一元线性回归方程在标准曲线上的应用
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检 测 技术
一
元 线 性 回 归 方 程 在 标 准 曲 线 上 的 应 用
林 良
（ 国家建材工业 建筑 防水材料产品质量监督检验测试中心 ， 江苏 苏州 ２ ５０ ） １０ ８
摘 要 ： 材 料 性 能检 测 与 试验 研 究过 程 中 ， 需要 作 标 准 曲 线 ， 在 常
通过 寻 找 变量 间的 相 关 关 系 ， 断 出最 后 结 果 推 性 回 归方程 在 标 ； 线上 的 应 用 住曲 关 键 词 ： 归方 程 ； ； 回 标 位曲线 ； 线性 关 系 文章 编 号 ：０ ７ ４ ７ ２ ） ０ 一 Ｏ ０ １０ — ９ Ｘ（ ０ 一 ２ Ｏ ４ 一 ２ ｌ ０ ｌ 介 绍 了一 元 线
的最 小二乘 估计 值 。 为 了计 算上 的方便 ， 引入记 号
：
果 。由于误 差 的存在 ， 有 的实 验点 （ 往 不在 所 Ｘ， ） Ｙ往
一
条直线 上 ，一 般情 况下会 根据这些 散点 的走 向 ， 用 作直线有 些 困难 ， 因为凭直觉 很难判 断怎 样才 能使所
直 尺描 出一条直 线 。但 在实 验点 比较 分散 的情况 下 ，
∑
＝
） 一 ∑ 一 ， （
联 的直线对 于 所有 的实 验 点来 说误 差 最小 。较好 的 办法 是对 数据进 行 回归 分析 ， 出 回归方 程 ， 求 然后 绘 制出对各 数据点 误差最 小 的一根 回归线 。
２ 回归 方程求解
：
∑
： ２ ， 一
∑（一 ） ∑ｙ Ｌ ｙ２ ２ ， －： ＿
∑ ∑ （ ， ∑（一 ） 一 ） ｙ （ ）∑， 誓 （ 一 ）
ｆ＝ ｌ ｉ ＝ ｌ ｉ： Ｉ
一
ｉ： １
ｎ
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ ｅ ｅ ｓｏ ｕ ｔｏ ：ｃ ｌｂ ａ ｉｎ ｃ ｒ ｅ； ｉｅａ ｅａ ｉｎ ｄ ：ｒｇｒｓ ｉｎ ｅｑ ａ ｉｎ ａ ｉｒ ｔｏ ｕ ｖ ｌｎ ｒｒ ｌｔｏ
程 ， 图像称 为 回归直线 。下面 求未 知参数 口和 ｂ的 其
最小 二乘估 计 。
求 Ｑ ｎｂ 的极 值点 ， （ ，） 有
： 一
２ Ｙａ ＝ ∑（－ ｂ ） ｉ－ ０
： １
中 图分 类号 ：Ｕ ０ ＊ Ｔ ５ ２． ４
文献 标 识码 ：Ａ
Ａ ｐ ｉａ ｉ ｎ ｏ ｅ－ｄｉ ｅ ｉ ｎａｌｌｎ ａｒ ｒ ｇ ｅ ｓｏｎ ｅ ｕａｔｏ ｉ ｐｌｃ ｔｏ ｆｏｎ ｍ ｎｓｏ ｉ ｅ ｅ ｒ ｓ ｉ ｑ ｉｎ ｎ
ｐ ｒｏ ａ ｃ ｅ ｔ ａ ｄ ｅ ｅ ｒ ｈ ｓ ｆｗａｅｐｒ ｏ ｎ ａｅ ａ ｓ Ｂｖ ｅ ｒｍ ｎ ｅ ｔ ｓｓ ｎ ｒ ｓ ａ ｃ ｅ ｏ ｔｒ ｏ ｆ ｇ ｍ ｔｒ ｌ． ｆ ｉ ｉ ｌｏ ｉ ｇ ｆｒ ｃ ｒｅ ａｉ ｔ ｔ ｅ ａｉ ｂｌｓ ｗｅ ｏ ｋ ｎ ｏ ｏｒ ｌｔｖｉ ｂｅｗｅ ｎ ｖ ｒａ ｅ ｍａ ｃ ｎｃｕ ｎ ｙ ） ｏ ｌｄｅ ｆ ａｌ ｉ ｒ ｓ ｌｓ Ｔｈｉ ｐ ｐ ｒ ｎ ｒｄｕ ｅ ａ ｐｌ ａ ｉｎ ｆ ｎｅ－ｄｉ ｎ ｉｎ ｅ ｕｔ． ｓ ａ ｅ ｉｔｏ ｃ ｓ ｐ ｉ ｔｏ ｏ ｏ ｃ ｍｅ ｓｏ ａｌ
谏 摩 数 据 ． １ 其 中 槽 标 为 时 间 （ ） 纵 标 后 表 ． ｄ ．
和 ｂ的估 计称 为未知参 数 ａ ｂ的最小 二乘 估计 ， 和 估
计 值记 为五 。 时 ， ＝ 和 这 称 为 Ｙ 于 的 回归方 关
检 测 技 术
表 １ 水蒸 气 通 过 密 封胶 进 入 干 燥 剂 的 速 度
ｌ ａ ｅ ｒ ｓｉ ｎ ｅ ｕａｉｎ ｉ ａｉ ｒ ｌｏ ｕＷｅ ｉ ｒｒ ｇ ｅ ｓｏ ｑ ｔｏ ｎ ｅ ｌｂ ａｉ ｎ Ｃ Ｉ ． ｎｅ
几
ｎ （ ｉ＝ ｉ ｎ ∑Ｘ６∑Ｙ ＋ ）
得 方程组 一 一 ，
（ ） （ ∑ ｎ ∑ ） ∑ ＋ ６ ：
解 方 程 绍 ， 唯 一 解 得
；
ｄ ２ ｙｎ ） ０ ∑（一一 ０
： 一
ｎ
ｎ
ｃ ｌ ｒ ｔ ｎ ｃ ｒ ｅ／ ｉ ｉｎ ａ ｉ ａ ｉ ｕ ｖ ／Ｌ ｎ Ｌ ａ ｇ ｂ ｏ Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｃ ｌ ｒ ｔ ｎ ｃ ｒｅ ｉ ｅ ｍｍｏ ｈ ｕ ｅ ｄ ｒｎ ｓｒ ｃ： ａｉ ａｉ ｕｖ ｓ ｂ ｏ ｏ ｎ ＇ ｓｄ ｕｉｇ
设 回 归方 程 为 ｖ＝ ＋ｘ， １２ ３ …… ，。使 Ｑ ａｂ，ｉ ， ，， ＝ ｎ （， ） （ 仃 ｂ 到最 小 为原则 对 未知 参数 ｏ ｎｂ ＝ Ｙ一 ＿ｘ）达
ｌ＝ ｌ
其中 ∑ ７ ∑ ７ ＝ ，＝ ， Ｌ 。 １ － ）化 ：
例如 ， （ ３Ｏ６ ℃ 、 对湿 度 （０ ２ ％时 ， 在 ２ ± ．） 相 ９± ） 水蒸 气通 过 某 中空玻 璃 用丁 基热 熔 密封 胶进 入 干燥 剂 的
ｎ
∑ 一∑ ） （
一ｂ ＝ 一
∑（ ）
＝
ｌ
１ 概 述
三 ＝１
在 材料性 能检测 与试验 研究过程 中 ， 要 作标 常需
准 曲线 ， 过 寻找 变量 问 的相关 关 系 ， 断 出最后 结 通 推
其 ｝ ，＝ Ｙ占 未 参 。 ６ 中＝ ｉ和为 知 数 和 Ｚ， ：
编 号
１ ２ ３
与 Ｙ之 间确 有线性 关 系时 ， 回归 方程才 有 实际
意义 ， 因此 得 到的 回归方 程必须 进 行相关 性检 验 。
一
ｘｄ ／
Ｏ ２ ４
ｙｇ ／
ｌ ６．２１ ８ ６ Ｏ １ ６０ ４ ５ ６ ．２ １ ６０ ８０ ６ ．２
元 回归方 程 习惯用 相关 系数 ｒ 检验 。 来
ｒ— ，— Ｌ ，≤ｌｌ ＝— ：ＷＬ ． ≤１ （ ｒ ０ ， ≤】 ）
一
元 线 性 回 归 方 程 在 标 准 曲 线 上 的 应 用
林 良
（ 国家建材工业 建筑 防水材料产品质量监督检验测试中心 ， 江苏 苏州 ２ ５０ ） １０ ８
摘 要 ： 材 料 性 能检 测 与 试验 研 究过 程 中 ， 需要 作 标 准 曲 线 ， 在 常
通过 寻 找 变量 间的 相 关 关 系 ， 断 出最 后 结 果 推 性 回 归方程 在 标 ； 线上 的 应 用 住曲 关 键 词 ： 归方 程 ； ； 回 标 位曲线 ； 线性 关 系 文章 编 号 ：０ ７ ４ ７ ２ ） ０ 一 Ｏ ０ １０ — ９ Ｘ（ ０ 一 ２ Ｏ ４ 一 ２ ｌ ０ ｌ 介 绍 了一 元 线
的最 小二乘 估计 值 。 为 了计 算上 的方便 ， 引入记 号
：
果 。由于误 差 的存在 ， 有 的实 验点 （ 往 不在 所 Ｘ， ） Ｙ往
一
条直线 上 ，一 般情 况下会 根据这些 散点 的走 向 ， 用 作直线有 些 困难 ， 因为凭直觉 很难判 断怎 样才 能使所
直 尺描 出一条直 线 。但 在实 验点 比较 分散 的情况 下 ，
∑
＝
） 一 ∑ 一 ， （
联 的直线对 于 所有 的实 验 点来 说误 差 最小 。较好 的 办法 是对 数据进 行 回归 分析 ， 出 回归方 程 ， 求 然后 绘 制出对各 数据点 误差最 小 的一根 回归线 。
２ 回归 方程求解
：
∑
： ２ ， 一
∑（一 ） ∑ｙ Ｌ ｙ２ ２ ， －： ＿
∑ ∑ （ ， ∑（一 ） 一 ） ｙ （ ）∑， 誓 （ 一 ）
ｆ＝ ｌ ｉ ＝ ｌ ｉ： Ｉ
一
ｉ： １
ｎ
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ ｅ ｅ ｓｏ ｕ ｔｏ ：ｃ ｌｂ ａ ｉｎ ｃ ｒ ｅ； ｉｅａ ｅａ ｉｎ ｄ ：ｒｇｒｓ ｉｎ ｅｑ ａ ｉｎ ａ ｉｒ ｔｏ ｕ ｖ ｌｎ ｒｒ ｌｔｏ
程 ， 图像称 为 回归直线 。下面 求未 知参数 口和 ｂ的 其
最小 二乘估 计 。
求 Ｑ ｎｂ 的极 值点 ， （ ，） 有
： 一
２ Ｙａ ＝ ∑（－ ｂ ） ｉ－ ０
： １
中 图分 类号 ：Ｕ ０ ＊ Ｔ ５ ２． ４
文献 标 识码 ：Ａ
Ａ ｐ ｉａ ｉ ｎ ｏ ｅ－ｄｉ ｅ ｉ ｎａｌｌｎ ａｒ ｒ ｇ ｅ ｓｏｎ ｅ ｕａｔｏ ｉ ｐｌｃ ｔｏ ｆｏｎ ｍ ｎｓｏ ｉ ｅ ｅ ｒ ｓ ｉ ｑ ｉｎ ｎ
ｐ ｒｏ ａ ｃ ｅ ｔ ａ ｄ ｅ ｅ ｒ ｈ ｓ ｆｗａｅｐｒ ｏ ｎ ａｅ ａ ｓ Ｂｖ ｅ ｒｍ ｎ ｅ ｔ ｓｓ ｎ ｒ ｓ ａ ｃ ｅ ｏ ｔｒ ｏ ｆ ｇ ｍ ｔｒ ｌ． ｆ ｉ ｉ ｌｏ ｉ ｇ ｆｒ ｃ ｒｅ ａｉ ｔ ｔ ｅ ａｉ ｂｌｓ ｗｅ ｏ ｋ ｎ ｏ ｏｒ ｌｔｖｉ ｂｅｗｅ ｎ ｖ ｒａ ｅ ｍａ ｃ ｎｃｕ ｎ ｙ ） ｏ ｌｄｅ ｆ ａｌ ｉ ｒ ｓ ｌｓ Ｔｈｉ ｐ ｐ ｒ ｎ ｒｄｕ ｅ ａ ｐｌ ａ ｉｎ ｆ ｎｅ－ｄｉ ｎ ｉｎ ｅ ｕｔ． ｓ ａ ｅ ｉｔｏ ｃ ｓ ｐ ｉ ｔｏ ｏ ｏ ｃ ｍｅ ｓｏ ａｌ
谏 摩 数 据 ． １ 其 中 槽 标 为 时 间 （ ） 纵 标 后 表 ． ｄ ．
和 ｂ的估 计称 为未知参 数 ａ ｂ的最小 二乘 估计 ， 和 估
计 值记 为五 。 时 ， ＝ 和 这 称 为 Ｙ 于 的 回归方 关
检 测 技 术
表 １ 水蒸 气 通 过 密 封胶 进 入 干 燥 剂 的 速 度
ｌ ａ ｅ ｒ ｓｉ ｎ ｅ ｕａｉｎ ｉ ａｉ ｒ ｌｏ ｕＷｅ ｉ ｒｒ ｇ ｅ ｓｏ ｑ ｔｏ ｎ ｅ ｌｂ ａｉ ｎ Ｃ Ｉ ． ｎｅ
几
ｎ （ ｉ＝ ｉ ｎ ∑Ｘ６∑Ｙ ＋ ）
得 方程组 一 一 ，
（ ） （ ∑ ｎ ∑ ） ∑ ＋ ６ ：
解 方 程 绍 ， 唯 一 解 得
；
ｄ ２ ｙｎ ） ０ ∑（一一 ０
： 一
ｎ
ｎ
ｃ ｌ ｒ ｔ ｎ ｃ ｒ ｅ／ ｉ ｉｎ ａ ｉ ａ ｉ ｕ ｖ ／Ｌ ｎ Ｌ ａ ｇ ｂ ｏ Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｃ ｌ ｒ ｔ ｎ ｃ ｒｅ ｉ ｅ ｍｍｏ ｈ ｕ ｅ ｄ ｒｎ ｓｒ ｃ： ａｉ ａｉ ｕｖ ｓ ｂ ｏ ｏ ｎ ＇ ｓｄ ｕｉｇ
设 回 归方 程 为 ｖ＝ ＋ｘ， １２ ３ …… ，。使 Ｑ ａｂ，ｉ ， ，， ＝ ｎ （， ） （ 仃 ｂ 到最 小 为原则 对 未知 参数 ｏ ｎｂ ＝ Ｙ一 ＿ｘ）达
ｌ＝ ｌ
其中 ∑ ７ ∑ ７ ＝ ，＝ ， Ｌ 。 １ － ）化 ：
例如 ， （ ３Ｏ６ ℃ 、 对湿 度 （０ ２ ％时 ， 在 ２ ± ．） 相 ９± ） 水蒸 气通 过 某 中空玻 璃 用丁 基热 熔 密封 胶进 入 干燥 剂 的
ｎ
∑ 一∑ ） （
一ｂ ＝ 一
∑（ ）
＝
ｌ
１ 概 述
三 ＝１
在 材料性 能检测 与试验 研究过程 中 ， 要 作标 常需
准 曲线 ， 过 寻找 变量 问 的相关 关 系 ， 断 出最后 结 通 推
其 ｝ ，＝ Ｙ占 未 参 。 ６ 中＝ ｉ和为 知 数 和 Ｚ， ：
编 号
１ ２ ３
与 Ｙ之 间确 有线性 关 系时 ， 回归 方程才 有 实际
意义 ， 因此 得 到的 回归方 程必须 进 行相关 性检 验 。
一
ｘｄ ／
Ｏ ２ ４
ｙｇ ／
ｌ ６．２１ ８ ６ Ｏ １ ６０ ４ ５ ６ ．２ １ ６０ ８０ ６ ．２
元 回归方 程 习惯用 相关 系数 ｒ 检验 。 来
ｒ— ，— Ｌ ，≤ｌｌ ＝— ：ＷＬ ． ≤１ （ ｒ ０ ， ≤】 ）