概率论与数理统计第四章测试题

第4章 随机变量的数字特征

一、选择题

1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是

(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44

2．若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ） (A) X 与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY

3．设随机变量X 和Y 相互独立，且()()22

1122,,,X

N Y

N μσμσ，则

2Z X Y =+（ ）

(A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()221212,N μμσσ++ (C) ()2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--

4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为

(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2

(C) E(X 2)= E(Y 2) (D) E(X 2)+(EX)2= E(Y 2)+ (EY)2

5．设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ，则

()max ,Z X Y =的数学

期望()E Z =（ ）

6．设X 、Y 是相互独立且在()0,θ上服从于均匀分布的随机变量，则

()min ,E X Y =⎡⎤⎣⎦（ ）

(A) 2θ

(B) θ (C) 3θ (D)

4

θ 7．设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY 是X 和Y （ ）

(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件 (B) 独立的充分条件，但不是必要条件

(C) 不相关的充分必要条件 (D) 独立的充分必要条件 8．若离散型随机变量X 的分布列为(){

}

()1

121,2,2n

n n

P X n =-⋅=

=，则

()E X =（ ）

(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在 9．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于

（A ）－1 （B ）0 （C ）2

1 （D ）1

10．设随机变量X 和Y 独立同分布，具有方差2σ>0，则随机变量U=X+Y 和V=X-Y

（A ）独立 (B) 不独立 （C ） 相关 (D) 不相关 11．随机变量X 的方差存在，且E(X)=，则对于任意常数C ，必

有 。

（A ）E(X-C)2=E(X 2)-C 2 （B ）E(X-C)2=E(X-)2 （C ）E(X-C)2< E(X-)2 （D ）E(X-C)2 E(X-)2

12．设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=3

1

, 则P(1

1 （C ）3

1 （D ）2

1 二、填空题

1．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为，则()2E X =

2．设一次试验成功的概率为p ，进行了100次独立重复试验，当

p = 时，成功的次数的标准差的值最大，其最大值为

3．设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量

100010X Y X X >⎧⎪

= =⎨⎪- <⎩

，则Y 的方差DY=

4．()4D X =，()9D Y =，0.5XY ρ=，则()D X Y -= ，

()D X Y +=

5．设随机变量X 服从于参数为λ的泊松分布，且已知

()()121E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ=

6．设(X,Y)的概率分布为：

Y X

-1 0 1

1

则),cov(22Y X ＝ 。 7．已知)3,2,1(,)(===k k

a

k X P , 则E(X)= 。

8．X~N （ ，

2

），Y~N （，

2

），X 与Y 相互独立, 则Cov(X+Y, X-Y)

=________。

9．随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,且都服从均匀分布U(0,2), 令X=3X 1-X 2+2X 3 ,则

E(X)=___________，D(X)＝ 。

10．设ρXY =，Z=，则Y 与Z 的相关系数为 。 11．设随机变量X ij 独立同分布，EX ij =2，则行列式

nn

n n n

n

X X X X X X X X X Y

21

2222111211

=

的数学期望EY= 。 三、简答题

1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5。设X 为同种遇到红灯的次数，求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望。

2．已知随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 分别服从正态分布2(1,3)N 与2(0,4)N ，它们的相关系数12

XY ρ=-，令32

X Y

Z =+，⑴求Z 的数学期望EZ 与方差DZ

(2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ。

3．已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求