2016年上海市高三数学一模长宁及答案

上海市长宁区2016届高三一模数学试卷

2015.12.21

一. 填空题（本大题共14题，每题4分，共56分） 1. 不等式|3|5x -<的解集是 ； 2. 方程9320x

x

+-=的解是 ；

3. 若复数z 满足2

10z z -+=，则||z = ；

4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若61420a a +=，则19S = ；

5. 若1

sin cos 5

θθ+=

，则sin 2θ的值是 ； 6. 若函数()f x 是定义域在R 上对偶函数，在(,0]-∞上是单调递减的，且(1)0f =，则使

()0f x <的x 的取值范围是 ；

7. 设函数()y f x =的反函数是1

()y f x -=，且函数()y f x =过点(2,1)P -，则1(1)f --=

；

8. 设常数0a >，

2

4(ax

+展开式中3x 的系数为32，则2lim()n

x a a a →∞+++=L ；

9. 某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有 种；（以数字作答）

10. 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别是22322n an a bn n +=-+，1

1()3

n n b b a -=-，其中a 、

b 是实常数，若lim 3n x a →∞=，1

lim 4

n x b →∞=-，且a 、b 、c 成等差数列，则c 的值是 ；

11. 已知函数2

()21f x x x =++，如果使()f x kx ≤对任意实数(1,]x m ∈都成立的m 的最大值是5，则实数k = ；

12. 在△ABC 中，点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r ，若0AB AC mAM ++=u u u r u u u r u u u u r r

，则实数m 的

值为 ；

13. 设命题:p 函数2

1

()lg()16

f x ax x a =-+

的值域为R ；命题:q 不等式39x x a -<对一 切正实数x 均成立，若命题p 和q 不全为真命题，则实数a 的取值范围是 ；

14. 定义：关于x 的两个不等式()0f x <，()0g x <的解集分别为(,)a b 和11(,)a b

，则称这

两个不等式为对偶不等式，如果不等式2

cos 20x θ-+<与不等式2

24sin 1x x θ++

0<为对偶不等式，且(0,)θπ∈，则θ= ；

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

15. 已知集合{0,}P a =，{1,2}Q =，若P Q =∅I ，则a 等于（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 3

16. 已知数列{}n a 的前n 项和2

8n S n n =-，第k 项满足47k a <<，则k 等于（ ）

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

17. 设点2

(,1)2t P t

+(0)t <是角α终边上一点，当||OP uuu r 最小时，cos α的值是（ ）

A. B. C. D. 18. 关于函数()a

f x x x

=-(0)a >，有下列四个命题：①()f x 的值域是(,0)(0,)-∞+∞U ；

②()f x 是奇函数；③()f x 在(,0)(0,)-∞+∞U 上单调递增；④方程|()|f x a =总有四个

不同的解；其中正确的是（ ）

A . ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④

三. 解答题（本大题共5题，共12+14+15+15+18=74分） 19. 关于x 的不等式

201

x a x

+<的解集为(1,)b -；

（1）求实数a 、b 的值；

（2）若1z a bi =+，2cos sin z i αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值；

20. 直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒

∠=，2AB AC ==，1AA =，E 、F 分别是1CC 、BC 的中点，求： （1）异面直线EF 和

1A B 所成的角； （2）直三棱柱111ABC A B C -的体积；

21. 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,)m a b =u r ，(cos ,cos )n A B =r

，

,2sin )2

B C p A +=u r ，若m u r ∥n r ，||3p =u r ；

（1）求角A 、B 、C 的值； （2）若[0,]2

x π

∈，求函数()sin sin cos cos f x A x B x =+的最大值与最小值；

22. 已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ；若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T ；

（1）已知函数2

()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；

（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上的m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2x

f x =，求实数m 的取值范围；