素悖论（1902）
罗素悖论
——数学的灾难 数学的灾难
• 数学描述：设 z = {x x∈x} • z∈z,则z应满足x∈x，故z∈z • z∈z,则已经满足了x∈x，故z∈z • 综上，z∈z，当且仅当，z∈z
从悖论 浅析集合论的发展
悖 论
——科学的难题
低估悖论的重要性，把它们当作诡辩或者笑 料，从科学进步的角度看来是十分危险的...... 我们必须找到它的原因，就是说，必须分析出 悖论所依据的前提；然后，在这个前提中我们 必须至少抛弃其中一个，而且还必须研究这将 给我们的整个探讨带来什么样的后果。 ——阿尔弗雷德·塔尔斯基
逻辑悖论
——悖论的核心
• 在某些公认正确的知识背景下，可以合乎逻辑地 建立两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式。 • K真，当且仅当，K假。 • 认识论悖论（语义悖论）——“我正在说谎” • 狭义逻辑悖论（语形悖论）——→集合论
集合论及其发展背景
• 18世纪，无穷未定义，使微积分理论遇到严重的逻辑困难。 • 19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。却没有彻底完成微 积分的严密化。柯西的思想中甚至能产生逻辑矛盾。 • 19世纪后期，许多数学家又致力于分析的严格化。涉及到对连续函数 的描述。在数与连续性的定义中，再次涉及关于无限的理论。 • 一切问题指向一个中心—— 无穷概念、无限集合
康托尔生平
• 对于科学真理孜孜不 倦的追求精神 • 生平受到的迫害和质 疑 • 自我思维的困扰 • 不幸而伟大的人生
谢谢观赏！
素朴集合论的辉煌成就 素朴集合论的辉煌成就 辉煌
• 人类对无限的认识摆脱了单纯的∞，无穷有了量 度，进入崭新的认识阶段 —伊夫斯 • 分析和函数论有了严格的数学基础——集合论 —— • “数学已经取得了完全可靠的基础，已经被算术 化，绝对严格已经取得” —彭加勒.数学家第二次国际会议 • 集合论成为构建整个数学大厦的基石
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整体总是大于部分的 实无穷是不存在的 不存在无限集合 伽利略，高斯，柯 西。。。
• 整体可以等于部分 • 存在实无穷 • 无限集合与其真子集可 一一对应 • 康托尔，戴德金。。。
康托尔超限集合论
• 超限基数 ‫—— 0א‬自然数集的基数，且N,Z,Q之间 可一一对应，基数均为‫0א‬ • 得到实数集基数C(连续统基数)，并且证得C>‫0א‬ • 对任意集合，其幂集PS的基数大于S本身的基数 • 超限序数理论。。。。。。
集合论，何去何从？？？ ？？？
• 理查德、罗素、莱姆塞 • 策梅罗、米里曼洛夫、 冯诺依曼 “类型分支论” 公理化系统 • “足够狭窄，不够宽广” • 哥德尔——关于形式算 术的不完全性定理
总之，悖论贯穿了整个集合论的发展，一路 走来，无穷悖论也似乎并没有被我们完美 的解决，但是使我们足以相信的是： 关于集合论悖论及其它逻辑悖论的努力会让 我们走的更远，变得更深刻。。。。。。