中考数学几何最值专题

几何中的最值问题

几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.

求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；

求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法：

常用定理：

1、两点之间，线段最短（已知两个定点时）

2、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）

3、三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）

l

l

B

4、圆外一点P 与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点，离P 最近的点即为P 到圆的最近距离，离P 最远的点即为P 到圆的最远距离

P A +PB 最小，

需转化，使点在线异侧 |P A -PB |最大， 需转化，使点在线同侧

类型一 线段和最小值

1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一

滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．

蜂蜜

蚂蚁

C

N

O

第1题图 第2题图

2.

3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和

AE 上的动点，则DQ +PQ 的最小值为 .

Q

P E

D C

B

A Q

P

K

D

C

B

A

第3题图 第4题图 4. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任

意一点，则PK +QK 的最小值为 .

5. 如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．

6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的

正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边

OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 .

第5题图 第6题图

变式加深：

1、如图,正方形ABCD 边长为2,当点A 在x 轴上运动时,点D 随之在y 轴上运动,在运动过程中,点B 到原点O 的最大距离为() A.

B.

C.

D.

2、如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为

3、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE=DF ，连接CF 交BD 于点G,连接BE 交AG 与点H 。若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是

4、如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.若将△ABP 中边PA 的长度改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为_________．

类型二 线段差最大值

1、如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，

P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值等于 ．

2、点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所 示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．

3、如图所示,已知A(,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x 轴

正半轴上运动,当线段AP 与线段BP 之差达到最大时,点P 的坐标是( )

A. B.(1,0) C. D.

A B

O P

x

y

A B

C

D P

M N

x O

A

B

y

4、一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=m

x

错误!未找到引用源。（m<0）的图象交于A，B两

点，其中点A的坐标为（-6，2）

（1）求m，k的值；

（2）点P为y轴上的一个动点，当点P在什么位置时|PA-PB|

的值最大？并求出最大值.

y

x

O

B

A

核心：画曲为直

1、已知如图，圆锥的底面圆的半径为1，母线长OA为2，C为母线OB的中点．在圆锥的侧

面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为．

2、如图，圆柱底面半径为2cm，高为9cm

，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为cm。

3、在锐角三角形ABC中，BC=2

4，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是

O

C

B

A

类型三 线段最值

1、已知⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，点P 是直线6y x =-+上的一点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为________

2、在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13,0），直线y=kx-3k+4与圆O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为______________.

3、如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，

M 为EF 中点，则AM 的最小值为_________．

4、如图，已知AB =10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．

5、如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB=AC =4，M 、N 两点分别是边AB 、AC 上的动点，将△

AMN 沿MN 翻折，A 点的对应点为A ′，连接BA ′，则BA ′的最小值是_________．

6、如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB =a ．将△ABO 沿BO 对折于△A ′BO ，点M 为BC 上一动点，则A ′M 的最小值为

7、在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，P 、Q 两点分别是边AC 、BC 上的动点，将△

PCQ 沿PQ 翻折，C 点的对应点为C'，连接A C'，则A C'的最小值是_________

8、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是 . 9、如图,△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P 为边AB 上一动点,且PE ⊥AC 于点E,PF ⊥BC 于点F,则线段EF 长度的最小值是_____

10、如图,正方形ABCD 边长为2,当点A 在x 轴上运动时,点D 随之在y 轴上运动,在运动过程中,点B 到原点O 的最大距离为_______

60°

A'45°

M

O

C

D

B

A

A

B

C

E F

P M

A B

C

D P A'

N

M

C

B A

C'C

Q

P B

A

A

y x

O C

B