高等代数 行列式计算的方法小结19页PPT
行列式的的解法技巧本科精品文档19页
行列式的的解法技巧目录1行列式的基本理论 (3)1.1行列式定义 (3)1.2行列式的性质 (3)1.3基本理论 (4)1.4几种特殊行列式的结果 (4)2行列式的计算技 (5)2.1定义法 (5)2.2化成三角形行列式法 (5)2.3两条线型行列式的计算 (6)2.4箭型行列式的计算 (7)2.5三对角行列式的计算 (7)2.6利用范德蒙行列式 (8)2.7H ESSENBERG 型行列式的计算 (9)2.8降阶法 (9)2.9加边法（升阶法） (10)2.10计算行（列）和相等的行列式 (10)2.11相邻行（列）元素差1的行列式计算 (11)2.12线性因子法 (12)2.13辅助行列式法 (13)2.14n阶循环行列式算法 (14)2.15有关矩阵的行列式计算 (14)2.16用构造法解行列式 (15)2.17利用拉普拉斯展开 (15)3 用多种方法解题 (16)参考文献： (18)【内容摘要】行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。
本文先阐述行列式的基本理论，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。
通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。
【关键词】行列式；矩阵；范德蒙行列式；递推法Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic.It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinant,on our learning will bring very useful help.Keywords: Determinant；matrix；Vandermonde Determinant；recurrence method引言行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧进行总结归纳。
计算行列式的方法总结PPT
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性质
行列式具有以下基本性质
行列式转置不变
行列式的值与其转置行列式的值相 等。
行列式按行（列）展开
行列式的值等于其任意一行（列）元 素与其对应代数余子式的乘积之和。
行列式的倍数性质
行列式中某一行（列）的所有元素 都乘以一个常数k，则行列式的值也 乘以k。
行列式的消元性质
若行列式中两行（列）成比例，则 行列式的值为0。
例题3
利用数学归纳法计算分块矩阵的行列式。对于具有某种递推关系的分块矩阵，可以利用数 学归纳法进行证明和计算。通过假设当n=k时结论成立，进而证明当n=k+1时结论也成 立，从而得出对于任意正整数n结论都成立的结论。
06
特殊类型行列式的计算方法
箭型行列式的计算
箭型行列式的定义
箭型行列式是一种具有特殊形状的行列式，其主对角线上方的元素构成了一个箭头形状。
计算方法
对于 n 阶箭型行列式，可以先将其化为上三角或下三角行列式，然后直接计算对角线元素的乘积。具体步骤包括 ：利用行列式的性质，将第 1 列的 -1 倍加到其他列上，从而将箭型行列式化为上三角或下三角行列式；计算对 角线元素的乘积。
两三角型行列式的计算
两三角型行列式的定义
两三角型行列式是指行列式的上半部分和下半部分分别呈现三角形形状的行列式。
80%
典型方法
拉普拉斯展开定理，将高阶行列 式按某一行（列）展开为低阶行 列式的和。
典型例题解析
例题1
利用数学归纳法计算范德蒙德 行列式。
例题2
计算含有特定元素的行列式， 如含有三角函数、指数函数等 。
例题3
利用归纳法证明某些特殊类型 的行列式具有特定的性质，如 对称性、反对称性等。
线性代数行列式计算方法总结
a =2
a2
总结：当行列式元素排列很有规律且维数与n有关是可以考虑递推法
例7 求下列行列式的值 分块三角形法
1 3 3 5
2 0 0 4 0 0
0 0 5
D= 1 2 2 1
4 1 0 2 6 8 4 14
2 4 6
所以，原行列式可化
1 2 1 5 1 2 D 1 ，D2 1 0 5 C 3 解：不妨令 3 4 8 4 14 5
用加边法即构造n1阶行列式使其按第一列行展开后等于原行列式行列式展开定理定义25在n阶行列式中划掉元素所在的第列剩下的元素按原来的相对位置排列形成的n1阶行列式称为元素的余子式记作为元素的代数余子定理24设n阶矩阵a则a的行列式等于它的任一行列的个元素与其代数余子式的乘积之和即11122122ijijnjnj计算n阶行列式解
b1 a1 0 0
b2 0 a2 0
பைடு நூலகம்
bn 0 0 an
上三角行列式
a1a2 =
an (a0
bi ci ) i 1 ai
x 例3 计算n阶行列式 a a
a x a
a a x
加法
解：这个行列式的特点是各列（行）的元素之和相等，故可将各行加到第 一行，提出公因子，再化为上三角行列式。
x a a
8 1 1 1 2 3 r3 r4 0 3 5 0 5 3
1 0 8 0 0
8 1 0 0
1 1 1 2 3 0 =16 2 2 0 5 3 0
8 1 0 0
1 1 1 2 3 0 r4 5r3 16 1 1 0 5 3 0
8 1 0 0
1 1 2 3 =128 1 1 0 8
a x a
a r 1 ri a x
行列式的计算方法多项式行列式与计算方法优秀课件
xnx1 xn(xnx1)
0 x2n2(x2x1) x3n2(x3x1)
xnn2(xnx1)
按第一列展开,并提出每一列的公因子(xi -x1)(i=1,2,…,n),得递推
公式:
111
1
x2 x3 x4
xn
Dn(x1,x2, , xn) (x2 x1)(x3 x1) (xn x1) x22 x32 x42
[(x2x1)
(xnx1)][(x3x2)
(xnx2)]
1 [(xn1xn2)(xnxn2)]xn1
1 xn
[(x2x1) (xnx1)][(x3x2) (xnx2)] [(xn1xn2)(xnxn2)](xnxn1)
(xi xj) 1jin
17
（六）拆项法（主对角线上、下元素相同）
ax1 a
23
a1 0
00
0 a2 0 0
0
0
0
ak
0 ak1Dk 0
a 1 a 2 a k a k 1 D k
1 1 1 11
a1a2 a1a2
ak ak1a1a2
ak1(1ki11a1i )
ak(1ik1a1i )
所以 nk1时结论成立，故原命题得证．
24
（八） 范德蒙行列式
11
x1 x2
例、计算行列式 Dn
x
2 1
x 22
x
n
2 1
x n22
x n1 x n2
解：考察 n 1 阶范德蒙行列式
11 x1 x2 f (x) x21 x22
11 xn x x2n x2
1 xn x 2n
x n2n xnn
xn11 xn12 xn1 xn2
行列式计算方法小结
x2
n+1阶
xn xn xn xn m
将第1行的(-1)倍分别加到第2行，第3行，...，第n+1行得：
1 x1 x2 xn 1 m 0 0
Dn 1 0 m
0 n+1阶
1 0 0 m
(1) 若m=0，则
Dn
x1，n 1 0，n 1
(2) 若m 0，“箭形”行列式
从加边前的Dn 得出
将Dn中 第2列 、3列 、
、n
1列 都 乘 以
1 m
后 加 到 第1列 ：
1 n xi
i1 m
x1
x2
xn
0
m 0 0
Dn
0
0 m 0
0
0 0 m
(m)n(1 n xi ) i1 m
字母行列式适用。 (2) 灵活性差，死板。
3.降阶法
利用性质，将某行(列)的元尽可能化为0，然后按行(列)展开.
n阶 n 1阶 2阶
此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。
*4. 递推公式法 (见附录1) *5、数学归纳法 (见附录2)
*6. 加边法（升阶）(见附录3)
二、特征
*
1 y y x
1 y y y
r1 ri (i 2,3,...,n)
0 x y 0 [ x (n 1) y]
0
[ x (n 1) y]1 ( x y)n1 0 0 0 x y [ x (n 1) y]( x y)n1
x y y y
y Dn
行列式计算方法小结课件
04 拉普拉斯展开式与n阶行 列式
拉普拉斯展开式的定义
拉普拉斯展开式是行列式计算中的一种重要方法，它基于二 项式定理，通过将行列式中的某一行或某一列展开为多项式 ，简化行列式的计算过程。
具体来说，对于n阶行列式，如果将其中的第i行和第j列（i≠j） 去掉，剩下的元素按照原来的排列顺序构成的n-1阶行列式记为 Dij，而该元素与1的乘积的代数余子式记为Aij，则拉普拉斯展 开式可以表示为：Dij=(-1)i+jAij。
避免符号错误。
计算错误
在计算行列式时，需要注意计 算的准确性和精度问题，避免 计算错误。
展开错误
在展开行列式时，需要注意展 开的顺序和符号问题，避免展 开错误。
理解错误
在理解行列式的性质和计算方 法时，需要注意概念的准确性
和清晰性，避免理解错误。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
01
当二阶行列式中某行或某列只有 一个元素时，该元素即为二阶行 列式的值。
02
当二阶行列式中某行或某列元素 全为0时，该二阶行列式的值为0 。
03 三阶行列式的计算
按照对角线展开法
对角线法则
三阶行列式可以按照主 对角线、副对角线以及
水平中线进行展开。
主对角线展开
将主对角线上的元素相 乘，并减去副对角线上
三阶行列式
由三个二阶行列式按照顺序排列 而成，即$D = |a_{11} a_{12} a_{13}| - |a_{21} a_{22} a_{23}| + |a_{31} a_{32} a_{33}|$。
行列式的性质
01
02
03
交换律
行列式中任意两行（或两 列）交换位置，行列式的 值不变。
高等代数课件(北大版)第二章-行列式§2
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
数学与计算科学学院
二、矩阵的初等行变换
定义 数域P上的矩阵的初等行变换是指:
1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一行；
kri
2) 把矩阵的某一行的k倍加到另一行，k P ； ri krj
3) 互换矩阵中两行的位置.
ri rj
注意: 矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地A≠B.
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三、行列式的计算
原理: 任一方阵 A 可经过一系列的初等变换化成
阶梯阵 J ，且 A k J , k 0.
方法: 对行列式 A 中的A作初等行变换，把它化为
阶梯阵，从而算得行列式的值.
例1 计算行列式
2 5 1 3 1 9 13 7 3 1 5 5 2 8 7 10
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
数学与计算科学学院
一、矩阵
定义 由sn个数排成 s 行 n 列的表
a11 a12
A
a21
a22
as1 as2
a1n a2n
asn
称为一个 s×n 矩阵, 简记为 A (aij )sn . 数 aij 称为矩阵A的 i 行 j 列的元素，其中i为行指标， j为列指标.
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
3 2 7 1
2 4 3 5
2)
3 1 4 2 7253
4 3 2 6
答案: 1）－726
2）－22
Байду номын сангаас
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
数学与计算科学学院
数学与计算科学学院
注意: 计算行列式 A 时，也可对A作初等列变换，
把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值. 也可同时作初等行变换和列变换, 有时候这样
高等代数 第二章 行列式计算方法小结
0 0 0
0 0 0 .
0 0
0 0
ab a b 1 ab
展开 按 c 1 D ( a bD )n a b D n 1 n 2
n 2 D a D b ( D a D ) b ( D a D ) n n 1 n 1 n 2 2 1
n 2 D b D a ( D b D ) a ( D b D ) n n 1 n 1 n 2 2 1
1 又，当 x 时，1，2行相同，有D 0 ， x 1 为D的根． 2时，3，4行相同，有 D 0, 当 x
为D的根． x 2
1 , 1 , 2 , 2 故 D 有4个一次因式:xxxx
行列式的计算
设 D a ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 2 ) , 令 x 0, 则
1 xx 0 Dx xx ( 1 a ) 当x 时, 12 n n 12 n x i 1 i
行列式的计算
n
0 ( i1 , 2 n ) 当x 时也可以用加边法做： i
D n
1 a 0 a x 1 a a
n
a a a xn
1 a 1 x1 1
a 0 xn
1 1 a a i 1 x i Dn 0 x1 0
解：考察 n 1 阶范德蒙行列式 1 1 11 x1 x2 xn x x21 x22 x2n x2 f ( x)
xn11 xn12 xn1 xn2
行列式的计算
xn1n xn1 xnn xn
( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) 1 2 n i j
行列式的计算
高等代数课件PPT之第2章行列式
例5 证明上三角行列式
a11 0 D 0 a12 a1n a22 a2 n a11a22 ann 0
( j1 j2 jn ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 anjn
ann
证： 由定义 D 和式中,只有当
jn n, jn1 n 1,, j2 2, j1 1时，
ai1 1ai2 2 ain n
记
上三角行列式的值
a11 a12 a1n
i1i 2 i n
(1)
( i1i 2 i n )
0 D 0
a22 a2 n a11a22 ann 0 ann
§2.4 ∼2.5 n级行列式的性质与计算
考虑
a11 a 21 D a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
( 1)
( i1i2 in ) ( j1 j2 jn )
ai1 j1 ai2 j2 ain jn
另一定义形式
其中i1i2…in和j1 j2 …jn都是n级排列 .
推论:n级行列式D=det (aij) 的值为
D (1) ( i1i2 in ) ( j1 j2 jn ) ai1 j1 ai2 j2 ain jn
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) ( 1 ) 并冠以符号 的项的和. (i) a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；
于是方程组的解为
D3 15 D1 55 D2 20 x1 11，x2 4, x3 3. D 5 D 5 D 5
行列式计算方法归纳总结
数学与统计学学院中期报告学院:专业:年级:题目:学生姓名: 学号:指导教师姓名职称:年月日目录1 引言 (1)2行列式性质 (2)3行列式计算方法 (6)3.1定义法 (6)3.2递推法 (9)3.3化三角法 (9)3.4拆元法 (11)3 .4加边法 (12)3.6数学归结法 (13)3.7降价法 (15)3.8利用普拉斯定理 (16)3.9利用范德蒙行列式参考文献......................................................................................................... 错误!未定义书签。
8行列式的概念及应用摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。
关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式The concept and application of determinant Summary:This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant.Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant1 引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。
行列式计算方法小结.精选PPT
此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。
*4. 递推公式法 (见附录1) *5、数学归纳法 (见附录2)
*6. 加边法（升阶）(见附录3)
二、特征
. 阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行 列式或结合展开定理计算.
. 非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。
一些特殊行列式的计算（包括一些重要结果）
阶范德蒙行列式结论也下证对n倍则行的行开始逐行减去上一中从第在倍则行的行开始逐行减去上一中从第在1xnvn111100011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxvnnnnnnnnn?????????????????????????????????按第1列展开1213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn???????????????????????????????11312xxxxxxn???????2232232111nnxxxxxx???22322??????nnnnxxx?????根据归纳假设有
a b0 00
例 P.41 33题
0 a b 0 0 n阶
将第1行的(-1)倍分别加到第2行，第3行：从最后一列开始每列乘以x加到前一列，再按第一列展开。 化三角形行列式法
按第一列展开
0 0 0 a b 字母行列式适用。
利用高中有关数列的知识，求出行列式 。
a ac b b b 例 行用因列多为式 种 : 的方a对c为ii计法于何算计任值li方算何时1法下两,D小列个=l01结行数? 列码0式
i
i1
2
i1 i
,在一排列中要么构成逆序,要么不构成逆序.
行列式的计算技巧总结
行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 (1)关键字 (1)1. 行列式的概念及性质 (2)1.1 n阶行列式的定义 (2)1.2 行列式的性质 (2)2. 行列式计算的几种常见技巧和方法 (4)2.1 定义法 (4)2.2 利用行列式的性质 (5)2.3 降阶法 (7)2.4 升阶法（加边法） (9)2.5 数学归纳法 (11)2.6 递推法 (12)3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 (14)3.1 拆行（列）法 (14)3.2 构造法 (17)3.3 特征值法 (18)4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 (19)4.1 三角形行列式 (19)4.2 “爪”字型行列式 (19)4.3 “么”字型行列式 (21)4.4 “两线”型行列式 (22)4.5 “三对角”型行列式 (23)4.6 范德蒙德行列式 (25)5. 行列式的计算方法的综合运用 (26)5.1 降阶法和递推法 (27)5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 (27)5.3 构造法和套用范德蒙德行列式 (28)小结 (29)参考文献 (30)学习体会与建议 (31)摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习 中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法•本文主要 介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法.如：化三角 形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及 Van dermo nde 行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式. 并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征.关键词： 行列式计算方法1 .行列式的概念及性质1.1 n 阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下:设有n 2个数，排成n 行n 列的数表即n 阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的aii ai2a22=a“a 22 a 12a 21 ,a11a12a13a 21a 22a 23a31a32 a33a 11a 22a 33a 12a 23a 31a 13a 21a 32a 11a 23a 32 a 12a 21 a 33 a 13a 22a 31-从二、三阶行列式的内在规律引出n 阶行列式的定义.a 11 a 21a n1 a 12 a 22a n2 a 1n a 2na nna21乘积a ij i a2j 2 anj n ⑴j n 是1,2, , n 的一个排列，每一项⑴都按下列规j n 是偶排列时，⑴带正号；当j i j 2 j n 是奇排列时，⑴带负号.即这里表示对所有n 级排列求和.J 1J 2 J n1.2行列式的性质性质1行列互换，行列式不变.即a 11a 12 a 1na 11a 21 a n1a 21a 22 a 2na 12 a 22 a n2a n1 a n2a nna 1n a 2n a nnan a 12 a 1na11a12a1nka i1ka i2ka ink a i1a i2 aina n1 a n2 a nna n1a n2ann性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列的代数和，这里j i j 2 则带有符号：当j i j 2 ai1 ai2 a 21a 22a1 n a2 nann1j 1j 2 j nj』jna1j 1a2j 2anj n性质2一个数乘行列式的一行 （或列），等于用这个数乘此行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样.即a11 M b c M a n1a i2 K a inb2 C2 K b n c na n2 K a nna11 a i2 K a inM M M M3 b2 K bnM M M Ma n1 a n2K a nna i1 a i2 K a inM M M MC i C2 K C nM M M Ma ni a n2K a nn性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零.即a l1 a i2 a in a ii a i2 a ina i1 a i2 a in a ii a i2 a inkka i1 ka i2 ka in a ii a i2 a ina ni a n2 a nn a ni a n2 a nn=0.性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即a ii a i2a i1 ca k1 a i2 Ca k2a k1 a k2a ni 3n2a in a ii a i2 a i n a in Ca kn a ii a i2 a ina kn a ki a k2 a kna nn a ni a n2 a nn性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号•即a11 a i2 a1n a11 a12 a1na i1 a i2 a in a k1 a k2 a kna k1 a k2 a kn a i1 a i2 a ina n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零.即a i1 a i2C’n-I a in0 0 0 0 0.a n1 a n2 a n,n-1 a nn2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.计算行列式0解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少.具体的说，展开式中的项的一般形式是a2j2a3j3a4j4.显然，如果h 4，那么a“0，从而这个项就等于零•因此只须考虑j i 4的项，同理只须考虑j 2 3, j 32, j 4 1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有1 0 = 0 02.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 •该方法适用于低阶行列式.2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对an a 12 a 13a 1n0 a22a 23 a 2n 0 0 a 33a 3n0 0 0 a nnan 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a 31a 32a 33a 11 a 22a nn，311322 A nna i4a 23a 32a 4143216，所以此项取正号•故 4321a 14a 23a 32a 4124.1a 1 a 2a n 例2计算行列式D n 11 a 1 b 1 a2 1 a 1 a 2 a n a n b n1X 2X nmX 1 mX 2X n 例3计算行列式D nX 2mX n X iX iX 2X n mX n解：DX iX 2 mX nX i X nnX ii 1X 2 X 2 mXnX 应相同，故用第一行的 1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元 素全部变为零•即：化为上三角形.可得222连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计 算•这类计算行列式的方法称为连加法.解：将该行列式第一行的倍分别加到第2,3 •••（ n 1）行上去,D n 11 0 M 0 a b M 0 a2 0 M 0 K 0O K a n 0M b nb]b 2K bi.223滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或 者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法.例4计算行列式D n1 2n 22.2.4逐行相加减显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.1 2 3 n 1 n1 2 3 n 1 n111 1 12 0 00 2 D n1 1 1 1 12 2 0 0 21 11111 1 111解：从最后一行开始每行减去上一行,有nX ii 1X 2mX n 0nX i m .i 1对于有些行列式,虽然前 n 行的和全相同，但却为零•用连加法明a 1 0a 1 a 2 0 a 2 0 0 0 0 例5计算行列式D0 0 a 3 0 00 0 0 a n a r11111解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得:a 1 0 0 0 a 2 02.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开x 1 00 x 10 0 x0 0a n a n 1 a n 2解：按最后一行展开，得D n a 1x n 1 a 2x n 2a n 1x a n .2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式 D 中任意选定了 k1 k n-1个D0 a30 0 00 0 a nn1 n 1 a 1a 2a n n1 n 1 a 1a 2a n .例6 解行列式D n0 0 0 0 0x 1 a ? a 10 0行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的 和等于行列式D.即D M 1A 1 M 2A 2M n A n ，其中A i 是子式M i 对应的代数余子式.即a a a ab例7解行列式D n bb解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加 C nn0 B nn A nn ?B nn ・到第二列，得b D n0 0 b 0 0a a a 00 0 0n 1 a an 2 0 0 00 B nnA nn0 1 1n 1 a?b n 20 0n 2 n 1 ab2.4升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质 化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法 的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可以利 用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果.其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末 行首列，末行末列以及一般行列的位置.1 1 1 11 1 0 1 1 0解：使行列式D 变成n 1阶行列式，即1 1 1 0 0 1 0 1 0D再将第一行的 1倍加到其他各行，得:一 1 1 0例8解行列式D=1 1 1 1 1 1 0 11 01 1 0 0 0 01 0 0 11加到第一列，得:(n 1)110 1 00 0 1 D0 0 0 0 0n 11 n 1 .2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出 假设，再利用数学归纳法去证明•对于高阶行列式的证明问题，数学 归纳法是常用的方法.cos 1 0 0 012 cos 1 0 0 例9计算行列式D n0 1 2 cos0 00 0 0 2 cos 112 cos解：用数学归纳法证明 当 n 1 时，D 1 cos1 1 111 0 D =1 0 1 1 0 01从第二列开始，每列乘以1 1 0 0 0 0 1 0 0 11当n 2时，D 2 猜想，D n cosn 由上可知，当n 假设当n k 时, 也成立. k 1时, 将D k 因为D kcos 11 2cos2cos 2 1 cos22时，结论成立.结论成立. 即：D kcosk .现证当n1时，结论D k 1cos 1 01 2cos 10 1 2cos1按最后一行展开, 2 cos cosk ,1?2cos2 cos 11 2coscos 11 2cos 10 1 2cos2coscos 1 0 1 2cos 1 0 1 2cos D k D k1.D k 1 cos k 1 cosk cosk cos sink sin所以D k 1 2cos D k D k 1sink sin2cos cosk cosk coscosk cos sink sincos k 1.这就证明了当n k 1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：D n cos n.2.6 递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式aD n bD n 1 cD n 2 0.则作特征方程ax 2 bx c 0.①若0，则特征方程有两个不等根，则D n Ax1n 1 Bx2n 1．②若0 ，则特征方程有重根x1 x2，则D n A nB x1n 1．在①②中，A，B 均为待定系数，可令n 1,n 2 求出．9 5 0 0 0 0 0 4 9 5 0 0 0 0例10计算行列式D n0 4 9 50 0 00 0 0 0 4 9 50 0 0 0 0 4 9解：按第一列展开，得D n 9D n 1 20 D n 2 .即D n 9D n 1 20D n 2 0 •作特征方程2x 9x 20 0.解得x14, x25.则D n A?4n1 B?5n1.当n 1 时，9 A B ;当n 2 时，61 4A 5B.解得A 16,B 25 ,所以D n 5n 14n 1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值•拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和.3.1.2 例题解析1 a1 a2 0 0 01 1 a2 a3 0 0例11 计算行列式D n0 1 1 a30 00 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 1 1 a n解：把第一列的兀糸看成两项的和进仃拆列,得1 a1a20 0 01 0 1 a2a3 0 0D n 0 0 1 1 a30 00 0 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 0 1 1 a n11i 1j 1a ?a ? 1a 3 a 3a n 1 1a n a na ? a ? 1a 3 a 3a n 1a na n上面第一个行列式的值为 1,所以 D n 1 a 11 a ? 1 a 3 a 3a n1a n a n1 a 1D n 1 . 这个式子在对于任何n 都成立, 因此有D n 1a 1D na 1 1a 2D n 2n 11 da ? a nii1 a j .3.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值.3.2.2例题解析11 1X 1X 2X n222例12求行列式D nX 1X 2X nn 2n 2n 2X 1X 2 X nnX 1n X2n Xn1 1 1 1X 1X 2X nX2222X 1X 2X nXf Xn 2n 2n 2n 2X 1 X 2 X n X n 1 n 1 n 1 n 1 X 1X 2X nXnnnnX 1 X 2 X n X将f X 按第n 1列展开，得f X A,n 1 Azn i Xn 1其中，x 的系数为解：虽然D n 不是范德蒙德行列式， 行列式来间接求出D n 的值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得 但可以考虑构造 n 1阶的范德蒙德A门 1 AnA n,n 1 XA n 1,n 1X，A n,n 1 ,n n 11 D n D n .又根据范德蒙德行列式的结果知f x X % X X2 X X n X i X j1 j i n由上式可求得X n 1的系数为X1 X2 X n X i X j .1 j i n故有D n X1 X2 X n X i X j .1 j i n3.3特征值法3.3.1概念及计算方法设1, 2, n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式A 1 2n .故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出式.3.3.2例题解析例13若1, 2, n是n级矩阵A的全部特征值，证明：仅当它的特征值全不为零.证明：因为A 1 2 n，则A 可逆A 0 1 2 n 0 i 0i 1,2 n .A可逆当且仅当它的特征值全不为零.A的行列A可逆当且4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念形如an a12 a13 31n ana22a23 a2na21 a22a33 a3n a31 a32 a33a nn a n1 a n2 a n3 a nn这样的行列式,形状像个三角形，故称为“三角形”行列式.4.1.2计算方法由行列式的定义可知,a11 a12 a13 0a22 a23 0 0 a330 0 0 an 0 0 a21 a22 0 a31 a32 a33a n1 a n2 a n3 a1 na2na3n a11a22 a nn ,a nna nn&11&22 a nn •4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念422计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化 成“三角形”行列式.此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横.a ob 1 b 2b nb nb 2 b 1 a o C 1 a 1a 1 CC 2a 2a 2C 2 C na na nC n形如 C na na nC nC 2a 2a 2C 2 C 1 a 1a 〔 C [ a obi b 2 b nb n b 2b 1 a o这样的行列式，形状像个 4.2.3 例题解析例14计算行列式a 11 1a 2 a 3，其中 a i 0,i 1,2, n.分析: 这是一个典型的“爪”a n字型行列式，计算时可将行列式的第i(i 2,3,n.)列元素乘以1—后都加到第一列上，原行列式可化为三a i角形行列式.字型行列式.“爪”“爪”字，故称它们为4.3.2计算方法 利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角 形行列式.此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消.C n a na ob 1 b 2C 1a 1 C 2a 2C 2 a 2C 1 a 1C na ob 1 b 2 b nb na n概念 形如4.3 a 1 1 11 aa 3a na n a 1“么” i 2a i字型行列式i 2 a i1 1a 2 a 3 4.3.1a n Cna 1 ca 2C 2C 2 a 2因此常称它们为“么” C 1 a 1 a oth b 2 b 1 b n字型行列式.样的行列式, 字, b 2 b 1 a oCna nb n 形状像个“么”注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用a n消去C n，然后再用a ni消去C ni，依次类推.4.3.3例题解析例15计算n 1阶行列式D n i1 111 1 1 1 b1b n 1b n解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得D n 11i 1 n1 b ii 11n n 1 n? 11 2n n 3 n1 2 1i 11b n 1 b nb nn1 b ii 1b i4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念a i 0b ia2b2形如这样的行列式叫做“两线型”行列式.0 0 0 b n 1b n 0 0 a n442计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解.4.4.3 例题解析a1 b1 0 00 a2 b2 0例16 求行列式D n .0 0 0 b n 1b n 0 0 a n解：按第一列展开，得a2b20 b 0 0/ n 1a2b20D n 1 a1 b 10 0 b n 10 0 a n 0 0 b n 1a1a2 a n 1r1b b2 b n.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念a b ab 0 0 0 0 01 a b ab 0 0 0 0形如0 1 a b ab0 0 0 这样的行列式，叫0 0 0 0 0 a b ab0 0 0 0 0 1 a b 做“三对角型”行列式.4.5.2计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明.4.5.3例题解析a b ab1 a b 例17求行列式D n0 10 00 0 解：按第一列展开,得ab 0 01 a b abD n a b D n 1 0 1a b0 0 00 0 0a b D n 1abD n 2 .0 0 0 0 0 ab 0 0 0 0 a b ab 0 0 00 0 0 a b ab0 0 0 1a b0 0 00 0 0ab 0 0a b0 a b ab0 1 a b变形，得D n aD n 1由于D1 a b, D2 a2 ab b2，从而利用上述递推公式得D n aD n 1 b D n 1 aD n 2b D n 1 aD n 2 b2 D n 2 aD n 3b n 2 D2 aD1 b n.D n aD n1 b n a aD n 2 b n 1 b n a n 1D 1 a n 2b 2ab n1 b n行列式来间接求出D n 的值.a n1bab n1b n .4.6 Van derm onde 行列式4.6.1 概念a ia 2 a 3形如 2 2 2a1a ?a n 2 a n这样的行列式,成为n 级的范德蒙德行n 1 n 1 n 1a a ? a 3列式.4.6.2计算方法n ana 1a 21a 3通过数学归纳法证明,a i a j1 j i n4.6.3例题解析1 1 1 X 1X 2X n222X 1X 2X nn 2n 2n 2X 1X 2X nnnnX 1X 2 X n解：虽然D n 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n 1阶的范德蒙德1n an2 2可得6a 2例18求行列式D n构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1 1 11X 1X 2X nX2222X 1X 2X nXf Xn 2n 2n 2n 2X 1 X 2 X n X n 1 n 1 n 1 n 1 X 1X 2X nXnnnnX 1 X 2 X n X将f x 按第n 1列展开，得其中，X n1的系数为又根据范德蒙德行列式的结果知由上式可求得X n 1的系数为故有5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合 多种计算方法，使计算简便易行•下面就列举几种行列式计算方法的 综合应用.f X A,n 1A ?」i XA n,nn 1 i XA n n 1,n 1X,A n ,n 11n 1D nD n .f X XX-,X 2 X nX i X jnX 1X 2X nX iX jD n X 1X 2 X n1 j iX inX j5.1降阶法和递推法2 1 00 01 2 10 0 例19计算行列式D n0 1 2 0 00 0 0 2 10 0 01 2分析：乍一看该行列式，并没有什么规律•但仔细观察便会发现，按 第一行展开便可得到n 1阶的形式.解：将行列式按第一行展开，得 D n 2D n 1 D n 2 即D n D n 1 D n 1D n 2・ D n D n 1 D n 1D n 2 D 2 D 13 2 1D n1 D n11 11D n n1n 12n 1.5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20计算行列式解：从第一行开始，依次用上一行的 1倍加到下一行，进行逐行相加，得1 sin 1 1 sin 2.2. 2sin 1 sin 1 sin 2 sin 2.2 .3 .2.3sin 1 sin 1sin2sin1 sin 31 sin 422sin 3 sin 3sin 4 sin 4.2.3.2.3sin3sin 3 sin4sin1 1D1 11行列式来间接求出D n 的值. 构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1 1 1 1X 1 X 2 X n X2 2 2 2X 1 X 2 X n XXn 2 n 2 n 2 n 2X 1 X 2 X n X n 1 n 1 n 1 n 1X 1 X 2 Xn X n n n nX 1 X 2 X n Xsin 1 .2 sin 1 .3 sin 1 1 sin 2 .2 sin 2 .3sin 2 1 sin 3 .2 sin 3.3 sin 31sin 4 .2sin 4.3sin 4再由范德蒙德行列式,sin ・2 sin ・3 sin sin ・2 sin ・3 sin sin ・2 sin ・3 sin sin・2sin ・3sin sin i 1 j i 4sin 5.3构造法和套用范德蒙德行列式1 1 1X 1 X 2 X n2 2 2例21求行列式D n X 1 X 2 X nn 2 n 2 n 2X 1 X 2 X n n n n X 1 X 2 X n解：虽然D n 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n 1阶的范德蒙德将f X 按第n 1列展开，得其中， X n 1 的系数为又根据范德蒙德行列式的结果知由上式可求得 X n 1的系数为故有小结本文主要介绍了行列式计算的一些技巧和方法，还有一些特殊行 列式的计算技巧，通过归纳和总结这些技巧和方法，让读者在计算行 列式时游刃有余．然而在这么多方法面前，我们需要多观察、多思考， 这样便于我们更加轻松地解决有关行列式的问题，也让我们更加灵活 的运用这些方法和技巧来解决实际问题．参考文献 :[1] 北大数学系代数小组 . 高等代数（第三版） [M]. 北京：高等教 育出版f XA 1,n 1 A 2,n 1X A n,n 1X n1 A n n 1,n 1X ，A n,n 1 1n 1 D n D n .f X X X 1X 2 X n ji X i nX j X 1 X 2 X n X i X jD nX 1 X 2 X n 1ji X i nX j社，2003: 50〜104.[2] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京：中央民族大学出版社，2002: 24〜58[3] 刘家保，陈中华，陆一南. 若干类型行列式计算方法. 佛山科学技术学院学报（自然科学版），2012 年3 月，30（2）.[4] 杨鹏辉. 行列式的计算技巧. 宜春学院报，2011 年4月，33（4）.[5] 丁冰. 三线型行列式的计算. 科技通报,20 1 2 年2月,28（2）.[6] 龚德仁. 高阶行列式计算的若干技巧.课外阅读（中下）.2012 年03 期.[7] 张新功. 行列式的计算方法探讨. 重庆师范大学学报（自然科学版），2011 年7 月,28（4）.[8] 王爱霞.关于n阶行列式的计算方法与技巧的探讨.佳木斯教育学院学报.201 2 年第1 期.[9] 樊正华，徐新萍. 浅谈行列式的计算方法. 江苏教育学院学报（自然科学），2011 年2 月，27（1）.[10] 卢潮辉. 三对角行列式的计算. 漯河职业技术学院学报,2010 年3 月,9（2）.[11] 陈林. 求n 阶行列式的几种方法和技巧. 科技信息报，2007 年第8 期.[12] “爪”字型和“么”字型行列式的计算. 河北理科教学研究（短文集锦）,2006 年第4期.学习体会与建议：计算行列式的最重要的一点就是化繁就简。
行列式计算ppt
1 1 3
det A 1 0 1 , det AT 2 0 2
3 2 2
3 1 2
de tA de tAT
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
2 计算行列式detA，detB，指出它们满足什么
关系
1 2 3
1 0 1
det A 1 0 1 det B 1 2 3
3 2 2
3 2 2
det B det A
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an1
an2
an3 ann
作为结论记住
1234
0421
D 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
000 1 2
2 (2)(1)11110!
000
10
以例子引入行列式性质
1 计算行列式detA，detAT，指出它们满 足什么关系
1 2 3
det A a11 a12
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
行列式计算方法小结
计算公式
对角行列式的计算公式为 $Delta = prod_{i=1}^{n} a_{ii}$，其中 $a_{ii}$ 表 示第 $i$ 行第 $i$ 列的元素。
04
行列式计算在矩阵中的应 用
行列式与矩阵的逆
总结词
上三角行列式的计算公式为 $Delta = sum_{i=1}^{n} (1)^{i+j} a_{ij} prod_{k=1}^{i1} a_{ik}$，其中 $a_{ij}$ 表示 第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
在计算上三角行列式时，需要 注意保持运算的正确性，避免 因元素位置错位导致计算错误 。
矩阵的秩是其行或列向量中线性无关向量的个数，而零行列式的矩阵必然有零秩 。因此，通过计算行列式值，可以确定矩阵秩的性质。
行列式与线性方程组
总结词
行列式在解线性方程组中起到关键作 用，通过行列式的性质可以简化方程 组的求解过程。
详细描述
对于线性方程组，如果系数矩阵的行 列式不为零，则该方程组有唯一解。 此外，行列式的性质如代数余子式等 在方程组的求解过程中也具有重要应 用。
代数余子式是由去掉一个元素后得到的$(n-1)$阶行列 式乘以一个系数$(n-1)$得到的。这种方法在实际应用 中较为常用，特别是在行列式中有很多零元素的情况。
展开法Βιβλιοθήκη 展开法是一种基于行列式展开定理的计算行列式值的方 法。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{matrix}|$，其 值等于按照某一行或某一列展开后的代数和。
高等代数行列式的计算方法小结
... ... ...
...
a1 a2 a3 · · · xn
其中 xi ̸= ai, i = 2, 3 · · · n.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
爪形行列式
解 把上面行列式的第一行的 −1 倍依次加到其余各行得，
...
.
cn
an
称这类行列式为爪形行列式.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
化三角形法
分析 得分两种情形讨论. 如果 a2, · · · , an 都不是 0 就可以通过把
第
j
列的
−
ci ai
倍加到第
1
列得到三角行列式.
a2
c2
...
...
D = (−1)i+1bi(−1)i−2
ai−1 ci−1
ci
ci+1 ai+1
...
...
cn
an
= −a2 · · · ai−1biciai+1 · · · an.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
. .. . . ..
化三角形法
1
+
a1
+
∑n
i=2
ai a1
1
1 ··· 1 1
a2
a3 ...
an
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
高等代数课件(北大版)第二章-行列式§2
方法二
（2） 1 2 n (n 1) (n 2)
n(n 1) n(n 1) n2
2
2
当 k 为偶数时为偶排列，
21
当 k 为奇数时为奇排列.
§2.2 2024/10/5 排列
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四 、对换
定义 把一个排列中某两个数的位置互换, 而
其余的数不动, 得到另一个排列, 这一变换 称为一个对换. 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.
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注:
① 排列 123 n 称为标准排列，其逆序数为０．
② 排列 j1 j2 jn 的逆序数常记为 ( j1 j2 jn ).
③ ( j1 j2 jn ) j1 后面比 j1小的数的个数 方法一
j2 后面比 j2 小的数的个数
jn1 后面比 jn1 小的数的个数.
或 ( j1 j2 jn ) j2 前面比 j2大的数的个数 方法二
§2.2 2024/10/5 排列
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推论
所有 n 级排列中，奇、偶排列各半， 均为 n! 个. 2
证明 设在全部 n 阶排列中，有 s 个奇排列， t 个
偶排列，下证．s t
将 s 个奇排列的前两个数对换，则这 s 个奇排列
全变成偶排列，并且它们彼此不同， s t.
同理，将 t 个偶排列的前两个数对换，则这 t 个
（1） n(n 1) 321 （2） (2n)1(2n 1)2(2n 2)3 (n 1)n
§2.2 2024/10/5 排列
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答案:
方法一
(1) (n 1) (n 2) 2 1 n(n 1)
2 当 n 4k, 4k 1 时为偶排列；