江苏省启东中学高二数学暑假作业第16天数列的综合应用理(含解析)苏教版

江苏省启东中学高二数学暑假作业第16天数列的综合应用理

（含解析）苏教版

第16天 数列的综合应用

1. 已知在等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，若前5项的和S 5＝5，则其公差为________．

2. 若等比数列的各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比q 为________．

3. 设y ＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝__________．

4. 设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且2S n ＝a n ＋1，则S n ＝________．

5. 已知数列{a n }是等差数列，且a 7

a 6

＜－1，它的前n 项和S n 有最小值，则当S n 取到最

小正数时n 的值为________．

6. 如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线y ＝

3

3

(x ＋1)上从左向右依次取点A k ，B k ，k ＝1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________．

7. 已知函数f(x)＝x 3

＋x ，等差数列{a n }满足f(a 2－1)＝2，f(a 2 018－3)＝－2，S n 是其前n 项和，则S 2 019＝________．

8. 已知等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，5

4，2a 7成等差数列，则a 1·a 2·…·a n 的

最大值为________．

9. 如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n 行(n≥2)第2个数是________．

10. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n ＋1＝2n 2

＋n ，，若对任意n∈N *

，a n <

a n ＋1恒成立，则首项a 1的取值范围是________．

11. 在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，公比q≠1，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 2，b 13

＝a 3.

(1) 求数列{a n}与{b n}的通项公式；

(2) 记c n＝(－1)n b n＋a n，求数列{c n}的前n项和S n.

12. 已知正项数列{a n}，{b n}满足：a1＝3，a2＝6，{b n}是等差数列，且对任意正整数n，都有b n，a n，b n＋1成等比数列．

(1) 求数列{b n}的通项公式；

(2) 设S n＝1

a1

＋

1

a2

＋…＋

1

a n

，试比较2S n与2－

b2n＋1

a n＋1

的大小．

13. 设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，且(S n＋1＋λ)a n＝(S n＋1)a n ＋1对任意n∈N

*都成立．

(1) 若λ＝1，求数列{a n}的通项公式；

(2) 若数列{a n}是等差数列，求λ的值．

14. 设三个各项均为正整数的无穷数列{a n}，{b n}，{c n}．记数列{b n}，{c n}的前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，都有a n＝b n＋c n，且S n＞T n，则称数列{a n}为可拆分数列．

(1) 若a n＝4n，且数列{b n}，{c n}均是公比不为1的等比数列，求证：数列{a n}为可拆分数列；

(2) 若a n＝5n，且数列{b n}，{c n}均是公差不为0的等差数列，求所有使得数列{a n}为可拆分数列的数列{b n}，{c n}的通项公式．

第16天 数列的综合应用

1. 2 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 6＝2a 1＋8d ＝10，S 5＝5a 1＋10d ＝5，解得⎩

⎪⎨⎪

⎧a 1＝－3，d ＝2.

2. 5－12

解析：设a n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝qa n ＋q 2a n ，则q 2

＋q －1＝0.因为q>0，所以q ＝5－1

2

. 3. n(2n ＋3) 解析：设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，由f(0)＝1，得b ＝1.又f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，即(4a ＋1)2

＝(a ＋1)(13a ＋1)，解得a ＝2，则f(x)＝2x ＋1，所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝2(2＋4＋6＋…＋2n)＋n ＝n(2n ＋3)．

4. n 2

解析：由题意得2a 1＝a 1＋1，所以a 1＝1，且4S n ＝(a n ＋1)2

.当n≥2时，4S n

－4S n －1＝(a n ＋1)2

－(a n －1＋1)2

，即4a n ＝a 2

n －a 2

n －1＋2a n －2a n －1，则(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.又a n ＞0，所以a n －a n －1＝2(n≥2)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，则S n ＝n ＋n （n －1）2

×2＝n 2

.

5. 12 解析：由a 7

a 6

＜－1可得a 6(a 7＋a 6)＜0.又前n 项和S n 有最小值，所以公差d ＞0，

则a 6＜0，a 7＞0，a 7＋a 6＞0，所以S 11＝11a 6＜0，S 12＝6(a 7＋a 6)＞0，即当S n 取到最小正数时n 的值为12.

6. 512 解析：设△A n B n A n ＋1(n∈N *

)的边长为a n ，则a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，即数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，则△A 10B 10A 11的边长a 10＝29

＝512.

7. 4 038 解析：由题意得函数f(x)＝x 3

＋x 是奇函数且是增函数，所以a 2－1＝－(a 2

018

－3)，即a 2＋a 2 018＝4.又{a n }是等差数列，所以S 2 019＝2 019（a 2＋a 2 018）2＝4 038.

8. 1 024 解析：设{a n }的公比为q.因为a 2a 5＝a 3a 4＝2a 3，所以a 4＝2.又a 4， 5

4

，2a 7

成等差数列，则2＋4q 3

＝52，解得q ＝12，则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5，则数列{a n }单调递减，前4项大于1，

第5项等于1，从第6项开始小于1，则(a 1a 2…a n )max ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝24

×23

×22

×2×1＝1 024.

9. n 2

－n ＋2

2 解析：设第n 行的第2个数为a n (n≥2)，不难得出a 2＝2，且当n≥3时，

a n ＝a n －1＋(n －1)，所以a n －a n －1＝n －1，累加得，a n －a 2＝(n －1)＋(n －2)＋…＋2，所以a n ＝n 2

－n ＋22.又当n ＝2时，a 2＝2，满足上式，所以a n ＝n 2

－n ＋22

.

10. ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－14，34 解析：因为S n ＋S n ＋1＝2n 2＋n ，所以S n －1＋S n ＝2(n －1)2

＋n －1(n≥2)，