导数的应用.ppt
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导数在经济学中的应用教学课件ppt
导数在生产函数研究中的应用
生产函数
描述生产过程中投入要素与产 出之间的关系。
弹性分析
研究产出对于各投入要素的弹 性变化。
总结词
生产函数、边际分析、弹性分 析、最优生产要素组合
边际分析
分析投入要素的边际产量与最 优要素组合。
最优生产要素组合
确定使生产成本最低或利润最 大的要素组合。
导数在时间序列分析中的应用
导数在经济学中的意义
导数可以描述函数的变化率和极限状态，可以帮助经济 学研究者更好地了解经济变量的变化规律和趋势，为政 策制定提供重要的参考依据。
导数在经济学中的未来研究方向
研究主题1
如何将导数与其他经济学理论相结合，进一步完善经济学理论框 架，更好地解释现实经济现象。
研究主题2
如何运用导数研究具有复杂特征的经济问题，例如金融市场波动 、能源供需变化等。
导数在弹性分析中的应用
01
02
03
弹性分析是经济学中用于研究函数因 变量对自变量敏感度的概念。
导数可以用于计算弹性和弹性系数， 研究经济变量的变化对经济整体的影 响。
例如，在国际贸易中，出口商品的弹 性系数可以帮助国家制定贸易政策。
导数在优化问题中的应用
优化问题是经济学中需要找到函数极值点的问 题。
导数在政策分析中的应用
01
政策分析是经济学中用于评估 政策效果和制定政策建议的工 具。
02
导数可以用于建立政策分析模 型，分析政策变动对经济的影 响。
03
例如，可以利用导数分析税收 政策变动对经济增长的影响。
03
导数的数学基础
导数的定义与运算规则
导数的定义
导数是由函数在某一点的斜率来定义的。对于给定的 函数f(x)，f'(x)表示函数在x点的斜率。
导数在实际生活中的应用-PPT精品
答 ： 当 x=40cm 时 ， 箱 子 容 积 最 大 ， 最 大 容 积 是 16 000cm3
例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定 时，它的高与底与半径应怎样选取， 才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则 表面积
S=2π Rh+2π R2
S ( 由R ) V= π2 R2R h ，V R 得2 h2 R V2 R 2 2 R ，V 则 2 R 2
令 S'(R)2V4R0 解得，R 3 V
R2
2
，从而
hVR2
V
(3 2V)2
3
4V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
23
V
即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
例3 在如图所示的电路中，已 知电源的内阻为r，电动势为ε， 外电阻R为多大时，才能使电功 率最大？最大电功率是多少？
x
60
x
x x
60
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 h 6 0 x cm，
2 V(x)x2h60x2x3 (0x60)
2
得箱子容积 V(x) 60x3x2 2
令 V(x)60x3x2 0 ，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得 V(40)=16000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时 ，箱子容积很小，因此，16000是最大值。
3.4 导数在 实际生活中的应用
江苏如东马塘中学 张伟锋
新课引入:
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题.
1.几何方面的应用(面积和体积等的最值)
例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定 时，它的高与底与半径应怎样选取， 才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则 表面积
S=2π Rh+2π R2
S ( 由R ) V= π2 R2R h ，V R 得2 h2 R V2 R 2 2 R ，V 则 2 R 2
令 S'(R)2V4R0 解得，R 3 V
R2
2
，从而
hVR2
V
(3 2V)2
3
4V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
23
V
即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
例3 在如图所示的电路中，已 知电源的内阻为r，电动势为ε， 外电阻R为多大时，才能使电功 率最大？最大电功率是多少？
x
60
x
x x
60
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 h 6 0 x cm，
2 V(x)x2h60x2x3 (0x60)
2
得箱子容积 V(x) 60x3x2 2
令 V(x)60x3x2 0 ，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得 V(40)=16000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时 ，箱子容积很小，因此，16000是最大值。
3.4 导数在 实际生活中的应用
江苏如东马塘中学 张伟锋
新课引入:
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题.
1.几何方面的应用(面积和体积等的最值)
利用导数解决实际问题优秀课件
因此可知R在(0, 2C]上递增，在[2C, 3C)上递减.
故R在M = 2C时取得极大值，而且此时取得最大值.
例 4.已知某种工艺品总成本C元是产量Q件的函数，且
= 102 + 200 + 1000，1 ≤ ≤ 30.
将Q看成能取区间[1, 30]内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件
= 12(x − 0.6)(x − 0.2).
令V ′
> 0，可解得x < 0.2.
1.2 − 2
1.2 − 2
1.2 − 2
因此可知V在(0, 0.2]上递增，在[0.2, 0.6)上递减，
故V在x = 0.2时取得极大值，而且在此时取得最大值.
即截去的正方形边长为0.2m时，容器的容积最大.
因此，当 0 < x <
1.6时，y ′
= 50 ×
1
×
2Leabharlann (1.22+
1
x 2 )−2 ×
海
陆
2x − 30 =
令y ′ > 0，可解得x > 0.9.
可知y在[0，0.9] 上递减，在[0.9，1.6]上递增，从而y在x = 0.9时
取得最小值，而且最小值为
50 1.22 + 0.92 + 30(1.6 −0.9 ) = 96.
设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？
海
陆
思考：分别计算下列两种算法的铺设成本.
(1)先沿AC铺设，再沿CB铺设；
(2)直接沿着线段AB铺设.
解：(1) 成本为1.2 × 50 + 1.6 × 30 = 108万元.
故R在M = 2C时取得极大值，而且此时取得最大值.
例 4.已知某种工艺品总成本C元是产量Q件的函数，且
= 102 + 200 + 1000，1 ≤ ≤ 30.
将Q看成能取区间[1, 30]内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件
= 12(x − 0.6)(x − 0.2).
令V ′
> 0，可解得x < 0.2.
1.2 − 2
1.2 − 2
1.2 − 2
因此可知V在(0, 0.2]上递增，在[0.2, 0.6)上递减，
故V在x = 0.2时取得极大值，而且在此时取得最大值.
即截去的正方形边长为0.2m时，容器的容积最大.
因此，当 0 < x <
1.6时，y ′
= 50 ×
1
×
2Leabharlann (1.22+
1
x 2 )−2 ×
海
陆
2x − 30 =
令y ′ > 0，可解得x > 0.9.
可知y在[0，0.9] 上递减，在[0.9，1.6]上递增，从而y在x = 0.9时
取得最小值，而且最小值为
50 1.22 + 0.92 + 30(1.6 −0.9 ) = 96.
设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？
海
陆
思考：分别计算下列两种算法的铺设成本.
(1)先沿AC铺设，再沿CB铺设；
(2)直接沿着线段AB铺设.
解：(1) 成本为1.2 × 50 + 1.6 × 30 = 108万元.
《高数导数公式》课件
振动与波动
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
《导数定义》课件
2023
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
导数在经济学中的简单应用教学课件ppt
04 详细描述
导数可以用于计算经济函数的极值 、最优化问题、弹性、曲线的单调 性和拐点等问题，这些应用有助于 我们更好地分析和解释经济现象。
导数的局限性
总结词
导数使用范围的局限性
详细描述
虽然导数在经济学中有很多 应用，但它也有其局限性。 例如，导数要求函数可导， 而一些非线性函数可能不可 导或难以求导
边际成本
导数可以用来分析产品的边际收益，帮助企 业制定最优定价策略。
导数可以用来分析生产过程中的边际成本， 帮助企业优化生产计划。
导数在经济模型中的应用
消费模型
导数可以用来分析消费模型，例如 线性消费函数、指数消费函数等， 预测消费者的消费行为。
投资模型
导数可以用来分析投资模型，例如 现值投资函数、未来价值投资函数 等，预测投资者的投资行为。
生产者行为决策
生产者在进行生产决策时，需要考虑市场供求关系、自身生产能力、要素价格变动等多种 因素的影响，利用导数可以对这些因素进行分析和优化。
05
导数的经济学意义与局限性
导数的经济学意义
01 总结词
了解导数在经济学中的重要性
02 详细描述
03 总结词
掌握导数的经济学应用
导数在经济学中具有广泛的应用， 它可以帮助我们更好地理解经济变 量的变化率和边际效应等经济学概 念
消费者最优选择
在一定预算约束下，消费者如何选择商品以获得最大化的效 用满足程度，可以通过构造效用函数，利用导数求极值的方 法来求解。
生产者行为分析
边际产量递减规律
在生产过程中，可变要素的投入量增加时，边际产量会逐渐减小，可以用导数来描述边际 产量的变化率。
生产者最优选择
在一定的成本约束下，生产者如何选择要素组合以获得最大化的利润，可以通过构造成本 函数和收益函数，利用导数求极值的方法来求解。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
导数在实际生活中的应用PPT教学课件
为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高
与底面半径比为多少？
解:设桶底面半径为R,
则 桶 高 为h
V
R2
桶的用料为
S(R)
2
R2
2
R
V
R2
2 R2 2V ,
R
S'(R)
4
R
2V R2
,
令S'(R)
4
R
2V R2
0,
解得R
V
2
h R
此时，h
V
R2
V
3
V
2
2
4V 2 V
2
即h 2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q. 求产量q为何值 8
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
3、辨别真伪
我是历史 小专家
（1）汉武帝时大力推行儒学教育，在长安兴
办太学。（
）
X （2）董仲舒建议汉高祖，允许诸侯王把自己 的封地分给子弟，建立较小的侯国。（ ）
（3）汉文帝时，西汉在政治、经济、军事和
X 思想上实现了大一统，进入鼎盛时期（ ）
通过本课的学习你知道 了哪些历史人物?你最欣赏或 最钦佩谁?说说你喜欢或钦佩 他的理由。
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
高等数学与工程数学课件第四章导数应用.ppt
思考题 1.极值点与驻点的关系是什么? 2.说明极值与最值的区别. 3.极值存在的必要条件是什么?
答案 答案 答案
课堂练习题 1.求y = x2 2x 3的极值.
2.求出y x4 2x2 1的全部驻点.
答案 答案
第三节 函数的最大值和最小值
在工农业生产和科学实验中，常要遇到在一定条件下，怎 样用料最省、效率最高或性能最好等问题，这些问题归纳到 数学上，即为函数最大值或最小值问题.
在x 0处无极值以上三题中都有y'x0 0, y''x0 0,所以说情形(3)失 效,失效时必须用定理2来判定驻点是否为极值点.
例2 求函数f (x)(x2 1)3 1的极值.
解 因为f '(x) 6x(x2 1)2,令f '(x) 0,得驻点x 1,x 0,x 1
所以f ''(x) 6(x2 1)2 6x2(x2 1)2x 6(x2 1)(5x2 1). 又因为f ''(0)60,所以函数f (x)在x 0处取得极小值为f (0)0.
0
0
可导, 如果
(1)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极大值f (x0);
(2)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极小值f (x0);
(3)当x从x0时的左侧变化到右侧时, f '(x)不变号,则f (x) 在x0处无极值.
定理 设函数y f (x)在(a,b)内可导,若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在 (a,b)上为增函数;若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在(a,b)上为减函数.( 一阶导数符号和函数单调性是否为充要条件?)
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
二次函数在导数中的应用ppt课件
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
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小结
• 三次求导之后是二次，从而把研究三次函 数的问题转化为研究二次函数的问题，注 意三个二次之间的关系。
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小结
• 分式型导数问题其实可以保持分母为正， 然后只研究分子。
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课后总结 在利用导数研究函数问题时，其实就是 将我们不熟悉的函数问题转化或化归为 二次函数，一次函数及其他我们熟悉的 数学问题.
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导数在实际生活中的应用教学课件
数值模拟与仿真
数值模拟
导数可以用于数值模拟中的偏微分方程求解，例如在物理学、化学和生物学 等领域中，利用导数求解偏微分方程可以模拟自然现象的规律。
计算机仿真
导数可以用于计算机仿真中的参数优化和模型验证，例如在金融、交通和生 态等领域中，利用导数进行参数优化和模型验证可以提高仿真结果的准确性 和可靠性。
2023
《导数在实际生活中的应 用教学课件》
目录
• 导数概述 • 导数在物理中的应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程中的应用 • 导数的进一步应用
01
导数概述
导数的定义
1 2
定义
导数是函数值随自变量变化的速度，即函数在 某一点的导数表示函数在这一点变化率的大小 。
数学表达
如果函数y = f(x)在x = x0处可导，则称f'(x0)为 函数f(x)在x0处的导数。
稳定性
在船舶设计中，导数可以帮助分析船体的稳定性。例如，通过分析船体的重心以 及浮力的变化，利用导数可以确定最优的船体设计以实现稳定的航行。
05
导数的进一步应用
最优控制与决策
最优控制
导数可以用于求解最优控制问题，例如在工程、经济和金融 等领域中的最优控制策略，以实现系统性能的最优。
决策分析
导数可以用于决策分析中的最优选择问题，例如在风险评估 和预测分析中，利用导数求解最优投资组合或最优路径选择 等。
边际成本与边际收益
边际成本
导数可以用来描述成本的变化率，即边际成本。在经济学中 ，边际成本是指增加一单位产量所增加的成本。通过导数， 我们可以分析不同生产规模下的边际成本，从而优化生产决 策。
边际收益
与边际成本相对应，导数也可以用来描述收益的变化率，即 边际收益。在经济学中，边际收益是指增加一单位产量所增 加的收益。通过导数，我们可以分析不同生产规模下的边际 收益，从而优化销售决策。
《导数的应用举例》课件
导数的未来发展前景
导数在数学、物理、工程等领域的应用将更加广泛 导数在机器学习、人工智能等领域的应用将逐渐增多 导数在金融、经济等领域的应用将逐渐深入 导数在教育、科普等领域的应用将逐渐普及
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汇报人：
导数与极值
导数在几何中的应用：求曲线的斜 率、切线、拐点等
极值的判断：利用导数判断函数在 某点处的极值
添加标题
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极值的定义：函数在某点处的导数 为0，且该点两侧的导数符号相反
极值的应用：求函数的最大值和最 小值，解决实际问题
导数在物理中的 应用
导数与速度、加速度
导数与速度：导 数是描述函数在 某一点处变化率 的概念，可以用 于描述物体在某 一点的速度。
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的局部线性近 似
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的局部线性逼 近
导数与函数关系
导数描述了函数在某一点的 变化率
导数是函数的局部线性逼近
导数与最优化问题
导数在经济学中的应用：求解最优化问题 导数在经济学中的应用：求解边际效益 导数在经济学中的应用：求解边际成本 导数在经济学中的应用：求解边际利润
导数在其他领域 的应用举例
导数与计算机科学中的算法优化
导数在计算机科学中的作用：优化算法，提高计算效率 导数在算法优化中的应用：梯度下降法、牛顿法等 导数在机器学习中的应用：神经网络、深度学习等 导数在图像处理中的应用：图像平滑、边缘检测等
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和 和((22， ，＋ ＋∞∞))； ；当 当 mm<<00 时 时， ，函 函数 数 ff((xx))的 的单 单调 调增 增区 区间 间是 是((00,,22))..
题 型 一 利用导数研究函数的单调性
探究提高 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般
步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f ′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式
① ② ③ ①②③①②③① ② ③①②③fffffffff若 若 若 若若若若若若fff若 若 若(((((((((fff若若若(((xxxxxxxxx(((xxx－ － － －－－－－－xxx)))))))))－ － －)))－－－在 的 的 在的的在的的)))在 的 的在的的333333333333333递 递 递递((递递(＋ ＋ ＋ ＋＋＋＋＋＋递 递(＋ ＋ ＋－ －－递递(＋＋＋333333333－333－333减 减 减减减减222222222减 减222∞ ∞∞减减222cccccc∞cccccc∞ccc＝ <>＝<>＝<>区 区 区区区区＝ <>区 区， ，，＝<>区区1111，1111，11111间 间 间间间间， ， ，，，，1间 间， ，＋ ＋＋1间间，，， ，，＋，＋，为 为 为为为为即 即 即即即即为 为即 即∞ ∞∞为为即即即 即即∞即∞即cccccc)))－ 1－1－1cc)－ 1上 上上cccc><><c><)－1上， ，c，><上，c＝ ＝><＝－ － －－－－，＝333－ －＝3递 递递－－3递＋ － ＋－＋－递－ ＋－ －－333333＋－－33333－3增 增增333增332232时 时 时时时时增32333时 时323＋ ＋cc＋c时时3＋c， ，不 不，不＋c，， ，不，333， ， ，，，，，，不3， ，，3222，，2f合 f合f合2f合111ccc′ ′′f合1c′1c′题 题题； .；.；.题((； .(题(；.xxx(x意 意意x)))意)意＝ ＝＝)＝＝， ，，，，33333(((ccc(cxxx(c＝ ＝＝x＝x－ －－＝－－－ －－－111－11)))333)2232)23≥ ≥≥2≥应 应应≥应应000舍 舍0舍舍0...舍..去 去去去去.....
导数的应用一 单调性
要点梳理
忆一忆知识要点
1．函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内可导，若 f′(x)>0，则 f(x) 为__增__函__数____；若 f′(x)<0，则 f(x)为__减__函__数____．
(2)若函数 y f (x) 在 (a,b)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ单调增，则 f / (x) 0 ；
f′(x)>0和f ′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
变式训练 1
1.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值－2. (1)试用c表示a，b； (2)求f(x)的单调递减区间.
解解解解解：解：：(：((：2(由解22((由解由解：2)((由解21))((由解f11)(ff21)已得′)由解f1′已得已得′))(ff)已得′)ff1已得′)′ff′′f知(′已得′)知知((a′xf知(aaxx知((a′＝x)((a＝＝＝xx条))知((＝＝＝＝xx条条)(a＝＝＝＝xx条))＝＝x条))(c＝＝＝))3cc件＝＝＝x条)3c，33件件＝＝333c，，件＝)3，3件x33，cxxx＝333件xxx2b33，xxx22＋ffbb3＋xxx2＋＋bffff＝＋＋x′(x22＋ffb3＝＝＋x′(′(x22＋ff1＝＋＋′(22b11＝＋＋3′(x2＋2ff1＋＋)33－221(＝＋))3′(＋2＝－－2((c)31＋＋－＝＝221(＋cc)11＋＝－322(cx31＋＝2233)ca)xx31－32))(aax2＝－33－＋＝3)acx223＝－＝－x－－1－2)a2＝－3xx－c－－3x2＝－x－cc－＋)a3xc－＋＋0232＝－－c＋0202332x－(＋02322－c((023x2b－－c(＋xx2b－bcc(023xb－－c，.，x2b－－c，.，.(，，2－－，.，22xb－，.c，2c21cc即－，.，11c＝即即21c即＝＝)1＝即))c＝)1即)(＝31(()33131(3331(＋＋3x31＋＋＋＋3xx(＋＋x31＋＋＋3x＋＋2a＋＋＋x2a2a＋2a＋a32a＋＋＋aa33＋a＋32a＋＋a＋＋3＋＋＋b＋＋a＋3bb＋b＋b＋2b＋＋＋bb22＋b＝2bc＋b＝＝2cc＝cc)＋b＝2ccc))(c＝)0＝((＝c＝c0)0x(＝0xx(c＝)0x－x－－－(＝0－－－x－－－1－211－122)21))2)1)2)
若函数 y f (x) 在 (a, b)上单调减，则 f / (x) 0 .
2.导数研究函数单调性解决的两类问题： (1)研究函数单调区间； (2)已知函数单调性，求参数取值范围.
题 型 一 利用导数研究函数的单调性
【例 1】已知函数 f(x)＝mx3＋nx2 (m，n∈R，m≠0)， 函数 y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与 x 轴平 行.
区 区间 间是 是((－ －∞∞， ，00))和 和((22， ，＋ ＋∞∞))； ； 当 当 mm<<00 时 时， ，解 解得 得 00<<xx<<22， ，则 则函 函数 数 ff((xx))的 的单 单调 调增 增区 区间 间
是 是((00,,22)).. 综 综上 上,, 当 当 mm>>00 时 时,, 函 函数 数 ff((xx))的 的单 单调 调增 增区 区间 间是 是((－ －∞∞,, 00))
(1)用关于 m 的代数式表示 n； (2)求函数 f(x)的单调增区间.
解：(1)由已知条件得f ′(x)＝3mx2＋2nx，
又f ′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
题 型 一 利用导数研究函数的单调性
((22))∵ ∵nn＝ ＝－ －33mm， ，∴ ∴ff((xx))＝ ＝mmxx33－ －33mmxx22， ， ∴ ∴ff′′((xx))＝ ＝33mmxx22－ －66mmxx.. 令 令 ff′′((xx))>>00， ，即 即 33mmxx22－ －66mmxx>>00， ， 当 当 mm>>00 时 时， ，解 解得 得 xx<<00 或 或 xx>>22， ，则 则函 函数 数 ff((xx))的 的单 单调 调增 增
题 型 一 利用导数研究函数的单调性
探究提高 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般
步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f ′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式
① ② ③ ①②③①②③① ② ③①②③fffffffff若 若 若 若若若若若若fff若 若 若(((((((((fff若若若(((xxxxxxxxx(((xxx－ － － －－－－－－xxx)))))))))－ － －)))－－－在 的 的 在的的在的的)))在 的 的在的的333333333333333递 递 递递((递递(＋ ＋ ＋ ＋＋＋＋＋＋递 递(＋ ＋ ＋－ －－递递(＋＋＋333333333－333－333减 减 减减减减222222222减 减222∞ ∞∞减减222cccccc∞cccccc∞ccc＝ <>＝<>＝<>区 区 区区区区＝ <>区 区， ，，＝<>区区1111，1111，11111间 间 间间间间， ， ，，，，1间 间， ，＋ ＋＋1间间，，， ，，＋，＋，为 为 为为为为即 即 即即即即为 为即 即∞ ∞∞为为即即即 即即∞即∞即cccccc)))－ 1－1－1cc)－ 1上 上上cccc><><c><)－1上， ，c，><上，c＝ ＝><＝－ － －－－－，＝333－ －＝3递 递递－－3递＋ － ＋－＋－递－ ＋－ －－333333＋－－33333－3增 增增333增332232时 时 时时时时增32333时 时323＋ ＋cc＋c时时3＋c， ，不 不，不＋c，， ，不，333， ， ，，，，，，不3， ，，3222，，2f合 f合f合2f合111ccc′ ′′f合1c′1c′题 题题； .；.；.题((； .(题(；.xxx(x意 意意x)))意)意＝ ＝＝)＝＝， ，，，，33333(((ccc(cxxx(c＝ ＝＝x＝x－ －－＝－－－ －－－111－11)))333)2232)23≥ ≥≥2≥应 应应≥应应000舍 舍0舍舍0...舍..去 去去去去.....
导数的应用一 单调性
要点梳理
忆一忆知识要点
1．函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内可导，若 f′(x)>0，则 f(x) 为__增__函__数____；若 f′(x)<0，则 f(x)为__减__函__数____．
(2)若函数 y f (x) 在 (a,b)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ单调增，则 f / (x) 0 ；
f′(x)>0和f ′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
变式训练 1
1.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值－2. (1)试用c表示a，b； (2)求f(x)的单调递减区间.
解解解解解：解：：(：((：2(由解22((由解由解：2)((由解21))((由解f11)(ff21)已得′)由解f1′已得已得′))(ff)已得′)ff1已得′)′ff′′f知(′已得′)知知((a′xf知(aaxx知((a′＝x)((a＝＝＝xx条))知((＝＝＝＝xx条条)(a＝＝＝＝xx条))＝＝x条))(c＝＝＝))3cc件＝＝＝x条)3c，33件件＝＝333c，，件＝)3，3件x33，cxxx＝333件xxx2b33，xxx22＋ffbb3＋xxx2＋＋bffff＝＋＋x′(x22＋ffb3＝＝＋x′(′(x22＋ff1＝＋＋′(22b11＝＋＋3′(x2＋2ff1＋＋)33－221(＝＋))3′(＋2＝－－2((c)31＋＋－＝＝221(＋cc)11＋＝－322(cx31＋＝2233)ca)xx31－32))(aax2＝－33－＋＝3)acx223＝－＝－x－－1－2)a2＝－3xx－c－－3x2＝－x－cc－＋)a3xc－＋＋0232＝－－c＋0202332x－(＋02322－c((023x2b－－c(＋xx2b－bcc(023xb－－c，.，x2b－－c，.，.(，，2－－，.，22xb－，.c，2c21cc即－，.，11c＝即即21c即＝＝)1＝即))c＝)1即)(＝31(()33131(3331(＋＋3x31＋＋＋＋3xx(＋＋x31＋＋＋3x＋＋2a＋＋＋x2a2a＋2a＋a32a＋＋＋aa33＋a＋32a＋＋a＋＋3＋＋＋b＋＋a＋3bb＋b＋b＋2b＋＋＋bb22＋b＝2bc＋b＝＝2cc＝cc)＋b＝2ccc))(c＝)0＝((＝c＝c0)0x(＝0xx(c＝)0x－x－－－(＝0－－－x－－－1－211－122)21))2)1)2)
若函数 y f (x) 在 (a, b)上单调减，则 f / (x) 0 .
2.导数研究函数单调性解决的两类问题： (1)研究函数单调区间； (2)已知函数单调性，求参数取值范围.
题 型 一 利用导数研究函数的单调性
【例 1】已知函数 f(x)＝mx3＋nx2 (m，n∈R，m≠0)， 函数 y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与 x 轴平 行.
区 区间 间是 是((－ －∞∞， ，00))和 和((22， ，＋ ＋∞∞))； ； 当 当 mm<<00 时 时， ，解 解得 得 00<<xx<<22， ，则 则函 函数 数 ff((xx))的 的单 单调 调增 增区 区间 间
是 是((00,,22)).. 综 综上 上,, 当 当 mm>>00 时 时,, 函 函数 数 ff((xx))的 的单 单调 调增 增区 区间 间是 是((－ －∞∞,, 00))
(1)用关于 m 的代数式表示 n； (2)求函数 f(x)的单调增区间.
解：(1)由已知条件得f ′(x)＝3mx2＋2nx，
又f ′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
题 型 一 利用导数研究函数的单调性
((22))∵ ∵nn＝ ＝－ －33mm， ，∴ ∴ff((xx))＝ ＝mmxx33－ －33mmxx22， ， ∴ ∴ff′′((xx))＝ ＝33mmxx22－ －66mmxx.. 令 令 ff′′((xx))>>00， ，即 即 33mmxx22－ －66mmxx>>00， ， 当 当 mm>>00 时 时， ，解 解得 得 xx<<00 或 或 xx>>22， ，则 则函 函数 数 ff((xx))的 的单 单调 调增 增