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江苏省启东中学高二数学暑假作业第16天数列的综合应用理(含解析)苏教版

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江苏省启东中学数列多选题试题含答案

江苏省启东中学数列多选题试题含答案

江苏省启东中学数列多选题试题含答案一、数列多选题1．下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列()k N *∈B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，仍为等比数列()k N *∈C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值D ．若数列{}n a 满足21159,4n n n a a a a +=-+=，则121111222n a a a +++<--- 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，可判定A 正确；当1q =-时，取2k =，得到20S =，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；化简得到1111233n n n a a a +=----，利用裂项法，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =+++，2122k k k k k S S a a a ++-=+++，3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，，可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，构成等差数列，故A 正确；对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误； 对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；对于D 中，由2159n nn a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则()()1111132332n n n n n a a a a a +==------，所以1111233n n n a a a +=----， 所以1212231111111111222333333n n n a a a a a a a a a ++++=-+-++----------1111111333n n a a a ++=-=----. 因为14a =，所以2159n nn n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113n a +-<-，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：由2159n nn a a a +=-+，得到()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，进而得出1111233n n n a a a +=----，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.2．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．1q =B ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】BC 【分析】 计算可得2q，故选项A 错误；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.【详解】∵142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩∴23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列， ∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 错误； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； 又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-， 则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.4．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．18181103354kk i a =⨯+=∑C ．(31)3ij ja i =-⨯ D ．()1(31)314n S n n =+- 【答案】ABD 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，进而可得ii a ，根据错位相减法可求得181kki a=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），A 正确； ∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误；∴()1313i ii a i -=-⋅，0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯① 12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,①-②化简计算可得：1818103354S ⨯+=,B 正确；S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )()()()11211131313131313nnnn a a a ---=+++---()()231131.22nn n +-=- ()1=(31)314n n n +-，D 正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.5．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*1312lnn n n n b a b n N n++=++∈，110a b +>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．数列{}n n a b -单调递增B ．数列{}n n a b +单调递增C ．数列{}n a 单调递增D ．数列{}n b 从某项以后单调递增【答案】BCD 【分析】计算221122ln 2a b a b a b -=--<-，知A 错误；依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列，得到()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，知B 正确；结合已知条件，计算10n n a a +->，即得C 正确；先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-，再结合指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】由题可知，12n n n a a b +=+①，1312lnn n n n b a b n++=++②，①-②得，1131lnn n n n n a b a b n+++-=--，当1n =时，2211ln 2a b a b -=--，∴2211-<-a b a b ，故A 错误．①+②得，()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-，()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-，∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项，3为公比的等比数列，∴()111ln 3-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，故C 正确．将③代入②得，()()11113311ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n -+++=+++=++⋅++，∴()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数的增长速度知，从某个()*n n N∈起，()1113ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】判定数列单调性的方法：（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.6．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d > B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC 【分析】根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确. 【详解】由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=，830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确；由8170a a d =+=，得17a d =-，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列，()()0,70,9n n a n N n a n N n **⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误.故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.7．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为偶数时，11n n a a --=；当n 为奇数且1n >时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的值可以是（ ）A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】BCD 【分析】由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列21{3}k a -+是等比数列，由此可求得奇数项的表达式（也即得到偶数项的表达式），对2k S 可先求得其奇数项的和，再得偶数项的和，从而得2k S ，计算出与4000接近的和，184043S =，173021S =，从而可得结论． 【详解】依题意，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，所以2211k k a a -=+，2122121212(1)123k k k k a a a a +--=+=++=+,∴()2121323k k a a +-+=+.又134a +=，故数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以121423k k a --=⋅-，故S 奇()21321141232(44242)43321k k k k k a a a k k -+-===+⨯++⨯--+++-=---，S 偶21232412()242k k k a a a k k a a a +-=+=+++=+++--，故2k S S =奇＋S 偶3285k k +=--，故121828454043S =--=，173021S =，故使得4000m S >的最小整数m 的值为18.故选：BCD . 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的和的问题，解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足的性质，求出奇数项的表达式（也可求出偶数项的表达式），而求和时，先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各：先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和n S 接近4000时的项数n ，从而得出结论．8．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ）A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11pq p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa rS pa r +-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即p q ==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确；选项C 中，由1n n S pa r +=+，11n n q S q-=-，11p q =-，1nn a q +=知， 1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；选项D 中， 因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；2、当两个正数,a b的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式a b +≥，当且仅当a b =取等号.二、平面向量多选题9．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.10．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ）A．0 AB AC AD+-= B．0 DA EB FC++=C ．若3 ||||||AB AC ADAB AC AD+=，则BD是BA在BC的投影向量D．若点P是线段AD上的动点，且满足BP BA BCλμ=+，则λμ的最大值为18【答案】BCD【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到AD为BAC∠的平分线，即AD BC⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据,,A P D三点共线，设(1)BP tBA t BD，01t≤≤，再根据已知得到12ttλμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228ty t t，即可判断选项D正确.【详解】如图所示：对选项A，20AB AC AD AD AD AD+-=-=≠，故A错误.对选项B，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB++=-+-+-+111111222222AB AC BA BC CA CB=------111111222222AB AC AB BC AC BC=--+-++=，故B正确.对选项C，||ABAB，||ACAC，||ADAD分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC+为BAC∠的平分线表示的向量.因为3||||||AB AC ADAB AC AD+=，所以AD为BAC∠的平分线，又因为AD为BC的中线，所以AD BC⊥，如图所示：BA 在BC 的投影为cos BD BAB BA BD BA ，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确.对选项D ，如图所示： 因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线， 设(1)BP tBA t BD ，01t ≤≤.又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤. 令21111()2228t y t t ， 当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】 本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.。

江苏省启东中学2018_2019学年高二数学暑假作业第13天等差数列理(含解析)苏教版

江苏省启东中学2018_2019学年高二数学暑假作业第13天等差数列理(含解析)苏教版

第13天 等 差 数 列1. 在等差数列{a n }中，若a 4＝10，a 10＝4，则a 7＝________．2. 设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝________．3. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝7，S 7＝－7，则a 7＝________．4. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝27，则a 1＝________．5. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝4，S 9－S 6＝27，则S 10＝________．6. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________．7. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m －1＋a m ＋1－a ＝0，S 2m －1＝58，则m ＝2m ________．8. 设数列{a n }为等差数列， S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 3＝9，S 15＝225，B n 为数列的前n 项和，则B n ＝________．{S n n} 9. 在等差数列{a n }中，前m 项(m 为奇数)和为77，其中偶数项之和为33，且a 1－a m ＝18，则数列{a n }的通项公式为______________．10. 设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有＝S nT n ，则＋的值为________．2n －34n －3a 9b 5＋b 7a 3b 8＋b 411. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n≥2)，a 1＝.12(1) 求证：是等差数列；{1S n}(2) 求a n 的表达式．12. 在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 令b n ＝(n∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，S nn ＋c求出c 的值；若不存在，请说明理由．13. 已知数列{a n }满足：a n ＋1＋a n ＝4n －3(n∈N *)．(1) 若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2) 当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n ＝a n ＋1－，(n ＋S n n2)c n ＝－，其中n∈N *.a n ＋1＋a n ＋22S n n(1) 若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；(2) 若存在实数λ，使得对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．第13天　等 差 数 列1. 7　解析：由a 4＋a 10＝2a 7，得a 7＝7.2. 153　解析：因为a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }为等差数列，所以a n ＝2n －9，所以a 17＝2×17－9＝25，S 17＝＝＝153.（a 1＋a 17）×172（－7＋25）×1723. －13　解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＝7，7a 1＋21d ＝－7，解得a 1＝11，d ＝－4，则a 7＝－13.4. －5　解析：设数列{a n }的公差为d ，S 9＝9a 5＝27，则a 5＝3.由a 2a 3＝a 4a 5得(3－3d)(3－2d)＝3(3－d)，d≠0，解得d ＝2，则a 1＝－5.5.65　解析：由题意得S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝27，则a 8＝9，所以S 10＝5(a 3＋a 8)＝65.6. 升　解析：设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，则 有即6766{a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，)解得则a 5＝，故第5节的容积为 升．{4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，){a 1＝1322，d ＝766，)67666766 7. 15　解析：由题意得a m －1＋a m ＋1＝2a m ＝a ，解得a m ＝2(舍去0)，S 2m －1＝2m ＝(2m －1)a m ＝2(2m －1)＝58，解得m ＝15.（2m －1）（a 1＋a 2m －1）28. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得即n 2＋n 2{S 3＝3a 1＋3d ＝9，S 15＝15a 1＋105d ＝225，)解得所以S n ＝n ＋×2＝n 2，所以＝n ，所以B n ＝1＋2＋…{a 1＋d ＝3，a 1＋7d ＝15，){a 1＝1，d ＝2，)n （n －1）2S n n ＋n ＝＝.n （n ＋1）2n 2＋n 29. a n ＝－3n ＋23　解析：S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a m －1＝a ＝33，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋m －12 m ＋12a m ＝a ＝44，则＝＝，所以m ＝7，a 4＝11.因为a 1－a m ＝－(m －1)d ＝－6d ＝m ＋12 m ＋12S 偶S 奇m －1m ＋13418，d ＝－3，所以a n ＝a 4＋(n －4)d ＝11－3(n －4)＝－3n ＋23.10. 解析：因为{a n }，{b n }为等差数列，所以＋＝＋＝＝1941a 9b 5＋b 7a 3b 8＋b 4a 92b 6a 32b 6a 9＋a 32b 6.因为＝＝＝＝，所以＝.a 6b 6S 11T 11a 1＋a 11b 1＋b 112a 62b 62×11－34×11－31941a 6b 6194111. 解析：(1) 因为a n ＝S n －S n －1(n≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0，所以－＝2(n≥2)．1S n 1Sn －1由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，2为公差的等差数列．{1S n }1S 11a 1(2) 由(1)知＝＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，1S n 1S 1所以S n ＝.12n当n≥2时，有a n ＝－2S n ×S n －1＝－.12n （n －1）又因为a 1＝，所以a n ＝12{12， n ＝1，－12n （n －1）， n ≥ 2.)12. 解析：(1) 由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，由得{a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18){（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝45，a 1＋（a 1＋4d ）＝18，)解得所以a n ＝4n －3(n∈N *)．{a 1＝1，d ＝4，)(2) 由题意得b n ＝＝＝.S nn ＋c n （1＋4n －3）2n ＋c 2n (n －12)n ＋c 因为c ≠0，所以可令c ＝－，得到b n ＝2n .12因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，所以数列{b n }是公差为2的等差数列，即存在一个非零常数c ＝－，使数列{b n }也为等12差数列．13. 解析：(1) 若数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd.由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd)＋[a 1＋(n －1)d]＝4n －3，即2d ＝4，2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－.12(2) 由a n ＋1＋a n ＝4n －3(n∈N *)得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)，两式相减，得a n ＋2－a n ＝4，所以数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列，数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列．由a 2＋a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1，所以a n ＝{2n ，　n 为奇数，2n －5， n 为偶数.)①当n 为奇数时，a n ＝2n ，a n ＋1＝2n －3.S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n ＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n ＝＋2n ＝.n －12×（1＋4n －11）22n 2－3n ＋52②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝1＋9＋…＋(4n －7)＝.2n 2－3n 2综上，S n ＝{2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n 2， n 为偶数.)14. 解析：(1) 由题意得a n ＝a 1＋2(n －1)，＝a 1＋n －1，所以(n ＋2)c n ＝S n n－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1.a 1＋2n ＋a 1＋2（n ＋1）2(2) 由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－，得n(n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n nS n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)b n ＋1－nb n ，所以(n ＋2)c n ＝－＝a n ＋1＋a n ＋22S n n －[a n ＋1－(n ＋1)b n ]＝＋(n ＋1)b n ＝＋(n ＋1)b n ＝a n ＋1＋a n ＋22a n ＋2－a n ＋12（n ＋2）b n ＋1－nb n 212(n ＋2)(b n ＋b n ＋1)，所以c n ＝(b n ＋b n ＋1)．因为对一切n∈N *，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ，所以(n ＋1)λ＝a n ＋1－，①12S n n(n ＋2)λ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－，②12S n n②－①，得(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ，12故a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥2)．又2λ＝a 2－＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥1)，S 11所以数列{a n }是等差数列．。

苏教版数学高二-必修5作业纸 2.1数列

苏教版数学高二-必修5作业纸 2.1数列

课题：§2.1 数列 作业纸 总第____课时班级_______________姓名_______________1．数列{}nn 2+中的第4项是____________.2．分别写出下面的数列：（1）在0～16之间的奇数按从小到大的顺序构成的数列； _________________________________________.（2）在0～16之间的质数按从小到大的顺序构成的数列. _________________________________________.3．数列11,22,5,2，…，则按此规律52是这个数列的第____________项. 4．数列2，5，11，20，x ，47，……中的x 等于________.5．已知数列{}n a 的通项公式2412n a n n =--，则65是它的第 项6．在数列{}n a 中，已知,12,211-==+n n a a a 则.______5=a 7．写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数： （1）2，4，8，16； (2)1，8，27，64； __________________； __________________； (3)41,31,21,1--； (4) 2,3,2,1. __________________； __________________. 8．已知数列{}n a 的通项公式是|72|-=n a n ，若9=n a ，则=n ______.9．已知数列{}n a 的通项公式是,462++-=n n a n 若k a 是数列{}n a 中的最大项，则=k ______.10．数列的{a n }的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数是___________________.①a n ＝12 [1＋（－1）n +1]； ②a n ＝sin 2nπ2；③a n ＝12 [1＋(－1)n +1]＋(n －1)(n －2)； ④a n ＝1－cos nπ2，(n ∈N *)；⑤a n ＝⎩⎨⎧1 （n 为正偶数）0 （n 为正奇数）.11．写出数列}{n a 的前5项，并作出它的图象： （1）32+=n a n ； （2）3=n a ；（3）)12(31-=nn a ； （4）⎩⎨⎧∈=-∈+==Z k k n n Z k k n a n ,2,12,12,1.12．已知数列}{n a 的通项公式是*)(,232N n n n a n ∈+-=(1)81是不是数列}{n a 中的项？若是，是第几项？若不是，说明理由. (2)这个数列所有项中有没有最小项？如果有写出该项.13．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *). (1)写出该数列的前6项，并求a 20；(2)计算2013321...a a a a ++++的值.三、作业错误分析及订正：1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识错2．填空题具体订正：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3．解答题订正：。

江苏省启东中学高二数学理科周考卷(一)教师版

江苏省启东中学高二数学理科周考卷(一)教师版

江苏省启东中学2016-2017学年度第一学期高二数学理科周考卷一 命题人：陈高峰一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 ▲ ．2． 已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，若l 1∥l 2，则实数m 的值为 ▲ ．3． 过P (2，－1)点且与原点距离最大的直线l 的方程是 ▲ ．4． 若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是 ▲ ．5． 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是 ▲ ．6． 圆x 2+y 2-2x-2y+1=0的圆心到直线x-y-2=0的距离为 ▲ ．7． 若直线3x+y+a=0过圆x 2+y 2+2x-4y=0的圆心,则a 的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C:22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为 ▲ ．4 9． 过点)4,3(P 与圆1)1()2(22=-+-y x 相切的直线方程为 ▲ .10．过点)4,3(P 作圆06222=-++y x x 的切线，则切线长是 ▲ . 11．在平面直角坐标系xOy 中，点)0,4(),0,1(B A .若直线0=+-m y x 上存在点P ，使得PB PA 21=,则实数m 的取值范围是 ．]22,22[-- 12．若动点P 在直线l 1：x －y －2＝0上，动点Q 在直线l 2：x －y －6＝0上，设线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且(x 0－2)2＋(y 0＋2)2≤8，则x 20＋y 20的取值范围是 ▲ ．13．已知圆22:(2)4C x y -+=，线段EF 在直线:1l y x =+上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A 、B ，使得0PA PB ⋅≤，则线段EF 长度的最大值是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，若动点P (a ，b )到两直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x ＋2的距离之和为22，则a 2＋b 2的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l的方程．16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,知圆M 经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)．（1）求圆M 的方程；（2）若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，求实数m 的值．解（1）方法（一）设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋F ＋1＝0，3D ＋F ＋9＝0，E ＋F ＋1＝0，…………………………… 2分 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－4，F ＝3．所以圆M 的方程x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0．………………… 4分方法（二）线段AC 的垂直平分线的方程为y ＝x ，线段AB 的垂直平分线的方程为x ＝2，由⎩⎨⎧y ＝x ，x ＝2，解得M (2，2)． …………………………… 2分 所以圆M 的半径r ＝AM ＝5，所以圆M 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5．……………………… 4分（2）因为MP →·MQ →＝0，所以∠PMQ ＝π2． 又由（1）得MP ＝MQ ＝r ＝5，所以点M 到直线l 的距离d ＝102．……………………………8分 由点到直线的距离公式可知，|2m －4－2m －1|m 2＋4＝102， 解得m ＝±6． …………………………… 10分17．(本小题满分15分)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－6x －4y －12＝0.求：（1）y x的最大值和最小值； （2）y ＋x 的最大值和最小值；（3）x 2＋y 2的最大值和最小值．18．(本小题满分15分)直线l ：x －ky ＋22＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△ABC 的面积为S .求S 的最大值，并求此时直线l 的方程．解：设O 到直线AB 的距离为m ，则AB ＝24－m 2， ∴S ＝12AB ·m ＝4－m 2·m ＝(4－m 2)·m 2≤4－m 2＋m 22＝2， 当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝2时等号成立．∴S 的最大值为2. 此时由221＋k 2＝2，得k ＝±3.直线l 的方程为x ±3y ＋22＝0.19．(本小题满分16分)已知过点A (－1,0)的动直线l 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝4相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于点N . （1）求证：当直线l 与m 垂直时，直线l 必过圆心C ；（2）当PQ ＝23时，求直线l 的方程；（3）探究AM →·AN →是否与直线l 的倾斜角有关．若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．解：(1)证明：∵l 与m 垂直，且k m ＝－13，∴k l ＝3. 又k AC ＝3，∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C .(2)x ＝－1或4x －3y ＋4＝0(3)AM →·AN →与直线l 的倾斜角无关，且AM →·AN →＝－520．(本小题满分16分)已知直线220x y -+=与圆22:40C x y y m +-+=相交，截得的弦长为255． （1）求圆C 的方程；（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线2y x =相交于M 、N 两点（异于原点）．证明：直线MN 与圆C 相切；（3）若抛物线2y x =上任意三个不同的点P 、Q 、R ，且满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断直线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明．解：（1）∵(0,2)C∴圆心C 到直线220x y -+=的距离为d ==∵截得的弦长为5 ∴2221r =+= ∴圆C 的方程为：22(2)1x y +-= ……4分（2）设过原点的切线方程为：y kx =，即0kx y -=1=，解得：k =∴过原点的切线方程为：y =，不妨设y =与抛物线的交点为M ，则2y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得：M ，同理可求：(N ∴直线:3MN y = ……7分∵圆心(0,2)C 到直线MN 的距离为1且1r = ∴直线MN 与圆C 相切； ……9分（3）直线QR 与圆C 相切．证明如下：设222(,),(,),(,)P a a Q b b R c c ，则直线PQ 、PR 、QR 的方程分别为： PQ ：()0a b x y ab +--=，PR ：()0a c x y ac +--=；QR ：()0b c x y bc +--=∵PQ 是圆C 的切线1=，化简得： 222(1)230a b ab a -++-= ①∵PR 是圆C 的切线，同理可得：222(1)230a c ac a -++-= ②……12分则,b c 为方程222(1)230a x ax a -++-=的两个实根 ∴22223,11a abc bc a a -+=-=--∵圆心到直线QR的距离为：2223|2|1a d r -+= ∴直线QR 与圆C 相切． ……16分。

江苏省启东中学近年-近年学年高二数学暑假作业第30天综合练习(二)文(含解析)苏教版(最新整理)

江苏省启东中学近年-近年学年高二数学暑假作业第30天综合练习(二)文(含解析)苏教版(最新整理)

第30天综合练习（二）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1。

已知全集U＝｛x∈N|（x＋1）（x－5)≤0}，A＝{1，3，4｝，则∁U A＝________．2. 已知复数z＝错误!,其中i为虚数单位，则z的共轭复数为____________．3。

若双曲线x2a2－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率为2，则其渐近线的方程为____________．4。

某校在市统考后,从高三年级的1 000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图如图所示，则估计该校高三学生中数学成绩在[110，140)之间的人数为________．错误!5. 在数字1，2，3，4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________．6. 已知点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则cos错误!＝________．7. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．S←1i←1While i≤5S←S＋ii←i＋2End WhilePrint S8. 在等比数列｛a n｝中，a错误!＝6，a6＋a16＝5，则错误!＝__________．9。

如图，已知在三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝错误!，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠AA1C1＝60°，则该三棱柱的体积为________．，，10。

在△ABC中，已知B＝60°，AC＝错误!，则AB＋2BC的最大值为________．11. 已知过点P(0，t）的直线与圆x2＋y2－4x－6y＋9＝0相交于不同的两点A，B,且PA ＝AB，则实数t的取值范围是________________________．12。

已知在矩形ABCD中,AB＝2BC，BC＝a，长度为定长a的线段EF的端点分别在边BC 和CD上，则错误!·错误!的最大值为________．13. 已知正实数a,b满足1（2a＋bb）＋错误!＝1，则ab的最大值为__________．14. 已知函数f(x)＝错误!·e x＋错误!x2－（a＋1）x＋a（a＞0)，其中e是自然对数的底数，若函数y＝f（x)与y＝f（f（x）)有相同的值域，则实数a的最大值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分）已知点（－3，b)是角α终边上的一点,sinα＝错误!。

江苏省南通市启东中学2023-2024学年高二上学期10月考试数学试题

江苏省南通市启东中学2023-2024学年高二上学期10月考试数学试题

江苏省南通市启东中学2023-2024学年高二上学期10月考试数学试题一、单选题1．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＜12B ．m ≤12C ．m ＜2D ．m ≤22．已知双曲线2213x y m +=的焦距为4，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．7D ．7-3．已知两点()()1,3,2,3M N ---，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则直线的斜率k 的取值范围是（ ）A ．4k -≥或2k ≥B ．42k -≤≤C ．2k ≥D ．4k -≤4．已知数列{}n a 满足()2*sin N 4n n a n π=∈，则{}n a 的前10项的和为（ ） A ．132B ．6C ．5D ．1125．直线:4320l x y +-=关于点()1,1A 对称的直线方程为（ ） A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0D ．4x －3y －12＝06．已知数列{}n a 和2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则510S a =（ ） A ．1B ．32C ．2D ．527．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F 、2F ，O 为坐标原点，M 为椭圆上一点，1F M 与y 轴交于一点N，且2OM OF ==，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13BCD18．若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan ∠ANB 的最大值为（ ）A ．12B ．34C ．45D ．43二、多选题9．已知直线l 过()1,2P ，且()2,3A ，()4,5B -到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是（ ） A ．460x y +-= B ．460x y +-=C ．3270x y +-=D ．2370x y +-=10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且公差0d ≠，若对于任意正整数n ，2022n S S ≥，则（ ）A ．10a >B ．0d >C ．20220a =D ．40450S ≥11．圆22:20F x y x +-=，抛物线2:4C y x =，过圆心F 的直线l 与两曲线的四个交点自下向上依次记为,,,P M N Q ，若,,PM MN NQ 构成等差数列，则直线l 的方程可能是（ ）A ．10x y --=B ．10x y +-=C 0y -=D 0y +12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点()1,0F ，直线:4l x =，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的一半.若某直线上存在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）A ．点P 的轨迹方程是22143x y +=B ．直线1l ：240x y +-=是“最远距离直线”C ．平面上有一点()1,1A -，则2PA PF +的最小值为5.D ．点P 的轨迹与圆C ：2220x y x +-=是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）三、填空题13．双曲线22124y x -=的渐近线方程为．14．等差数列{}n a 中，53710a a a -=-，则{}n a 的前9项和为15．已知点()()2,0,2,0A B -，若圆()223()4a x y -+-=上存在点,P 使得90APB ∠=o ，则实数a 的取值范围是．16．P 是抛物线24x y =准线为l 上一点，,A B 在抛物线上，,PA PB 的中点也在抛物线上，直线AB 与l 交于点Q ，则PQ 的最小值为.四、解答题17．等差数列{}n a 中，102030,50a a ==. (1)求数列的通项公式； (2)若242n S =，求n .18．已知点()1,0A -，()3,0B ，动点P 满足2226PB PA =+．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)直线l 过点()2,3Q -且与点P 的轨迹只有一个公共点，求直线l 的方程．19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<L ． 20．已知椭圆C :22221x y a b+=（a >b > 0）的离心率e =，过左焦点F 的直线l 与椭圆交于点M 、N .当直线l 与x 轴垂直时，MON △（O 为坐标原点）. (1)求椭圆C 的标准方程:(2)设直线l的倾斜角为锐角且满足OM ON ⋅=uuu r uuu rl 的方程.21．已知正项数列{}n a ，对任意*n ∈N ，都有22,n nn n S a a S =+为数列{}n a 的前n 项和． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13(1)2n an n n b λ-=+-⋅⋅，若数列{}n b 是递增数列，求实数λ的取值范围．22．已知C ：221x y a b+=12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线m 的方程为：2x a =-，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证线段NE 必过定点P ，并求定点P 的坐标.。

江苏省启东中学数列的概念经典试题(含答案)

江苏省启东中学数列的概念经典试题(含答案)

一、数列的概念选择题1．在数列{}n a 中，21n n a n +=+，则{}n a （ ）A ．是常数列B ．不是单调数列C ．是递增数列D ．是递减数列2．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+3．已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，则2018a =（ ）. A ．2B ．12C ．1-D ．12-4．数列{}n a 满足()11121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（ ）A ．1006B ．1176C ．1228D ．23685．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12nn n a a n +=+⋅，则15a =（ ）A ．151422⋅+B ．141322⋅+C ．151423⋅+D ．151323⋅+6．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()*21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ）A ．4-B ．5-C ．4D ．57．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．20758．已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13 C ．23D ．129．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1B ．3C ．2D ．3-10．数列{}n a 满足1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ）A ．18B ．17 C ．131D ．1611．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，可归纳得数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1+=n n a nB ．21n n a n +=+ C ．3132n n a n -=-D ．221n na n =- 12．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）． A ．648B ．722C ．800D ．88213．已知数列{}n a满足112n a +=+112a =，则该数列前2016项的和为（ ） A ．2015B ．2016C ．1512D ．3025214．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3n n N≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．015．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-16．数列{}n a 满足：12a =，111nn na a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-B ．16-C ．16D ．617．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n S +=，则34a a +=（ ）A ．81B ．243C ．324D ．21618．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-19．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4020．已知数列{}n a 的通项公式为()()211nn a n=--，则6a =（ ）A ．35B ．11-C ．35-D ．11二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202222．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=23．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--24．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 25．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =26．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n =B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列 27．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =28．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =29．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列30．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列31．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为832．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =33．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <34．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ）A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项35．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d <B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．D 解析：D 【分析】由21111n n a n n +==+++，利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】在数列{}n a 中，21111n n a n n +==+++， 由反比例函数的性质得：{}n a 是*n N ∈时单调递减数列， 故选：D2．C解析：C 【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++，且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21na n N *>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.3．B解析：B 【分析】利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】 在数列{}n a 中，111n na a +=-，且12a =， 211112a a ∴=-=， 3211121a a =-=-=- ， ()41311112a a a =-=--==∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201867232=⨯+，2018212a a ∴==.故选：B 【点睛】本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.4．B解析：B 【分析】根据题意，可知()11121n n n a a n ++--=-，分别列出各项，再整理得出132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，，45472a a +=，4648184a a +=，可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16，利用分组求和法，即可求出{}n a 的前48项和. 【详解】解：由题可知，()11121n n n a a n ++=-+-，即：()11121n n n a a n ++--=-，则有：211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，8713a a -=，9815a a +=，，474691a a +=，484793a a -=.所以，132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，，45472a a +=，4648184a a +=，可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16， 设数列{}n a 的前48项和为48S ， 则4812345645464748S a a a a a a a a a a =++++++++++，()()1357454724684648a a a a a a a a a a a a =+++++++++++++12111221281611762⨯=⨯+⨯+⨯=， 所以数列{}n a 的前48项和为：1176. 故选：B. 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及利用分组求和法求和，考查归纳思想和计算能力.5．D解析：D【分析】在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减法求15a . 【详解】12n n n a a n +=+⋅， 12n n n a a n +-=⋅，12112a a ∴-=⋅， 23222a a -=⋅，34332a a -=⋅11(1)2n n n a a n ---=-⋅，以上1n -个等式，累加得12311122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅++-⋅①又2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②①- ②得23112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，故选：D 【点睛】本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据已知递推条件()*21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5a【详解】由()*21n n n a a a n N++=-∈知：3214a a a 4321a a a 5435a a a故选：B 【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题7．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据数列{}n a 的递推公式逐项可计算出5a 的值. 【详解】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++.故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.10．C解析：C 【分析】根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】 因为1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，所以211123a ==+，31131723a ==+，411711527a ==+，51115131215a ==+ 故选：C 11．A【分析】将前五项的分母整理为1,2,3,4,5，则其分子为2,3,4,5,6，据此归纳即可. 【详解】 因为12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，故可得1223,12a a ==, 343a =，454a =，565a =， 故可归纳得1+=n n a n. 故选：A. 【点睛】本题考查简单数列通项公式的归纳总结，属基础题.12．C解析：C 【分析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =，即可得出． 【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =．则此数列第40项为2220800⨯=． 故选：C13．C解析：C 【分析】通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论． 【详解】 依题意，112a =，211122a =，3111222a =+=， ⋯从而数列{}n a 是以2为周期的周期数列， 于是所求值为20161(1)151222⨯+=， 故选：C关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.14．A解析：A 【分析】根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3， 故选：A15．B解析：B 【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.16．A解析：A 【分析】根据递推公式推导出()4n n a a n N *+=∈，且有12341a a a a=，再利用数列的周期性可计算出2018T 的值. 【详解】12a =，()*111++=∈-nn n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()12341123123a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，201845042=⨯+，因此，()5042018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.17．D解析：D 【分析】利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，34216a a ∴+=故选：D 【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.18．A解析：A 【分析】根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S += 故选：A.【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19．B解析：B 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.20．A解析：A 【分析】直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()211nn a n=--，所以626(1)(61)35a =--=.故选：A 【点睛】本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.二、多选题 21．BCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误；对于B ，，故B 正确； 对于C ，可解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.22．AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，，，，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加解析：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.23．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，取前六项得：，满足条件； 对于选项B ，取前六项得：，不满足条件； 对于选项C ，取前六项得：，解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC24．ABD 【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，所以当时，，即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数，即， 即， 所以 ，解析：ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数， 即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.25．ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD．【详解】由题意，，A正确，，C正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B错；，D正确．故选：ACD．【点睛】本解析：ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD．【详解】由题意211 122a=-=，311112a=-=-，A正确，313 2122S=+-=，C正确；41121a=-=-，∴数列{}n a是周期数列，周期为3．2019367331a a a⨯===-，B错；201932019 67322S=⨯=，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．26．ABC【分析】数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出．【详解】数列的前项和为，且满足，，∴，化为：，∴数列是等差数列，公差为4，∴，可得解析：ABC【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1nS ，n S ，2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---，进而求出n a ． 【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为4，∴()14414n n n S =+-=，可得14n S n=， ∴2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---， ∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题27．ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确；∵，，故有，故B 正确； 该数解析：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.28．AD 【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和， 进而可得，由此可知，故不正确； 对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案； 对于，由求出及解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.29．ABC 【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断. 【详解】 当时，由， 得， 即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以， 即，故C 正确； 所以，故A 正确； ，解析：ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC30．BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.31．BD 【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误解析：BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.32．BD 【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 因为、、成等差数列，则，即， 解得，，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.33．AD 【分析】由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】 由已知得：,结合等差数列的性质可知，,该等差解析：AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.34．ACD 【分析】由已知得，又，所以，可判断A ；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B ；由，可判断C ；判断 ，的符号， 的单调性可判断D ； 【详解】 由已知解析：ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n nN ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6nn N上单调递增，1na 在7nn N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0nS <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.35．AD 【分析】先根据题意得，，再结合等差数列的性质得，，，中最大，，即：.进而得答案. 【详解】解：根据等差数列前项和公式得：， 所以，， 由于，， 所以，， 所以，中最大， 由于， 所以，即：解析：AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<， 所以0d <，{}n S 中6S 最大， 由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误.故选：AD.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式与等差数列的性质，是中档题.。

2022-2021学年高二数学苏教版必修5学案：2.1 数 列(一) Word版含答案

2022-2021学年高二数学苏教版必修5学案：2.1 数 列(一) Word版含答案

明目标、知重点 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简洁的数列，会依据其前n 项写出它的通项公式．1．数列的概念依据确定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }．其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a n 称为第n 项． 3．数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 4．数列的通项假如数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[情境导学]“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，假如把木棒每天的长度记录下来，就会得到无穷多个数，这无穷多个数就组成了本节要争辩的一个数列． 探究点一 数列的概念思考1 阅读课本29页的几个例子，得出下列几组数： (1)20,22,24,26,28，….(2)1 740,1 823,1 906,1 989,2 072，…. (3)1,2,4,8,16，…. (4)12，14，18，116，132，…. (5)1,1,2,3,5,8，…. (6)15,5,16,16,28,32.以上这6组数有什么共同特点？ 答 都是按确定的次序排列的．小结 数列的定义：依据确定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．思考2 依据思考1这6个具体的数列，你能抽象出数列的一般形式如何表达吗？ 答 数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，….简记为{a n }，其中a n 是数列的第n 项．思考3 数列可以简记为{a n }，那么a n 仅仅是数列的第n 项吗？答 a n 有时是数列的第n 项，具有确定性，有时代表任意项，即具有任意性．探究点二 数列的通项公式思考1 观看数列1，12，13，14，15，…，数列的每一项与这一项的序号是否有确定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？答 该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，用通项公式a n ＝1n可表示这个数列．小结 (1)一般地，假如数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)并不是全部的数列都有通项公式，有些数列的通项公式不唯一．(3)通项公式的作用：①求数列中的任意一项；②检验某数是不是该数列中的项．思考2 数列{a n }的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？答 能确定数列是递增数列还是递减数列，是否具有周期性，有没有最大或最小项等． 例1 已知数列的第n 项a n 为2n －1，写出这个数列的首项、第2项和第3项． 解 首项为a 1＝2×1－1＝1；第2项为a 2＝2×2－1＝3； 第3项为a 3＝2×3－1＝5.反思与感悟 在本例中，第n 项a n 可用一个公式2n －1来表示，即该数列的通项公式．假如已知数列的通项公式，就可以求出数列中的任意一项．跟踪训练1 已知数列{a n }的通项公式，写出这个数列的前5项．(1)a n ＝nn ＋1；(2)a n ＝(－1)n 2n .解 我们用列表法分别给出这两个数列的前5项.n 1 2 3 4 5 a n ＝nn ＋112 23 34 45 56 a n ＝(－1)n 2n－1214－18116－132例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)11×2，－12×3，13×4，－14×5； (2)0,2,0,2.解 (1)这个数列的前4项的分母都等于序号与序号加1的积，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n ＋1n (n ＋1).(2)这个数列的奇数项是0，偶数项是2，所以它的一个通项公式是a n ＝1＋(－1)n.反思与感悟 要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观看分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数．跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－12，13，－14；(2)2,0,2,0；(3)22－12，32－13，42－14，52－15.解 (1)这个数列的前4项的确定值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1n.(2)这个数列的前4项构成一个摇摆数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1.(3)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以，它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1n ＋1.例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)(2n －1)(2n ＋1).(1)写出它的第10项；(2)推断233是不是该数列中的项．解 (1)a 10＝(－1)10×1119×21＝11399.(2)令n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝233，化简得：8n 2－33n －35＝0，解得n ＝5(n ＝－78，舍去)．当n ＝5时，a 5＝－233≠233.∴233不是该数列中的项．反思与感悟 推断某数是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.1．下列叙述正确的是________． ①数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列； ②数列0,1,2,3，…可以表示为{n }； ③数列0,1,0,1，…是常数列；④数列{nn ＋1}是递增数列．答案 ④解析 由数列的通项a n ＝n n ＋1知，当n 的值渐渐增大时，n n ＋1的值越来越接近1，即数列{nn ＋1}是递增数列，故答案为④.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________． 答案 a n ＝n ＋1解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1.3．下列有关数列的表述：①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④数列中的数是按确定次序排列的．其中说法正确的是________． 答案 ③④解析 假如数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1,1，－1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ＋1，也可以是a n ＝cos(n －1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．4．依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…；(2)12，2，92，8，252，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)0,1,0,1，….解 (1)数列各项的确定值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N *.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观看：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N *.(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.(4)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2 (n ∈N *)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)．[呈重点、现规律]1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三共性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非全部的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．3．假如一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．一、基础过关1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为________．答案 1,0,1,0解析 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的第________项． 答案 7解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是________． ①a n ＝n 2－n ＋1；②a n ＝n (n －1)2；③a n ＝n (n ＋1)2；④a n ＝n 2＋1. 答案 ③解析 令n ＝1,2,3,4，代入①、②、③、④检验即可．排解①②④，从而确定答案为③.4．数列23，45，67，89，…的第10项是________．答案 2021解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n ＋1，当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021.5．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有________个．答案 3解析 数列12，23，34，45，…的通项公式为a n ＝n n ＋1，0.94＝94100＝4750，0.96＝96100＝2425，0．98＝98100＝4950，0.99＝99100，2425，4950，99100都在数列{n n ＋1}中，故有3个． 6．观看下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，…. 答案 3解析 由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3. 7．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程) (1)3,5,9,17,33，…； (2)23，415，635，863，…； (3)1,0，－13，0，15，0，－17，0，….解 (1)a n ＝2n ＋1. (2)a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(3)把数列改写成11，02，－13，04，15，06，－17，08，…分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…周期性毁灭，因此，我们可以用sin n π2表示，故a n ＝sinn π2n .8．已知数列{n (n ＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？假如是，是第几项？ 解 (1)∵a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ， ∴a 8＝80，a 20＝440.(2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)． ∴323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项． 二、力气提升9．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n ＝________.答案 13(1－110n )解析 ∵0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项是1－(0.1)n ＝1－110n ，∴数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n ＝13(1－110n )．10．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n ＝________.答案 2n ＋1解析 ∵3＝21＋1,5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，….∴a n ＝2n ＋1. 11．依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)32，1，710，917，…. 解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的确定值的排列规律为后面的数的确定值总比前面数的确定值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子均比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n ·2n －32n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1， ∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.12．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 是项数n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 014；(2)若b n 由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式． 解 (1)a n 是项数n 的一次函数，故可设a n ＝kn ＋b ， 又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 014＝2×2 014＋1＝4 029. (2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成的， ∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)． 三、探究与拓展13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1： (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有很多列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． (1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧n >76，n <83.∴76<n <83. ∵n ∈N *，∴n ＝2，故区间⎝⎛⎭⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。

江苏省启东中学2018_2019学年高二数学暑假作业第15天等比数列文(含解析)苏教版

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第15天 等 比 数 列1. 已知数列{a n }为正项等比数列，a 2＝9，a 4＝4，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．2. 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，a·c＝________．3. 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2－a 5＝－78，S 3＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．4. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－2, S 6＝9S 3，则a 5的值为________．5. 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4＋3a 11＝0，则S 21S 14＝________．6. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3＝－198，a 4－a 2＝－158，则a 3＝________．7. 在公差不为零的等差数列{a n }中，a 3＝0，如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________．8. 在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8，S 3n 为数列{a n }的前3n 项和，T n 为数列{a 3n }的前n 项和．若S 3n ＝tT n ，则实数t ＝________．9. 设正项等比数列{a n }满足2a 5＝a 3－a 4，若存在两项a n ，a m ，使得a 1＝4a m a n ，则m ＋n ＝________．10. 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝4，a 3＝10.若{a n ＋1－a n }是等比数列，则＝________．11. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n. (1) 设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2) 求数列{a n }的通项公式．12. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n∈N *.(1) 令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2) 在(1)的条件下，求{a n }的通项公式．13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n∈N *. (1) 当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？(2) 在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n .14. 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．第15天 等 比 数 列1. 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 4a 2＝49.又因为q>0，所以q＝23，所以a n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2.2. －3 9 解析：由等比数列的性质可得ac ＝(－1)×(－9)＝9，所以b 2＝9，且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3.3. 3n －1解析：设等比数列{a n }的公比为q(q ＞0)，则a 2－a 5＝a 1q(1－q 3)＝－78，S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝13，解得a 1＝1，q ＝3，则a n ＝3n －1.4. －32 解析：设等比数列{a n }的公比为q(q≠1)，因为a 1＝－2，S 6＝9S 3, 所以1－q 61－q ＝9（1－q 3）1－q，化简为1＋q 3＝9，所以q ＝2，所以a 5＝－2×24＝－32.5.76 解析：设数列{a n }的公比为q ，则q 7＝a 11a 4＝－13，S 21S 14＝（a 1＋a 2＋…＋a 7）（1＋q 7＋q 14）（a 1＋a 2＋…＋a 7）（1＋q 7）＝1＋q 7＋q141＋q 7＝1－13＋191－13＝76. 6. 94 解析：设数列{a n }的公比为q ，q≠1，则S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝－198，q ＝－32，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝－278a 1＋32a 1＝－158a 1＝－158，解得a 1＝1，则a 3＝a 1q 2＝94.7. 9 解析： 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝0，所以a 1＝－2d.又因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，所以a 2k ＝a 6a k ＋6，即[a 1＋(k －1)d]2＝(a 1＋5d)[a 1＋(k ＋5)d]，所以k －9＝0，即k ＝9.8. 7 解析：设数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 4a 1＝8，则q ＝2，所以S 3n ＝1－23n1－2＝23n－1，T n ＝1－8n 1－8＝23n－17，所以t ＝S 3nT n＝7.9. 6 解析：设数列{a n }的公比为q(q ＞0)，则2a 3q 2＝a 3－a 3q.又a 3≠0，则2q 2＋q －1＝0，解得q ＝12(负根舍去)．又由a 1＝4a m a n ，得a 21＝16a 21q m ＋n －2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋n －2，所以m ＋n ＝6.10. 3 049 解析：已知a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝6，则等比数列{a n ＋1－a n }的公比是2，则a n ＋1－a n ＝3×2n －1，则a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋3×(1＋2＋22＋…＋2n －2)＝1＋3×1－2n －11－2＝3×2n －1－2(n≥2)，当n ＝1时，a 1＝1，满足上式，所以a n ＝3×2n －1－2，则∑i ＝110a i ＝3×(1＋2＋22＋…＋29)－20＝3×1－2101－2－20＝3×(210－1)－20＝3 049.11. 解析：(1) 因为a n ＋S n ＝n ，① 所以a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，所以2a n ＋1＝a n ＋1，所以2(a n ＋1－1)＝a n －1， 所以a n ＋1－1a n －1＝12.因为首项c 1＝a 1－1，a 1＋a 1＝1， 所以a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2) 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 12. 解析：(1) 由题意得b 1＝a 2－a 1＝1.当n≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，故{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2) 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.当n≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 当n ＝1时，53－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1，故a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n∈N *)．13. 解析：(1) 因为点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，所以a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1(n>1，且n∈N *)，两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，所以a n ＋1＝4a n ，n >1，a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1，所以当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列． (2) 在(1)的结论下，a n ＋1＝4a n ，a n ＋1＝4n， 则b n ＝log 4a n ＋1＝n ，c n ＝a n ＋b n ＝4n －1＋n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n－13＋n （n ＋1）2.14. 解析：(1) 设等比数列{a n }的公比为q. 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，则q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2) 由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56，所以数列{T n }的最大项的值为56，最小项的值为－712.。

江苏省2019学年高二数学暑假作业第17天数列的综合应用文(含解析)苏教版

江苏省2019学年高二数学暑假作业第17天数列的综合应用文(含解析)苏教版

教课资料范本江苏省 2019学年高二数学暑期作业第17天数列的综合应用文（含解析）苏教版编辑： __________________时间： __________________第17天数列的综合应用1.已知在等差数列 {a n} 中，a4＋a6＝10，若前 5项的和S5＝5，则其公差为 ________．2.若等比数列的各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后边两项的和，则公比q为________．3.设y＝f(x) 是一次函数，若 f(0) ＝1且f(1) ，f(4) ，f(13) 成等比数列，则 f(2) ＋f(4) ＋＋ f(2n) ＝__________．4.设S n是正项数列{a n}的前n项和，且2Sn＝a n＋1，则S n＝________．a75.已知数列 {a n} 是等差数列，且a6＜－ 1，它的前 n项和S n有最小值，则当S n取到最小正数时 n的值为 ________．36.如图，在平面直角坐标系中，分别在 x轴与直线 y＝3(x ＋1) 上从左向右挨次取点A k，B k，k＝1，2，，此中A1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是 ________．( 第6题)37.已知函数f(x)＝x＋x，等差数列{a n}知足f(a2－1)＝2，f(a2018－3)＝－2，S n 是其前n项和，则S2 019 ＝________．8.5已知等比数列 {a n} 知足a2a5＝2a3，且a4，4，2a7成等差数列，则a1·a2· ·a n的最大值为 ________．9.如下图的三角形数阵，依据图中的规律，第n行(n ≥2) 第2个数是 ________．10.已知数列 {a n} 的前 n项和为S n，且知足S n＋S n＋1＝2n2＋n，若对随意 n∈ N*，a n<a n＋1恒建立，则首项 a1的取值范围是 ________．11.在等比数列 {a n} 中，已知a1＝3，公比 q≠1，等差数列 {b n} 知足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3.(1)求数列 {a n} 与{b n } 的通项公式；(2)记c n＝(－1)n b n＋a n，求数列{c n}的前n项和S n.已知正项数列 {a n} ，{b n} 知足：a1＝3，a2＝6，{b n} 是等差数列，且对随意正整数n，都有b n，an，b n＋1成等比数列．(1)求数列 {b n} 的通项公式；111b2n＋1(2)设S n＝a1＋a2＋＋an，试比较2S n与2－a n＋1的大小．13.设各项均为正数的数列 {a n} 的前 n项和为S n，已知a1＝1，且 (S n＋1＋λ )a n＝(S n＋1 )a n＋1对随意 n∈ N*都建立．(1)若λ＝1，求数列{a n} 的通项公式；(2)若数列{a n} 是等差数列，求λ的值．设三个各项均为正整数的无量数列{a n} ，{b n} ，{c n} ．记数列 {b n} ，{c n} 的前 n项和分别为S n，T n，若对随意的n∈ N*，都有 a n＝b n＋c n，且 S n＞T n，则称数列{a n} 为可拆分数列．(1)n若 a n＝4，且数列{b n} ，{c n} 均是公比不为 1的等比数列，求证：数列{ a n} 为可拆分数列；(2)若 a n＝5n，且数列{b n} ，{c n} 均是公差不为 0的等差数列，求全部使得数列{ a n } 为可拆分数列的数列{ b n} ，{c n} 的通项公式．天数列的综合应用1. 2a4＋ a6＝ 2a1＋ 8d＝ 10，a1＝－ 3，分析：由题意得解得d＝2.S5＝5a1＋10d＝5，5－12.222由于 q>0，因此 q＝5－1分析：设a n＝a n＋1＋a n＋2＝qa n＋q a n，则q＋q－1＝0..23.n(2n ＋3)分析：设 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，由f( 0) ＝1，得 b＝1. 又f(1) ，f(4) ，f(13) 成等比数列，即 (4a ＋1) 2＝(a ＋1)(13a ＋1) ，解得 a＝2，则 f(x) ＝2x＋1，因此 f(2)＋f(4) ＋＋ f(2n) ＝2(2 ＋4＋6＋＋ 2n) ＋n＝n(2n ＋3) ．4.n2分析：由题意得2 a1＝a1＋1，因此a1 ＝1，且4S n＝(a n ＋1)2.当n≥2时，4S n－4S n－1＝(a n＋1)2－(a n－1＋1) 2，即 4a n＝a n2－a n2－1＋2a n－2a n－1，则 (a n＋a n－1)(a n－a n－1－2) ＝0. 又a n＞0，因此a n－a n－1＝2(n ≥2)，n（n－1）2因此数列 {a n} 是首项为 1，公差为 2的等差数列，则S n＝n＋×2＝n.2a75. 12分析：由a6＜－ 1可得a6(a 7＋a6) ＜0. 又前 n项和S n有最小值，因此公差 d＞0，则a6＜0，a7＞0，a7＋a6＞0，因此S11＝11a6＜0，S12＝6(a 7＋a6)＞0，即当S n 取到最小正数时n的值为 12.6.512分析：设△A n B n A n＋1(n∈N*)的边长为a n，则a1＝1，a n＋1＝2a n，即数列{a n}是首项9为1，公比为 2的等比数列，则△ A10B10A11的边长 a10＝2＝512.7. 4 0383分析：由题意得函数 f(x) ＝x＋x是奇函数且是增函数，因此a2－1＝－ (a 22 019 （a2＋a2 018 ）018－3)，即a2 ＋a2 018＝4.又{a n }是等差数列，因此S 2 019＝＝4 038.28. 1 0245分析：设 {a n } 的公比为 q. 由于a 2a 5＝a 3a 4＝ 2a 3，因此a 4＝2. 又a 4，4，2a 7成等差数35 1 1列，则 2＋4q ＝2，解得 q ＝ 2，则a n ＝ 2n －5，则数列 {a n } 单一递减，前 4项大于 1，第 5项等于 1，从第 6项开始小于 1，则(432a 1a 2 a n ) max ＝a 1a 2 a 3a 4a 5＝2×2 ×2×2×1＝1 024.n2－n ＋29.2分析：设第 n 行的第 2个数为a n (n ≥2) ，不难得出a 2 ＝2，且当 n ≥3时，a n ＝a n －1＋(n －1) ，因此a n －a n －1＝n －1，累加得，a n －a 2＝(n －1) ＋(n －2) ＋ ＋ 2，因此a n ＝n2－n ＋2n2－n ＋2. 又当 n ＝2时，a 2＝2，知足上式，因此a n ＝.221 310.－4，4分析：由于S n ＋S n ＋1＝2n 2＋n ，因此S n －1＋S n ＝2(n －1) 2＋n －1(n ≥2) ，两式作差得a n ＋a n ＋1＝4n －1，n ≥2，因此a n －1＋a n ＝4n －5，n ≥3，两式再作差得a n ＋1－a n －1＝4，n ≥3，可得数列 {a n } 的偶数项是以 4为公差的等差数列，从a 3 起奇数项也是以4为公差的等差数列 .若 ? n ∈ N *，a n <a n ＋1恒建立，当且仅当 a 1<a 2<a 3<a 4知足题意．又 a 1＋S 2＝3，因此 a 2＝3－2a 1，因此 a 3＝7－ a 2＝4＋2a 1， a 4＝11－ a 3 ＝7－2a 1，因此 a 1<3－2a 1<4＋2a 1<a 1，解得－13 ，即首项 a 1的取值范围是 1 3 a 1 <4 － ，4.7－2 4<411. 分析： (1) 设等差数列 {b n } 的公差为 d.由已知得a 2＝3q ，a 3＝3q 2，b 1＝3，b 4＝3＋3d ，b 13＝3＋12d ，3q ＝ 3＋ 3d ，q ＝ 1＋ d ，故即3q2＝3＋12d ，q2＝1＋4d ，解得 q ＝3(q ＝1舍去 ) ，n因此 d ＝2，因此a n ＝3，b n ＝2n ＋1.(2) 由题意得c n ＝( －1) nb n ＋a n ＝( －1) n＋1) n(2n ＋3，S n ＝c 1＋c 2＋ ＋ c n ＝( －3＋5) ＋( －7＋9) ＋ ＋ [( －1) n －1(2n －1) ＋( －1) n2n3n ＋1 3 3n ＋13当n 为偶数时，S n ＝n ＋ 2 －2＝ 2 ＋n － 2；当n 为奇数时，S ＝(n －1) －(2n ＋1) ＋ 3n ＋1 3 3n ＋1 72 －2＝2－n － 2，n3n ＋132 ＋n － 2，n ＝2k ，(k ∈N*) ．因此S n ＝3n ＋172 －n － 2，n ＝2k －112. 分析： (1)由于对随意正整数 n ，都有b n ， an ，b n ＋1成等比数列，且数列 {a n } ，{b n } 均为正项数列，因此a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *) ．a1＝ b1b2 ＝ 3， 由a 1＝3， a 2 ＝6得a2＝b2b3＝6.又{b n } 为等差数列，即有 b 1＋b 3＝2b 2，3 2解得 b 1＝ 2，b 2 ＝ 2 ，2因此数列{b n } 是首项为2，公差为 2 的等差数列，2（n ＋1）*因此数列{b n } 的通项公式为 b n ＝( n ∈N ) ．(2) 由(1) 得，对随意 n ∈N *， a n ＝b n b n ＋1＝（n ＋1）（ n ＋2） ，进而有 12an＝2＝2( 1 1) ， （n ＋1）（ n ＋2）－n ＋1 n ＋2因此 S n ＝1－ 11－ 11 －1＝ －2 ，2[ 23 ＋34 ＋ ＋n ＋1 n ＋2]1＋2nS n ＝ －4又 － b2n ＋1n ＋2因此22. 2＝2－，n ＋2 a n ＋1 n ＋3 因此2S n － 2－ b2n ＋1 n ＋2 4 n2－8 ，a n ＋1 ＝ － ＝n ＋3 n ＋2 （n ＋2）（ n ＋3）n ＝ 或 b2n ＋1因此当12n <2a n ＋1b2n ＋1当n ≥3时，2S n >2－ a n ＋1 .13. 分析： (1) 若 λ ＝1，则 (S n ＋1＋1)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，a 1＝S 1＝1.Sn ＋1＋1 an ＋1又由于a n >0，S n >0，因此 Sn ＋1 ＝an ， 因此 S2＋1 S3＋1 Sn ＋1＋1 a2 a3 · · · Sn ＋1 ＝ · · · S1＋1 S2＋1a1 a2 化简，得S n ＋1＋1＝2a n ＋1. ①因此当 n ≥2时，S ＋1＝2a n . ②nan ＋1②－①，得a n ＋1＝2a n ，因此an ＝2(n ≥2) ．an ＋1an ，由于当 n ＝1时，求得a 2＝2，因此当 n ＝1时，上式也建立，因此数列 {a n } 是首项为 1，公比为 2的等比数列，n －1*则a n ＝2 (n ∈ N ) ．(2) 令 n ＝1，得 a 2＝λ ＋1. 令 n ＝2，得 a 3＝(λ＋1) 2.要使数列{a n } 是等差数列，一定有2 a 2＝a 1＋a 3 ，解得 λ ＝0.当λ ＝0时， S n ＋1a n ＝(S n ＋1) a n ＋1，且 a 2＝ a 1 ＝1.当 n ≥ 时， S ＋1 S －S －1 ＝(S ＋ 1)( S ＋1－ S ，整理，得 S2 n ( nn )nn )2nn＋ S n ＝S n ＋1S n －1＋S n ＋1， Sn ＋1＝ Sn ＋1Sn ， Sn －1＋1进而 S2＋1 S3＋1Sn ＋1 ＝ S3 S4 Sn ＋1· · · · · ·Sn ，S1＋1 S2＋1Sn －1＋1 S2 S3化简，得 S n ＋1＝ S n ＋1，因此 a n ＋1＝1.综上所述， a n ＝1( n ∈N * ) ，因此当数列{a n } 是等差数列时， λ＝0.14. 分析： (1)nn －1n －1n －1n －1n －1n由a ＝4＝4·4 ＝3·4 ＋4 ，令b ＝3·4 ，c ＝4 ，则S ＝4－1，T ＝nnnnn4n －1 *a n ＝b n ＋c n ，且 S n ＞T n ，因此数列{a n 为可拆分 3 ，因此对随意的 n ∈ N ，都有}数列．(2)设数列{b n } ，{c n } 的公差分别为 d 1，d 2. 由 a n ＝5n 得b 1＋(n －1) d 1＋ c 1 ＋(n －1)d 2＝(d 1＋ d 2) n ＋b 1＋c 1－ d 1 －d 2＝5n 对随意的 n ∈N * 都建立，因此d1＋ d2＝ 5，即 d1＋ d2＝ 5，b1＋c1＝5. ①b1＋c1－d1－d2＝0，n （n －1）n （n －1）d1d2由S n ＞ T n ，得 nb 1＋ 2 d 1＞nc 1＋2 d 2，则2 －2d1 d2 n ＞ 由 n ＞ ，得 d1－d2d1 d2n 2＋ b1－c1－ ＋0.n ＋ b1－c1－ ＋2 2 0222 2＞0，即 d 1≥d 2且 b 1＞ c 1 . ②由数列{b n ，{c n 的各项均为正整数，得 b 1，c 1，d 1， d 2 均为正整数．} }当 d 1 d 2时，由 d 1 d 2＝5，得 d 1 d 25 *，不切合题意，因此 d 1 ＞ d 2＝ ＋ ＝ ＝2?N . ③d1＝4， d1＝4， d1＝3， d1＝3，d2＝1， d2＝1， d2＝2， d2＝2， 由①②③，得 或 或 b1＝4， 或b1＝4， b1＝3， b1＝3，c1＝1 c1＝2 c1＝1 c1＝2，bn ＝ 4n ， bn ＝ 4n － 1， bn ＝ 3n ＋ 1， bn ＝ 3n ，因此 或 cn ＝n ＋1 或 或 cn ＝2n.cn ＝ncn ＝2n －1。

作业07 排列、组合-2021年高二数学暑假作业(苏教版)解析版

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作业07 排列、组合-2021年高二数学暑假作业（苏教版）第I 卷（选择题）一、单选题1．5个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有（ ）． A ．120种 B ．80种 C ．48种 D ．20种【答案】D 【解析】5个节目全排列共有55A 120=种可能，甲、乙、丙三个节目全排列共有33A 6=种可能，由于甲、乙、丙三个节目的顺序已知确定，所以不同的排法有5533A 1220A 6==种． 故选D ．2．某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ） A ．96种 B ．84种 C ．78种 D ．16种【答案】B 【解析】先确定选的两门:246C = ,再确定学生选:24214-= ,所以不同的选课方案有61484,⨯=选B. 3．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 A ．96种 B ．124种 C ．130种 D ．150种【答案】D 【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①、五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有C 53=10种分组方法；当按照1、2、2来分时共有22532215C C A = 种分组方法；则一共有101525+= 种分组方法；②、将分好的三组对应三家酒店，有336A = 种对应方法； 则安排方法共有256150⨯= 种； 故选D ． 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．4．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30 B ．36 C ．360 D ．1296【答案】B 【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36 故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数5．将5名交警分配到三个拥挤的路口疏导交通，其中一个路口1人，另两个路口各2人的不同安排方案共有（ ） A ．180种 B ．120种 C ．90种 D ．60种【答案】C 【分析】先将5名交警分为一组1人，一组2人，一组3人，得到15种不同分法，再结合排列问题，即可求解. 【详解】由题意，将5名交警分为一组1人，一组2人，一组3人，共有22153122=15C C C A 种不同分法， 所以将5名交警分配到三个拥挤的路口不同安排方案共有331590A ⨯=种， 故选：C. 【点睛】本题考查用排列组合解决实际问题，对于分配问题，通常采用先分组，后分配的原则求解，其中分组中注意均分问题的处理方法，着重考查了分析问题和解答问题的能力．6．在1，2，3，4，5，6这六个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，各个数位上的数字之和为9的三位数共有（ ） A ．16个 B ．18个 C ．24个 D ．25个【答案】D 【分析】可分为三类情况：（1）三位数各个数位没有重复数字；（2）若三位数各个数位有且仅有两个重复数字；（3）若三位数各个数位有三个重复数字，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意，可分为三类情况：（1）若三位数各个数位没有重复数字，则组合数字只能是1，2，6和1，3，5和2，3，4，则所组成的三位数共有333A 个；（2）若三位数各个数位有且仅有两个重复数字，则组合数字只能是2，2，5和1，4，4，则所组成的三位数有132C ⨯个；（3）若三位数各个数位有三个重复数字，则组成额三位数只有333， 由分类计数原理，满足题意的三位数共有313332125A C ++=个. 故选：D ． 【方法归纳】本题主要考查了分类加法计数原理，以及解决排列组合的综合应用，其中解答中正确理解题意，解题过程中首先要分清“先分类还是先分步”“是排列还是组合”，合理分类求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．某部门在一周的7天内给3名实习生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名实习生，且这3名实习生不能安排在连续的3天，则不同的安排方案的种数为（ ）． A ．30 B ．120 C ．180 D ．210【答案】C 【分析】先求出将3名实习生随机安排在一周的7天内的安排方案种数，再求出将3名实习生安排在连续的3天的安排方案种数，最后相减即可得到结果． 【详解】由题意，将3名实习生随机安排在一周的7天内，共有37A 种安排方案， 将3名实习生安排在连续的3天的安排方案有335A 种， 所以满足题意的不同安排方案有33735180A A -=（种）． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，其中解答此类问题时，若直接从正面求解，则较为复杂，还容易出错；若从反面求解则较容易得到答案，着重考查了逻辑推理能力．8．在新一轮的素质教育要求下，某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供高一学生选择，现有5名同学参加学校选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（ ）A．150B．180C．240D．540【答案】A【分析】先把5名学生分3组，每组人数分别为2，2，1或1，1，3，求得分组数，再由这3组学生选取3门选修课，得到不同选法，最后利用分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，先把5名学生分3组，每组人数分别为2，2，1或1，1，3，则不同的分组方法有221113531543222225C C C C C CA A+=种，再由这3组学生选取3门选修课,不同的选法有336A=，由分步7计数原理得这5同学选课的种数为256150⨯=种.故选：A.【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分组，利用排列、组合的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种【答案】C【分析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A=种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A=种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A=种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有（）A．18种B．12种C．36种D．24种【答案】D【分析】根据题意，分两种情况讨论，（1）甲单独一个人旅游；（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，分别求出每种情况的方案数，利用分类计数原理，即可求解.【详解】由题意，可分为两种请况：（1）甲单独一个人旅游，在B、C景点中任选1个，由2种选法，再将其他3人分成两组，对应剩下的2个景点，有22326C A=种情况，所以此时共有2612⨯=种方案；（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B、C景点中任选1个，有11326C C=种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有222A=种情况，所以此时共有6212⨯=种方案，综上，可得甲不到A景点的方案有121224+=种方案.故选：D.【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列组合的综合应用，其中解答中主要优先分析排列的约束条件多的元素是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.11．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（）A．7 B．9 C．10 D．13【答案】C由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C=种排法；（2）当三个数为1,2,3时，共有336A=种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个.故选：C.【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。

高二数学暑假作业答案解析

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高二数学暑假作业答案解析三、解答题(共6题，要求写出解答历程或者推理步骤，共75分)：16、(本题满分13分)解：(Ⅰ)由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120 7分(Ⅱ)由(Ⅰ)得：故当B=30时，sinB+sinC取得最大值1。

13分17、(本题满分13分)解：(Ⅰ)从袋子中随机取两个球，其一切可能的终于组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个. 2分从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个.因此所求事件的概率为 . 6分(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为，其一切可能的终于有：(1,1)(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1 )(3,2), (3,3) (3,4),(4,1) (4,2)，(4,3)(4,4)，共16个8分有满足条件的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)共3个所以满足条件的事件的概率为 .故满足条件的事件的概率为 . 13分18、(本题满分13分)解：(I)由，得， 2分由正弦定理，得 4分6分(Ⅱ)由题知，由已知得，， 9分当时， 10分所以，当时，的最大值为 ;当时，的最大值为 13分本文导航 1、首页2、高二数学暑假作业答案剖析-23、高二数学暑假作业答案剖析-319、(本题满分12分)(第1问6分，第二问6分)20、(本题满分12分)解：(Ⅰ) 解集为，设，且对称轴，开口向下，，解得， ;5分(Ⅱ) ，恒成立即对恒成立化简，即对恒成立8分令，记，则，二次函数开口向下，对称轴为，当时，故 10分，解得或 12分21、(文)(Ⅰ)解：由，解得a1=1或a1=2，由假设a1=S11，因此a1=2。

又由an+1=Sn+1- Sn= ，得an+1- an-3=0或an+1=-an因an0，故an+1=-an不成立，舍去。

南通市启东中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学理试题

南通市启东中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学理试题

2012-2013 学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、填空题：本大题共 14 小题．每题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应的地点上． 1．（ 5 分）（ 2012?南京二模） 已知，此中 a ，b ∈R ，i 为虚数单位， 则 a+b= 4．考点 ：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题 ：计算题．剖析：化简复数方程为复数相等的形式，求出a ，b 即可获得 a+b 的值．解答：解：因为 ，因此 a+3i=1+bi ，因此 a=1， b=3 ，因此 a+b=4． 故答案为： 4．评论：此题考察复数的代数形式的混淆运算，考察计算能力．2．（ 5 分）（理）一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一同，则不一样的坐法种数为 （3!）4．考点 ：摆列、组合及简单计数问题． 专题 ：计算题；概率与统计．剖析：达成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数 原理计数公式，可得结论．解答：解：第一步，分别将三口之家“捆绑 ”起来，共有3!×3!×3!种排法；第二步，将三个整体摆列次序，共有3! 种排法4故答案为：（ 3!） 4．评论：此题考察分步计数原理，考察学生的计算能力，正确分步是重点．3．（ 5 分）已知随机变量 X 听从二项散布 B （ n ，p ），且 E （X ）=12 ，V （ X ）=8 ，则 n= 36p=．考点 ：二项散布与 n 次独立重复试验的模型． 专题 ：概率与统计．剖析：依据听从二项散布的随机变量其希望、方差公式可得对于 n 、p 的方程组，解出即可．解答：解：因为随机变量 X 听从二项散布 B （ n ， p ），因此 np=12①， np （ 1﹣ p ）=8②，联立①②解得 n=36， p= ，故答案为： 36； ．评论：此题考察二项散布及随机变量的希望、方差，属基础题，熟记听从二项散布的随机变量的希望、方差公式是解决问题的重点．4．（ 5 分）若 a ＞ b ＞ 0，则 与 的大小关系是．考点 ：不等关系与不等式．专题 ：证明题．剖析：平方作差可得： （） 2﹣（）2，化简可判其小于0，从而可得结论． 解答：解：（ 22）﹣（ a ﹣b ）=2b ﹣ 2=2 （），）﹣（ ）=（ a+b ﹣ 2 ∵ a ＞ b ＞ 0，∴ ，∴ 2 （ ）＜ 0，即（）2﹣（）2＜0，∴，故答案为：评论：此题考察不等关系与不等式，平方作差是解决问题的重点，属基础题．5．（ 5 分）若复数（ a+i ）2对应的点在 y 轴的负半轴上（此中 i 是虚数单位），则实数 a 的值 是﹣1．考点 ：复数代数形式的混淆运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题 ：计算题．剖析：（ a+i ） 2对应化成代数形式，确立其对应的点，依据点的地点，列出相应的关系式，求出 a ．解答：2 22，解：（ a+i ）=a ﹣ 1+2ai ，对应的点（a ﹣ 1，2a ），因为在 y 轴的负半轴上， 因此解得 a=﹣1故答案为：﹣ 1．评论：此题考察复数的代数运算，复数的几何意义．是基础题6．（ 5 分）两人进行乒乓球竞赛，先赢三局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的情况 （各人胜败局次的不一样视为不一样情况）共有 20 种．（用数字作答）考点 ：摆列、组合及简单计数问题． 专题 ：计算题；概率与统计．剖析：依据分类计数原理，全部可能情况可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类乞降即可得结果．解答：解：第一类：三局为止，共有 2 种情况；第二类：四局为止，共有2×=6 种情况；第三类：五局为止，共有2×=12 种情况；故全部可能出现的情况共有2+6+12=20 种情况故答案为： 20评论：此题主要考察了分类和分步计数原理的运用，组合数公式的运用，分类议论的思想方法，属基础题7．（ 5 分）函数的单一减区间为（0，]．考点：利用导数研究函数的单一性．专题：计算题．剖析：先利用导数运算公式计算函数的导函数y′，再解不等式 y′＜ 0，即可解得函数的单一递减区间解答：解：∵=（x＞0）由 y′＞ 0，得 x＞，由y′＜0，得0＜x＜，∴函数的单一减区间为（0，]故答案为（ 0，]评论：此题主要考察了导数的运算和导数在函数单一性中的应用，利用导数求函数单一区间的方法，解题时注意函数的定义域，防止犯错8．（ 5 分）在的睁开式中，前三项的系数成等差数列，则睁开式中的有理项共有3项．考点：二项式系数的性质．专题：概率与统计．剖析：先求得睁开式的前三项的系数，再依据前三项的系数成等差数列，求得n=8，依照睁开式的通项公式可得 r=0 ， 4， 8 时，睁开式为有理项，从而得出结论．解答：3故睁开式的通项公式为T r+1= ???=? ?．要使睁开式为有理项，r 应是 4 的非负整数倍，故r=0， 4， 8，共有 3 个有理项，故答案为 3．评论：此题主要二项式定理的应用，二项睁开式的通项公式，求睁开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．（ 5 分）（ 2012?江苏三模）曲线在x=1处的切线与直线x+by+1=0 垂直，则实数b 的值为﹣3．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的综合应用．剖析：先对已知曲线方程求导，依据导数的几何意义可求在x=′ 1处的切线斜率，再依据直线垂直的斜率关系可求 b解答：解：对已知函数求导可得，∴当 x=1 时， f ′（ 1）=﹣ 3∴曲线在 x=1 处的切线斜率k= ﹣3∵在 x=1 处的切线与直线x+by+1=0 垂直∴即∴b=﹣ 3故答案为：﹣3评论：此题主要考察了函数的导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系的应用，属于基础试题10．（ 5 分）利用数学概括法证明“”，从n=k推导n=k+1时原等式的左侧应增添的项数是项．考点：数学概括法．专题：计算题．剖析：n=k 时，最后一项为，n=k+1时，最后一项为，由此可得由n=k 变到 n=k+1时，左侧增添的项即可．解答：解：由意，n=k ，最后一，n=k+1，最后一∴由 n=k 到 n=k+1 ，左增添了，故答案：．点：本考数学法，考学生剖析解决的能力，找出律是解的关，属于基．11．（5 分）平面内有n 条直，任两条直不平行，任三条直不共点，它把平面区分成 f （n）个互不订交的地区， f （ n）的表达式是f（ n）=用n表示）．考点：推理．：算．剖析：通作得，每一与它前方一的差组成一个等差数列，再由累加法即可求出通f（ n）．解答：解：通作，可知f（ 3） =7， f （4） =11， f（ 5）=16 ，从中可推理，可得出 f （ n）=f （n 1） +n， f（ n） f （ n 1） =n ，故可得 f （ n 1） f （ n 2）=n 1，f （ n 2） f（n 3） =n 2，⋯f （ 5） f（ 4）=5，f （ 4） f（ 3）=4，将以上各式累加得：f （ n） f（ 3）=n+ （ n 1） +（ n 2） +⋯+5+4=，有 f（ n）=+f （ 3） =+7=故答案：点：本考推理，以及数列推式，属于基．12．（5 分）在△ ABC 中，若 AB ⊥ AC ，AC=b ，BC=a ，△ ABC 的外接半径，将此拓展到空，可得出的正确是：在四周体S ABC 中，若 SA 、 SB、 SC 两两垂直， SA=a， SB=b，SC=c ，四周体S ABC 的外接球半径R=．考点：行的合情推理．：；研究型．剖析：是一个比推理的，在由平面形到空形的比推理中，一般是由点的性类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，△ ABC中，若 AB ⊥ AC ， AC=b ，BC=a，则△ABC 的外接圆半径，我们能够类比这一性质，推理出在四周体S﹣ ABC 中，若 SA、SB、SC 两两垂直， SA=a，SB=b ，SC=c ，则四周体S﹣ ABC 的外接球半径R=解答：解：由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由圆的性质推理到球的性质．由已知在平面几何中，△ ABC 中，若 AB ⊥ AC ， AC=b ， BC=a ，则△ ABC 的外接圆半径，我们能够类比这一性质，推理出：在四周体S﹣ ABC 中，若 SA 、 SB 、SC 两两垂直， SA=a ， SB=b， SC=c，则四周体S﹣ ABC 的外接球半径R=故答案为：评论：类比推理的一般步骤是：（ 1）找出两类事物之间的相像性或一致性；（2）用一类事物的性质去推断另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．13．（ 5 分）（ 2012?盐城一模）若对于 x 的方程 kx+1=lnx 有解，则实数k 的取值范围是．考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单一性．专题：计算题．剖析：设 f（ x）=lnx ﹣ kx ﹣1，将方程kx+1=lnx 有解问题转变为函数 f （ x）有零点问题，进而利用导数研究函数f（ x）的单一性和极值，找到使函数有零点的k 的范围解答：解：设 f （ x） =lnx ﹣ kx ﹣ 1则 f′（ x）=﹣k=（x＞0）若 k≤0，则 f ′（ x）＞ 0，f （ x）为（ 0，+∞）上的增函数，∵ x→0 时， f（ x）→﹣∞，∴ f（ x）有且只有一个零点，即此时方程kx+1=lnx 有解若 k＞ 0，则 f（ x）在（ 0，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数要使函数 f （x）有零点，需f（）≥0即﹣ lnk ﹣ 2≥0解得： k≤∴ 0＜ k≤时，f（x）有零点，即此时方程kx+1=lnx 有解综上所述： k≤故答案为（﹣∞，]评论：此题主要考察了方程的根与函数零点间的关系，结构函数解决零点存在性问题的方法，导数在函数单一性和极值中的应用，转变化归的思想方法22[ ﹣14．（5 分）不等式 a +8b≥λb（a+b）对于随意的 a，b∈R 恒建立，则实数λ的取值范围为8，4] ．考点：函数恒建立问题．专题：计算题．2222剖析：由已知可得 a ﹣λba﹣（λ﹣8）b ≥0，联合二次不等式的性质可得△=λ+4（λ﹣ 8）=λ+4λ﹣ 32≤0，可求解答：解：∵ a 2+8b2≥λb（ a+b）对于随意的a， b∈R 恒成∴a 2+8b2﹣λb（ a+b）≥0 对于随意的 a， b∈R恒成即 a 2﹣（λb） a+（ 8﹣λ） b2≥0由二次不等式的性质可得，22λ﹣ 32≤0△ =λ+4（λ﹣ 8） =λ+4∴（λ+8 ）（λ﹣ 4）≤0解不等式可得，﹣8≤λ≤4故答案为： [﹣ 8， 4]评论：此题主要考察了二次不等式的恒建立问题的求解，解题的重点是灵巧利用二次函数的性质．二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 14 分）（ 2011?南通一模）用数学概括法证明：．考点：数学概括法．专题：证明题．剖析：先证明 n=1 时，结论建立，再设当n=k（k∈N *）时，等式建立，利用假定证明 n=k+1 时，等式建立刻可．解答：证明：（ 1）当 n=1时，左侧 =1 ×2×3=6，右侧 ==左侧，∴等式建立．（ 2）设当 n=k （ k∈N *）时，等式建立，即．当 n=k+1 ，左 =1×2×3+2 ×3×4+⋯+k ×（k+1 ） ×（ k+2） +（ k+1）（ k+2）（ k+3）∴ n=k+1 ，等式建立．n ∈N *建立．由（ 1）、（2）可知，原等式 于随意点 ：本 考 数学 法 明等式 ，的关 是利用 假 明n=k+1 ，等式建立，属于中档 ．16．（ 14 分）已知对于 x 的方程： x 2（ 6+i ）x+9+ai=0 （ a ∈R ）有 数根 b ．（ 1）求 数 a ， b 的 ．（ 2）若复数 z 足 |a bi| 2|z|=0，求 z 何 ， |z|有最小 ，并求出 |z|的 ．考点 ：复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意 ；复数代数形式的混淆运算．剖析：（ 1）复数方程有 根，方程化 a+bi=0（ a 、 b ∈R ），利用复数相等，即解方程 即可．（ 2）先把 a 、 b 代入方程，同 复数z=x+yi ，化 方程，依据表达式的几何意 ，方程表示 ，再数形 合，求出z ，获得 |z|．解答：解：（ 1）∵ b 是方程 x 2（ 6+i ）x+9+ai=0 （ a ∈R ）的 根，2∴（ b6b+9） +（a b ） i=0 ，∴解之得 a=b=3．（ 2） z=x+yi （ x ， y ∈R ），由 |3 3i|=2|z|， 得（ x 3）22 2 2），+（ y+3） =4（ x +y2 2，即（ x+1） +（ y 1） =8∴ z 点的 迹是以 O 1（ 1， 1） 心， 2半径的 ，如 所示，如 ，当 z 点在 OO 1 的连线上时， |z|有最大值或最小值，∵ |OO 1|= ，半径 r=2，∴当 z=1﹣ i 时．|z|有最小值且 |z|min = ．评论：此题（ 1）考察复数相等； （2）考察复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形联合的思想方法．是有必定难度的中档题目．17．（ 15 分）己知以下三个方程 2222﹣ 2a=0 起码x +4ax ﹣ 4a+3=0，x +（ a ﹣ 1） x+a =0 ，x +2ax 有一个方程有实根，务实数 a 的取值范围．考点 ：反证法与放缩法．专题 ：计算题．剖析：起码有一个方程有实根的对峙面是三个方程都没有根，因为正面解决此问题分类较多，而其对峙面状况单一，故求解此类问题一般先假定没有一个方程有实数根，而后由根的鉴别式解得三方程都没有根的实数a 的取值范围，其补集即为个方程x 2+4ax22 2﹣ 2a=0 起码有一个方程有实根建立的实数a﹣ 4a+3=0，x +（ a ﹣ 1） x+a =0， x +2ax的取值范围．此种方法称为反证法解答：解：假定没有一个方程有实数根，则：216a ﹣ 4（ 3﹣ 4a ）＜ 0（ 1）（ a ﹣ 1）2﹣ 4a 2＜ 0（2） 24a +8a ＜ 0（ 3）（ 5 分）解之得：＜ a ＜﹣ 1（ 10 分）故三个方程起码有一个方程有实根的a 的取值范围是： {a|a ≥﹣ 1 或 a ≤} ．评论：此题考察反证法，解题时要合理地运用反证法的思想灵巧转变问题，以达到简化解题的目的，在求解如此题这种存在性问题时，若发现正面的求解分类较繁，而其对峙面状况较少， 不如如此题采纳求其反而建即刻的参数的取值范围， 而后求此范围的补集，即得所求范围， 此题中三个方程都是一元二次方程， 故求解时注意根的鉴别式的运用．18．（ 15 分）（ 2012?盐城三模）一个袋中装有大小和质地都同样的 10 个球，此中黑球 4 个，白球 5 个，红球 1 个．（1）从袋中随意摸出 3 个球，记获得白球的个数为 X ，求随机变量 X 的概率散布和数学希望 E（ X）；（2）每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求 3 次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．考点：失散型随机变量的希望与方差；等可能事件的概率；n 次独立重复试验中恰巧发生k 次的概率．专题：综合题．剖析：（ 1）确立随机变量X 的取值，求出相应的概率，即可获得随机变量的散布列及数学希望；（ 2）3 次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球，包含 3 个黑球， 2 个黑球 1 个白球或 2 个黑球 1 个红球，由此可得结论．解答：解：（ 1）随机变量 X 的取值为 0， 1， 2，3，则P（ X=0 ）==；P（X=1）=；P（X=2）==；P（X=3）==．X的散布列为X0123P∴ EX=0 ×+1×+2×+3×=；（ 2）记 3 次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数为事件 A ，则P（A）=+=．评论：此题考察概率的计算，考察失散型随机变量的散布列与数学希望，确立变量的取值，求出相应的概率是重点．19．（ 16 分）已知函数32处的切线方程为6x﹣ 2y﹣ 1=0 ，f ′（ x）为f（ x）=x+bx +cx 在 x=1x（ a，b， c∈R）．f （ x）的导函数， g（ x）=a?e（1）求 b， c 的值；（2）若存在 x0∈（ 0，2] ，使 g（ x0）=f ′（ x0）建立，求 a 的范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算；利用导数研究函数的极值．专题：综合题．剖析：（ 1）由 f ′（ x） =3x 2，知 f （x）在 x=1处的切线方程为y= （ 3+2b+c） x﹣ 2 +2bx+c﹣ b，故，由此能求出 f （ x）．（ 2）若存在x0∈（ 0， 2] 使建立，即方程g（x） =f ′（ x）在（ 0， 2]上有解，故，令 ，则=﹣，由此能求出 a 的取值范围．2解答：解：（ 1）∵ f ′（ x ） =3x +2bx+c ，∴ f （ x ）在 x=1 处的切线方程为 y ﹣（ 1+b+c ） =（ 3+2b+c ）（ x ﹣1），即 y= （3+2b+c ） x ﹣2﹣ b ，∴，即 ，∴．（ 2）若存在 x 0∈（0， 2] 使建立，即方程 g （ x ） =f ′（ x ）在（ 0， 2] 上有解，∴ a?e x =3x 2﹣3x+3 ， ∴，令，∴==﹣ ，令 h ′（ x ） =0，得 x 1=1 ， x 2=2，列表议论：x（0，1） 1 （1，2） 2 h ′（ x ）﹣ 0 + 0 h （ x ）↓极小值↑极大值∴ h （ x ）有极小值 h （ 1）= ，h （ x ）有极大值 h （2） = ，且当 x →0 时， h （ x ）→3＞，∴ a 的取值范围是．评论：此题考察实数值和实数取值范围的求法，详细波及到导数的应用、函数极值的求法和用、切方程的求法和用，解要真，仔解答，注意合理地行等价化．20．（ 16 分）已知睁开式的各挨次（x），a（ x），a（ x），⋯，a123a n（x）， a n+1（x），此中F（ x）=a1（ x） +2a2（x） +3a3（x） +⋯+na n（x） +（ n+1） a n+1（ x）（1）若 a1（ x）， a2（ x），a3（ x）的系数挨次成等差数列，求n 的；（2）求：随意x1， x2∈[0， 2] ，恒有．考点：数列与不等式的合；等差关系确实定；二式系数的性；不等式的明．：等差数列与等比数列．剖析：（ 1）利用二睁开式的通公式，求出前三的系数，据a1（ x），a2（ x）， a3（ x）的系数挨次成等差数列，列出方程，即可求出n 的．（2）先利用到序相加法求出 F（ 2） F（0）的，利用数判断出函数的性，即可得．解答：（ 1）解：∵∴ a1（ x），a2（ x），a3（ x）的系数挨次=1 ，=，=∵a1（ x），a2（ x）， a3（x）的系数挨次成等差数列，∴∴n=8；（2）明：∵ F（ x） =a1（ x）+2a2（ x）+3a3（ x）+⋯+na n（ x）+（ n+1 ） a n+1（ x）=+2+⋯+∴F（2） = +2 +⋯+S n=+2+⋯+，倒序可得 S n=+⋯+2+考到k n﹣k012n﹣ 1n）C n =C n，将以上两式相加得： 2S n=（n+2 ）（C n +C n +C n⋯+C n +C nn ﹣1n﹣11因此 S n=（ n+2 ） 2因此 F（ 2） F（ 0） =（ n+2） 2又当 x∈[0，2] ， F'（x）≥0 恒建立，从而 F（ x）是 [0， 2] 上的增函数，因此随意x1， x2∈[0，2] ， |F（ x1） F（ x2） |≤F（ 2） F（ 0）═（ n+2 ）2n﹣11＜（ n+2） 2n﹣1．点：本考二式定理与数列的合，考等差数列，考倒序相加法，考学生的算能力，属于中档．。

江苏省启东中学2018_2019学年高二数学暑假作业第16天数列通项与求和文(含解析)苏教版

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第16天 数列通项与求和1. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n≥2)，则数列{a n }的通项公式是____________．2. 若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为S n ＝__________． 3. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________． 4. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1，则数列{b n }的前10项和S 10＝________．5. 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________．6. 若在正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×2n，则数列{a n }的通项公式为__________________．7. 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________．8. S n ＝12＋222＋38＋…＋n2n ＝____________．9. 对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值．现知某数列{a n }的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则该数列的通项公式为____________.10. 已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n∈N *)，则满足1 0011 000＜S 2n S n ＜1110的n 的最大值为________． 11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1) 设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2) 在(1)的条件下，证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．12. 在等比数列{a n}中，a2a3＝32，a5＝32.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 设数列{a n}的前n项和为S n，求S1＋2S2＋…＋nS n.13. 在等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前2n项和S2n.14. 已知二次函数f(x)＝3x2－2x，数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S n)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 在(1)的结论下，设b n＝3a n a n＋1，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜m20对所有n∈N*都成立的最小正整数m.第16天 数列通项与求和1. a n ＝1n 解析：因为a n ＝n －1n a n －1(n≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n－1)个式子相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立，所以a n ＝1n.2. 2n ＋1＋n 2－2 解析：S n ＝2（1－2n）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.3. 19 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9.又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.4.1011 解析：由a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，得1a n ＝1－a n ＋1a n ＋1＝1a n ＋1－1，即1a n ＋1－1a n＝1.又a 1＝1，所以1a n ＝1a 1＋(n －1)＝n ，所以a n ＝1n .因为b n ＝a n ·a n ＋1＝1n （1＋n ）＝1n －11＋n ，所以数列{b n }的前10项和S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1－111＝1011.5. 13n 解析：因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则当n≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式左右两边分别相减得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n≥2)．由题意知，a 1＝13，符合上式，所以a n ＝13n (n∈N *)．6. a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12×2n 解析：在a n ＋1＝2a n ＋3×2n 的两边同时除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋32，即a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝32，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以a 12＝1为首项，32为公差的等差数列，所以a n 2n ＝1＋(n －1)×32＝32n －12，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12×2n . 7. 8 解析：当q ＝1时，不符合题意；当q≠1时，2S 9＝S 3＋S 6，所以2a 1（1－q 9）1－q ＝a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ，所以1＋q 3＝2q 6，所以a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q 7，即a 2＋a 5＝2a 8，所以m＝8.8.2n ＋1－n －22n解析：由S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ①，得12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1②，①－②得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －22n. 9. a n ＝2n ＋12n 解析：2n ＋2＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n，则a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n （n ＋2）2.当n ＝1时，a 1＝32；当n≥2时，na n ＝n （n ＋2）2－（n －1）（n ＋1）2＝2n ＋12，则a n ＝2n ＋12n .当n ＝1时也符合上式，故a n ＝2n ＋12n.10. 9 解析：由题意得2(S n ＋1－S n )＋S n ＝2，即S n ＋1＝12S n ＋1，S n ＋1－2＝12(S n －2)，且S 1－2＝a 1－2＝－1，所以S n －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以S 2n S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0011 000，1110，即11 000＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜110，解得4≤n≤9，所以n 的最大值为9.11. 解析：(1) 因为a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2， 所以a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.由S n ＋1＝4a n ＋2，知当n≥2时，有S n ＝4a n －1＋2， 两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． 又因为b n ＝a n ＋1－2a n ，所以b n ＝2b n －1， 所以{b n }是首项b 1＝3，公比q ＝2的等比数列． (2) 由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，所以a n 2n ＝12＋34(n －1)＝34n －14，则a n ＝(3n －1)×2n －2.12. 解析：(1) 设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q·a 1q 2＝32，a 1q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2， 故a n ＝2·2n －1＝2n.(2) 因为S n 是数列{a n }的前n 项和，所以S n ＝2（1－2n）1－2＝2(2n－1)，所以S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(2＋2·22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n)]＝2(2＋2·22＋…＋n·2n)－n(n ＋1)，设T n ＝2＋2·22＋…＋n·2n，① 则2T n ＝22＋2·23＋…＋n·2n ＋1，②由①－②得－T n ＝2＋22＋ (2)－n·2n ＋1＝2（1－2n）1－2－n·2n ＋1＝(1－n)·2n ＋1－2，所以T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，所以S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(n －1)·2n ＋1＋2]－n(n ＋1)＝(n －1)·2n ＋2＋4－n(n ＋1)．13. 解析：(1) 当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意． 所以a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，则公比q ＝3，故a n ＝2·3n －1.(2) 因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n ＝2·3n －1＋(－1)n·ln (2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln 3＝2×1－32n1－3＋n ln 3＝32n＋n ln 3－1.14. 解析：(1) 因为点(n ，S n )(n∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．(2) 由(1)得知b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝∑i ＝1nb i ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1，所以要使12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1＜m 20对任意n∈N *都成立的m 必须且仅须满足12≤m 20，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.。

江苏省启东中学2018_2019学年高二数学暑假作业第18天不等式解法及基本不等式文(含解析)苏教版

江苏省启东中学2018_2019学年高二数学暑假作业第18天不等式解法及基本不等式文(含解析)苏教版

第18天 不等式解法及基本不等式1. 不等式2x 2－2x ＜4的解集为______________． 2. 不等式x －12x ＋1≤0的解集是______________．3. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．4. 设函数y ＝e x＋1ex －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．5. 若关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＞0的解集是{x|x ＜－1或x ＞4}，则a ＋b ＝________．6. 已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意x∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．7. 若实数x ，y 满足xy>0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y的最大值为________．8. 已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．9. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x ＋1|， x≤1，（x －1）2， x ＞1，函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，则不等式g(x)≤2的解集为________．11. 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a∈R )．12. 已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a∈R . (1) 若a ＝2，试求函数y ＝f （x ）x(x >0)的最小值； (2) 对于任意的x ∈[0，2]，不等式f (x )≤a 成立，试求实数a 的取值范围．13. 设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，函数F(x)＝f(x)－x 的两个零点为m ，n(m ＜n)． (1) 若m ＝－1，n ＝2，求不等式F(x)＞0的解集； (2) 若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f(x)与m 的大小．14. 一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜．他在正方形的边BC ，CD 上分别取点E ，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE ，EF ，FA ，使得∠EAF＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF 部分规划为蜂巢区，△CEF 部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？第18天 不等式解法及基本不等式1. {x|－1<x<2} 解析：因为2x 2－2x<4＝22，所以x 2－x<2，即x 2－x －2<0，解得－1<x<2.2. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x≤1 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x≤1.3. 30 解析：总费用为4x ＋600x ×6＝4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋900x ≥4×2 900＝240，当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时等号成立．4. (－∞，2] 解析：由于e x＋1ex －a≥2－a ，则A ＝ [2－a ，＋∞)⊆[0，＋∞)，则2－a≥0，解得a≤2.5. －3 解析：由题意得a ＋1＝－3，ab ＝－4，解得a ＝－4，b ＝1，a ＋b ＝－3.6. 4 解析：∀x ∈[1，3]，x 2－kx ＋4≥0恒成立，则k≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x min .因为x∈[1，3]，所以x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号，则k≤4. 7. 4－2 2 解析：由题意得x x ＋y ＋2y x ＋2y ＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号．8. (1，5] 解析：令f(x)＝x 2－2(a －2)x ＋a ，则当Δ＝4(a －2)2－4a ＜0，即1＜a ＜4时，f (x)＞0在R 上恒成立，符合题意；当Δ≥0，即a ≤1或a ≥4时，函数f (x )的两个零点都在[1，5]上，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1或a ≥4，1≤a －2≤5，f （1）＝1－2（a －2）＋a ≥0，f （5）＝25－10（a －2）＋a ≥0，解得4≤a ≤5，故实数a 的取值范围是(1，5]．9. 8 解析：因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3(0＜x ＜12)，所以y ＝3x －3(y ＞3)，所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2（y －3）·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.10. [－2，2]解析：f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x －1|，x≥－1，（x ＋1）2， x ＜－1，则g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋2－|x －1|， x ＞1，2－|x ＋1|＋2－|x －1|， －1≤x≤1，2－|x ＋1|＋（x ＋1）2， x ＜－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋4， x ＞1，2， －1≤x≤1，x 2＋3x ＋4， x ＜－1，则g(x)≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x 2－3x ＋4≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，x 2＋3x ＋4≤2，解得 1＜x≤2或－1≤x≤1或－2≤x＜－1，则不等式g(x)≤2的解集为[－2，2]．11. 解析：原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.①当a>0时，原不等式可以化为a(x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ， 所以当0<a<12时，2<1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2<x<1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a>12时，1a <2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x<2.②当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x>2， 即原不等式的解集是{x|x>2}．③当a<0时，原不等式可以化为a(x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0，由于1a <2， 故原不等式的解集是{x ⎪⎪⎪x<1a或x>2}．综上所述，当a<0时，不等式的解集是{x ⎪⎪⎪x<1a或x>2}；当a ＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；当0<a<12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2<x<1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a>12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x<2.12. 解析：(1) 依题意得y ＝f （x ）x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x>0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，所以y≥－2，所以当x ＝1时，y ＝f （x ）x 的最小值为－2.(2) 由题意得x 2－2ax －1≤0在[0，2]上恒成立． 设g(x)＝x 2－2ax －1，则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可，所以⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤0，g （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a≥34，则实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.13. 解析：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x ＝a(x －m)(x －n)．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F(x)＞0，即a(x ＋1)(x －2)＞0.当a ＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F(x)＞0 的解集为{x|－1＜x ＜2}．(2) f(x)－m ＝a(x －m)(x －n)＋x －m ＝(x －m)·(ax－an ＋1)，因为a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，所以x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0，所以f(x)－m ＜0，即f(x)＜m.14. 解析：设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T ，则T ＝2×105×S＋105×(1－S)＝105×(S＋1)，所以只要求S 的最小值即可得T 的最小值．设∠EAB＝α(0°<α<45°)，在△ABE 中，因为AB ＝1，∠B＝90°，所以BE ＝tan α， 则S △ABE ＝12AB·BE＝12tan α.又∠DAF＝45°－α，所以S △ADF ＝12tan (45°－α)，所以S ＝12[tan α＋tan (45°－α)]＝12(tan α＋1－tan α1＋tan α)．令x ＝tan α∈(0，1)，则S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 1＋x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x －1x ＋1＝12(x ＋2x ＋1－1)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋2x ＋1－2≥12(22－2)＝2－1，当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时取等号，此时T ＝2×105，所以三个区域的总投入T 的最小值为2×105元．。

江苏省启东中学2021年高中数学数列多选题专题复习附解析

江苏省启东中学2021年高中数学数列多选题专题复习附解析

江苏省启东中学2021年高中数学数列多选题专题复习附解析一、数列多选题1．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S > 【答案】ABC 【分析】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，可看作关于n 的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确； 选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确； 选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >， 可得数列{}n S 是递增数列，故正确；选项D ，若数列{}n S 是递增数列，则对应抛物线开口向上， 但不一定有任意*n ∈N ，均有0n S >，故错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用，()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.2．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（ ） A ．数列{}n a 是等差数列 B ．12n n aC ．22222123213n na a a a -++++= D ．122334111111n n b b b b b b b b +++++< 【答案】BCD 【分析】利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】对任意的n *∈N ，21n n S a =-.当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =； 当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-， 上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B选项正确；()221124n n na --==，所以，22221231441143nn n a a a a --==-++++，C 选项正确； 212log log 2nn n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以，12233411111111111111112233411n n b b b b b b b b n n n +++++=-+-+-++-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.3．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n a a +-=，21n n n b a nb ⋅+=，且11a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）A ．m +∃∈N ，55m m a a a +=+B ．n +∀∈N ，33314n a n +≥ C ．m +∃∈N ，16m b = D ．n +∀∈N ，113n S ≤< 【答案】BD【分析】用累加法得到222n n n a -+=，代入21n n n b a nb ⋅+=，得11212n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 代入5m a +5m a a =+求出m 可判断A ；代入33n a n+求最值可判断B ； 令1121612m b m m ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭解出m 可判断C ；裂项相消后可求出n S 的范围可判断D.【详解】因为1n n n a a +-=，所以211a a -= 322a a -=11(2)n n n a a n -=-≥-以上各式累加得1121(1)2n a a n n n =+++-=--，所以(1)12n n n a -=+，当1n =时，11a =成立， 所以2(1)2122n n n n a n --+=+=，由21n n n b a nb ⋅+=，得112112(1)1222(1)(2)12n n b a n n n n n n n n ⎛⎫====- ⎪+++++⎝-+⎭+，对于A ，()()5254922122m a m m m m ++++++==，25(1)5(51)2411222m a a m m m m -⨯--+=+++=+ ， 当55m m a a a +=+时，222492222m m m m -+++=，得15m +=∉N ，A 错误； 对于B，(1)1(13333343411)22222n n n n a n n n n n ++==+=+-≥--+， 当且仅当268n =取等号，因为n +∀∈N ，所以8n =时，8333184a +=， 所以B 正确；对于C ，令1121612m b m m ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭得，215308m m ++=，解得m +=N ，所以C 错误；对于D ， n +∀∈N ，1231111112233412n S b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪++⎝⎭112211222n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭，可以看出n S 是关于n 递增的，所以1n =时有最小值13， 所以113n S ≤<，D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出n a ，然后代入求出n b ，考查了学生的推理能力、计算能力.4．某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=- C ．1n n a a +> D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【分析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-， 第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误； 第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确； 因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+， 所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t ta a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-，因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确； 当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误； 故选：BC 【点睛】解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）A ．342n a n =-B ．16S 为n S 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．1230450a a a +++=【答案】AC 【分析】利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确；121617193300()a a a S a a a +++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=， 故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.6．（多选题）已知函数()22()()n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则na 等于（ ）A ．()21n -+B ．21n -C ．21nD ．12n -【答案】AC 【分析】对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可. 【详解】当n 为奇数时，()()()()22112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+； 当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，所以()()()2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩当为奇数时当为偶数时. 故选：AC . 【点睛】易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，1n +为奇数.7．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.8．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*1312lnn n n n b a b n N n++=++∈，110a b +>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．数列{}n n a b -单调递增B ．数列{}n n a b +单调递增C ．数列{}n a 单调递增D ．数列{}n b 从某项以后单调递增【答案】BCD 【分析】计算221122ln 2a b a b a b -=--<-，知A 错误；依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列，得到()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，知B 正确；结合已知条件，计算10n n a a +->，即得C 正确；先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-，再结合指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】由题可知，12n n n a a b +=+①，1312lnn n n n b a b n++=++②，①-②得，1131lnn n n n n a b a b n+++-=--，当1n =时，2211ln 2a b a b -=--，∴2211-<-a b a b ，故A 错误．①+②得，()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-，()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-，∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项，3为公比的等比数列，∴()111ln 3-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，故C 正确．将③代入②得，()()11113311ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n -+++=+++=++⋅++，∴()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数的增长速度知，从某个()*n n N∈起，()1113ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】判定数列单调性的方法：（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.9．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d > B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC 【分析】根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确. 【详解】由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=，830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确；由8170a a d =+=，得17a d =-，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列，()()0,70,9n n a n N n a n N n **⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误.故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a = B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <【答案】ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182nT ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=， 所以2n ≥时，2422n n n a -=⋅=， 令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+， 2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.。

高二数学暑假作业16附答案

高二数学暑假作业16附答案

高二数学暑假作业十六一、单选题1. 已知集合}9|{},032|{22<=<--=x x B x x x A ，则A.A BB.B AC.A =BD.A ∩B =Φ2. 集合M={ x ∈N*| x (x －3)< 0}的子集个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43. 0000cos43cos77sin43cos167+的值是（ ）。

A. 32-B. 12C. 32D. 12-4. 为了得到函数y=3sin 错误！未找到引用源。

的图象,只要把函数y=3sin 错误！未找到引用源。

的图象上所有的点( )A.向右平行移动错误！未找到引用源。

个单位长度B.向左平行移动错误！未找到引用源。

个单位长度C.向右平行移动错误！未找到引用源。

个单位长度D.向左平行移动错误！未找到引用源。

个单位长度5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S = ( )A. 12n - B. 21n- C. 13n - D.()1312n- 6. 设a ＞b ＞0，x=a －b a +，y=b a －a -，则x 、y 的大小关系为（ ）A. x ＞yB. x ＜yC. x ＝yD. x 、y 大小关系不定 7. 如图Rt O A B '''∆是一平面图形的直观图，直角边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A ．22B ．1C ．2D ．428. 已知012:,022:21=-+=-+y mx l my x l ，且21l l ⊥，则m 的值为（ ） A 、2 B 、1 C 、0 D 、不存在9. 设,m n 是两条不同的直线， αβγ、、是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若,//m n αα⊥，则m n ⊥ ②若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥ ③若//,//m n αα，则//m n ④若,αγβγ⊥⊥，则//αβ其中正确命题的序号是（ ）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④ 10. 两圆与总有公共点，则圆半径的取值范围是 A 、[]2,7B 、[]3,7C 、[]2,10D 、[]3,10二、填空题11. 数列{}n a 满足1(1)(1)n n n a a a +--=，82a =，则2017S = ． 12. 已知函数()f x 的定义域为[]1,3，则函数()21f x +的定义域为_________13. 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与单位圆交于点A,点A 的纵坐标为4,cos 5α则=_____｡ 14. 过)0,3(P 做圆1)1()1(22=+++y x 的切线，切点为点,A 则=PA .三、解答题15. 已知在ABC ∆中，角A,B,C,的对边分别为,,a b c ，且222,1b a c ac b =+-=（1）若3tan tan (1tan tan ),3A C A C c -=+求边的值； （2）若2a c =，求ABC ∆的面积.16. 如图，在五棱锥P ABCDE -中，PA ⊥平面ABCDE ,AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ，45ABC ︒∠=, 22AB =，24BC AE ==，PAB ∆是等腰三角形．（1）求证：平面PCD ⊥平面PAC ； （2）求侧棱PB 上是否存在点Q ，使得CQ 与平面PCD 所成角大小为30︒，若存在，求出Q 点位置，若不存在，说明理由.高二数学暑假作业十六答案AxOyα1. A 【解析】试题分析：，所以考点：解不等式及集合的子集关系 2. D 【解析】所以集合的子集个数为个，故选D 。

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江苏省启东中学高二数学暑假作业第16天数列的综合应用理（含解析）苏教版第16天 数列的综合应用1. 已知在等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，若前5项的和S 5＝5，则其公差为________．2. 若等比数列的各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比q 为________．3. 设y ＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝__________．4. 设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且2S n ＝a n ＋1，则S n ＝________．5. 已知数列{a n }是等差数列，且a 7a 6＜－1，它的前n 项和S n 有最小值，则当S n 取到最小正数时n 的值为________．6. 如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线y ＝33(x ＋1)上从左向右依次取点A k ，B k ，k ＝1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________．7. 已知函数f(x)＝x 3＋x ，等差数列{a n }满足f(a 2－1)＝2，f(a 2 018－3)＝－2，S n 是其前n 项和，则S 2 019＝________．8. 已知等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，54，2a 7成等差数列，则a 1·a 2·…·a n 的最大值为________．9. 如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n 行(n≥2)第2个数是________．10. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n ＋1＝2n 2＋n ，，若对任意n∈N *，a n <a n ＋1恒成立，则首项a 1的取值范围是________．11. 在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，公比q≠1，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 2，b 13＝a 3.(1) 求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2) 记c n＝(－1)n b n＋a n，求数列{c n}的前n项和S n.12. 已知正项数列{a n}，{b n}满足：a1＝3，a2＝6，{b n}是等差数列，且对任意正整数n，都有b n，a n，b n＋1成等比数列．(1) 求数列{b n}的通项公式；(2) 设S n＝1a1＋1a2＋…＋1a n，试比较2S n与2－b2n＋1a n＋1的大小．13. 设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，且(S n＋1＋λ)a n＝(S n＋1)a n ＋1对任意n∈N*都成立．(1) 若λ＝1，求数列{a n}的通项公式；(2) 若数列{a n}是等差数列，求λ的值．14. 设三个各项均为正整数的无穷数列{a n}，{b n}，{c n}．记数列{b n}，{c n}的前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，都有a n＝b n＋c n，且S n＞T n，则称数列{a n}为可拆分数列．(1) 若a n＝4n，且数列{b n}，{c n}均是公比不为1的等比数列，求证：数列{a n}为可拆分数列；(2) 若a n＝5n，且数列{b n}，{c n}均是公差不为0的等差数列，求所有使得数列{a n}为可拆分数列的数列{b n}，{c n}的通项公式．第16天 数列的综合应用1. 2 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 6＝2a 1＋8d ＝10，S 5＝5a 1＋10d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.2. 5－12解析：设a n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝qa n ＋q 2a n ，则q 2＋q －1＝0.因为q>0，所以q ＝5－12. 3. n(2n ＋3) 解析：设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，由f(0)＝1，得b ＝1.又f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，即(4a ＋1)2＝(a ＋1)(13a ＋1)，解得a ＝2，则f(x)＝2x ＋1，所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝2(2＋4＋6＋…＋2n)＋n ＝n(2n ＋3)．4. n 2解析：由题意得2a 1＝a 1＋1，所以a 1＝1，且4S n ＝(a n ＋1)2.当n≥2时，4S n－4S n －1＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2，即4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，则(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.又a n ＞0，所以a n －a n －1＝2(n≥2)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，则S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2.5. 12 解析：由a 7a 6＜－1可得a 6(a 7＋a 6)＜0.又前n 项和S n 有最小值，所以公差d ＞0，则a 6＜0，a 7＞0，a 7＋a 6＞0，所以S 11＝11a 6＜0，S 12＝6(a 7＋a 6)＞0，即当S n 取到最小正数时n 的值为12.6. 512 解析：设△A n B n A n ＋1(n∈N *)的边长为a n ，则a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，即数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，则△A 10B 10A 11的边长a 10＝29＝512.7. 4 038 解析：由题意得函数f(x)＝x 3＋x 是奇函数且是增函数，所以a 2－1＝－(a 2018－3)，即a 2＋a 2 018＝4.又{a n }是等差数列，所以S 2 019＝2 019（a 2＋a 2 018）2＝4 038.8. 1 024 解析：设{a n }的公比为q.因为a 2a 5＝a 3a 4＝2a 3，所以a 4＝2.又a 4， 54，2a 7成等差数列，则2＋4q 3＝52，解得q ＝12，则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5，则数列{a n }单调递减，前4项大于1，第5项等于1，从第6项开始小于1，则(a 1a 2…a n )max ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝24×23×22×2×1＝1 024.9. n 2－n ＋22 解析：设第n 行的第2个数为a n (n≥2)，不难得出a 2＝2，且当n≥3时，a n ＝a n －1＋(n －1)，所以a n －a n －1＝n －1，累加得，a n －a 2＝(n －1)＋(n －2)＋…＋2，所以a n ＝n 2－n ＋22.又当n ＝2时，a 2＝2，满足上式，所以a n ＝n 2－n ＋22.10. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34 解析：因为S n ＋S n ＋1＝2n 2＋n ，所以S n －1＋S n ＝2(n －1)2＋n －1(n≥2)，两式作差得a n ＋a n ＋1＝4n －1，n≥2，所以a n －1＋a n ＝4n －5，n≥3，两式再作差得a n ＋1－a n －1＝4，n≥3，可得数列{a n }的偶数项是以4为公差的等差数列，从a 3起奇数项也是以4为公差的等差数列. 若∀n ∈N *，a n <a n ＋1恒成立，当且仅当a 1<a 2<a 3<a 4满足题意．又a 1＋S 2＝3，所以a 2＝3－2a 1，所以a 3＝7－a 2＝4＋2a 1，a 4＝11－a 3＝7－2a 1，所以a 1<3－2a 1<4＋2a 1<7－2a 1，解得－14<a 1<34，即首项a 1的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34. 11. 解析：(1) 设等差数列{b n }的公差为d.由已知得a 2＝3q ，a 3＝3q 2，b 1＝3，b 4＝3＋3d ，b 13＝3＋12d ，故⎩⎪⎨⎪⎧3q ＝3＋3d ，3q 2＝3＋12d ，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＝1＋d ，q 2＝1＋4d ， 解得q ＝3(q ＝1舍去)，所以d ＝2，所以a n ＝3n，b n ＝2n ＋1.(2) 由题意得c n ＝(－1)nb n ＋a n ＝(－1)n(2n ＋1)＋3n， S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n －1(2n －1)＋(－1)n(2n ＋1)]＋3＋32＋ (3).当n 为偶数时，S n ＝n ＋3n ＋12－32＝3n ＋12＋n －32； 当n 为奇数时，S n ＝(n －1)－(2n ＋1)＋3n ＋12－32＝3n ＋12－n －72， 所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋12＋n －32，n ＝2k ，3n ＋12－n －72，n ＝2k －1(k∈N *)．12. 解析：(1) 因为对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且数列{a n }，{b n }均为正项数列，所以a n ＝b n b n ＋1(n∈N *)．由a 1＝3，a 2＝6得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6.又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2， 解得b 1＝2，b 2＝322，所以数列{b n }是首项为2，公差为22的等差数列， 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2（n ＋1）2(n ∈N *)． (2) 由(1)得，对任意n ∈N *，a n ＝b n b n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2，从而有1a n＝2（n ＋1）（n ＋2）＝2(1n ＋1－1n ＋2)，所以S n ＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2]＝1－2n ＋2，所以2S n ＝2－4n ＋2.又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3，所以2S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8（n ＋2）（n ＋3）， 所以当n ＝1或n ＝2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1.13. 解析：(1) 若λ＝1，则(S n ＋1＋1)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，a 1＝S 1＝1. 又因为a n >0，S n >0，所以S n ＋1＋1S n ＋1＝a n ＋1a n，所以S 2＋1S 1＋1·S 3＋1S 2＋1·…·S n ＋1＋1S n ＋1＝a 2a 1·a 3a 2·…·a n ＋1a n ，化简，得S n ＋1＋1＝2a n ＋1.① 所以当n≥2时，S n ＋1＝2a n .②②－①，得a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n＝2(n≥2)．因为当n ＝1时，求得a 2＝2，所以当n ＝1时，上式也成立， 所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 则a n ＝2n －1(n∈N *)．(2) 令n ＝1，得a 2＝λ＋1.令n ＝2，得a 3＝(λ＋1)2. 要使数列{a n }是等差数列，必须有2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝0. 当λ＝0时，S n ＋1a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，且a 2＝a 1＝1.当n ≥2时，S n ＋1(S n －S n －1)＝(S n ＋1)(S n ＋1－S n )，整理，得S 2n ＋S n ＝S n ＋1S n －1＋S n ＋1，S n ＋1S n －1＋1＝S n ＋1S n， 从而S 2＋1S 1＋1·S 3＋1S 2＋1·…·S n ＋1S n －1＋1＝S 3S 2·S 4S 3·…·S n ＋1S n， 化简，得S n ＋1＝S n ＋1，所以a n ＋1＝1.综上所述，a n ＝1(n ∈N *)，所以当数列{a n }是等差数列时，λ＝0. 14. 解析：(1) 由a n ＝4n＝4·4n －1＝3·4n －1＋4n －1，令b n ＝3·4n －1，c n ＝4n －1，则S n ＝4n－1，T n ＝4n－13，所以对任意的n∈N *，都有 a n ＝b n ＋c n ，且S n ＞T n ，所以数列{a n }为可拆分数列．(2) 设数列{b n }，{c n }的公差分别为d 1，d 2.由a n ＝5n 得b 1＋(n －1)d 1＋c 1＋(n －1)d 2＝(d 1＋d 2)n ＋b 1＋c 1－d 1－d 2＝5n 对任意的n ∈N *都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋d 2＝5，b 1＋c 1－d 1－d 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋d 2＝5，b 1＋c 1＝5.① 由S n ＞T n ，得nb 1＋n （n －1）2d 1＞nc 1＋n （n －1）2d 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫d 12－d 22n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－c 1－d 12＋d 22n ＞0.由n ＞0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫d 12－d 22n ＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－c 1－d 12＋d 22＞0，即d 1≥d 2且b 1＞c 1.②由数列{b n }，{c n }的各项均为正整数，得b 1，c 1，d 1，d 2均为正整数． 当d 1＝d 2时，由d 1＋d 2＝5，得d 1＝d 2＝52∉N *，不符合题意，所以d 1＞d 2.③由①②③，得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＝4，d 2＝1，b 1＝4，c 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧d 1＝4，d 2＝1，b 1＝3，c 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d 1＝3，d 2＝2，b 1＝4，c 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧d 1＝3，d 2＝2，b 1＝3，c 1＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧b n ＝4n ，c n ＝n 或⎩⎪⎨⎪⎧b n ＝4n －1，c n ＝n ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧b n ＝3n ＋1，c n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧b n ＝3n ，c n ＝2n .。

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