第10章 曲线积分与曲面积分 习题 10- (3)

L
ydx − xdy , 其中 L 为 x2 + y 2
圆周 ( x − 1) 2 + ( y − 1)2 = 1 的正向; 椭圆 x 2 + 4 y 2 = 4 的正向.
解 (1) L 为封闭曲线, 如图 10.20 所示. 记 L 所围 的区域为 D, 则 D 不包含坐标原点, 可以使用格林公式. 令 y x P ( x, y ) = 2 , Q ( x, y ) = − 2 , 2 x +y x + y2
其中 L 是域
D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin x}
的正向边界;
(4)
∫L (e siny + 8 y)dx+(e
x
x
cos y − 7 x)dy,
其 中 L 是 从 点 O(0,0) 沿 上 半 圆 周
x 2 + y 2 = 6 x ( y ≥ 0) 到点 A(6,0) 的弧段; (5)
∵ ( x 2 + 2 xy 2 )dx − ( y 3 − 2 x 2 y )dy = x 2 dx − y 4 dy + 2 xy 2 dx + 2 x 2 ydy = d(
x3 y 3 2 2 − +x y ), 3 4
∴
∫(0,1)
(2)
(1,3)
( x 2 + 2 xy 2 )dx − ( y 3 − 2 x 2 y )d y = (
O
D1
2
x
∫L
ydx − xdy = x2 + y 2
∫ L +l
D1 0
ydx − xdy − x2 + y 2
1 r2
∫l
ydx − xdy x2 + y 2
图 10.21
= ∫∫ 0dxdy −
∫2π
0
r sin t (−r sin t ) − r cos t ⋅ r cos t dt r2
= ∫ dt = −2 π.
∵ (1+xe2 y )dx +(x 2 e2 y − y )dy = dx − ydy + xe2 y dx +x 2 e2 y dy = d(x −
y2 1 2 2 y + x e ), 2 2
∴
∫(0,0)
(2,2)
(1+xe 2 y )dx +(x 2 e 2 y − y )dy = ( x −
第三节
习题
1. (1) (2)
格林公式
10-3
计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性.
∫ L (1 − x ∫ L (x
(1)
3
2
) ydx + x(1 + y 2 )dy, 其中 L 是沿圆周 x 2 + y 2 = R 2 , 逆时针方向; A(1,0), B(0, 2) 为顶
− 3 y )dx + ( x + sin y )dy, 其中 L 是以点 O(0,0),
2
5. 证明下列曲线积分在整个 xOy 平面内与路径无关, 并计算积分值: (1) (2) (3)
解
∫(0,1) ( x
(2,2)
(1,3)
+ 2 xy 2 )dx − ( y 3 − 2 x 2 y )d y;
2y
∫(0,0) (1+xe
( a ,b )
)dx +(x 2 e 2 y − y )dy;
5
y 2 1 2 2 y (2,2) + x e ) (0,1) = 2e4 . 2 2
∫L (2 x − 4 − y)dx + (5 y + 3x − 6)dy,
其中 L 为自点 O(0,0) 到点 A(3, 2), 再到
点 B(4, 0) 的折线段. 解 则有
(1) 如图 10.16 所示, 记 L 所围的区域为 D, 1
y
L: x + y =1
∫ L ( x + y)dx + ( x − y)dy
= − ∫∫ [(e x cos y ) − 7 − (e x cosy + 8)]dxdy − 0 = 15∫∫ dxdy =
D D
(5) L 如图 10.19 所示, L 不封闭, 添加有向线段 BO , 记 L 及 BO 所围的区域为 D (L 及 BO 构成 D 的负向边界), 则有 y A ∫L (2 x − 4 − y)dx + (5 y + 3x − 6)dy 2 L D (2 x − 4 − y )dx + (5 y + 3x − 6)dy = B
若用格林公式计算此曲线积分, 则有
∫ L (x
3
1 − 3 y )dx + ( x + sin y )dy = ∫∫ [1 − (−3)]dxdy = ∫∫ 4dxdy = 4 × × 1 × 2 = 4, 2 D D
显然格林公式是正确的. 且本题采用格林公式计算要简单些. 2. 利用格林公式计算下列曲线积分:
y B2 y = −2 x + 2 D
O
∫ L (x
OA
3
− 3 y )dx + ( x + sin y )dy
1 A
x
= ∫ ( x3 − 3 y )dx + ( x + sin y )dy + ∫ ( x3 − 3 y )dx + ( x + sin y )dy
AB
图 10.15
+∫
1 0
BO
( x3 − 3 y )dx + ( x + sin y )dy
∫ L e [(1 − cos y)dx − ( y − sin y)dy]
x
= ∫∫ [e x (− y + sin y ) − e x sin y ]dxdy
D
= ∫∫ − ye x dxdy = ∫ e x dx ∫
D 0
π
sin x
0
ydy
2
=∫
π
0
π1 1 x 2 e sin xdx = ∫ e x (1 − cos 2 x)dx 0 4 2
y
L :(x −1)2 + ( y −1)2 = 1 D 1
图 10.20
1 O
∂P( x, y ) ∂Q( x, y ) x2 − y2 = = 2 , 应用格林公式, 有 易知 ∂y ∂x ( x + y 2 )2
3
x
∫L
ydx − xdy ∂Q( x, y ) ∂P( x, y ) = ∫∫ ( − )dxdy = ∫∫ 0dxdy = 0. 2 2 ∂x ∂y x +y D D
(1) (2)
(3)
∫ L ( x + y)dx + ( x − y)dy, ∫L
其中 L 是由方程 x + y = 1 所确定的正向闭路;
( x 2 + y )dx − ( x − y 2 )dy, 其中 L 是椭圆
x
x2 y 2 + = 1 的正向闭路; a 2 b2
∫ L e [(1 − cos y)dx − ( y − sin y)dy],
(2) L 为封闭曲线, 如图 10.21 所示, 所围区域包含坐标原点, 不能直接使用格 林公式. 作圆周 l : x2 + y 2 = r 2 ,
其中圆的半径 r 充分小, 使得圆所围的区域完全包含在 L 所围的区域中, 且取顺时针方向. 记 L 和 l 所围的区 域为 D1 , 则有
y 1 L : x2 + 4 y 2 = 4 l
y a
2
2
2
L : x3 + y3 = a3
所围成的图形的面积为
O
a x
A= = = = (2)
1 − ydx + xdy 2 ∫L 1 2π 3sin 2 t cos 2 tdt 2 ∫0 3 2π 2 sin 2tdt 8 ∫0 3 2π 1 − cos 4t 3 dt = π. ∫ 0 8 2 8
点的三角形区域的正向边界. 解 ⎧ x = R cos t , L: ⎨ t 从 0 变到 2π. ⎩ y = R sin t ,
2
∫ L (1 − x
= ∫ (R 4
0 2π
) ydx + x(1 + y 2 )dy = ∫ (2R 4 sin 2 t cos 2 t + R 2 cos 2 t − R 2 sin 2 t )dt
2π
4. 利用第二类曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积: (1) (2) (3)
解 曲线 x = cos3 t , y = sin 3 t; 双纽线 ρ = a cos 2θ ; 椭圆 9 x 2 + 16 y 2 = 144.
(1) 如图 10.22 所示, 星形线
3 ⎧ ⎪ x = cos t , L: ⎨ (0 ≤ t ≤ 2π) 3 ⎪ ⎩ y = sin t
(1,3) x3 y 4 32 − + x2 y2 ) =− . (0,1) 3 4 3
令 P( x, y ) = 1+xe2 y , Q( x, y ) = x 2 e2 y − y, 易知
∂P( x, y ) ∂Q( x, y ) = = 2 xe2 y , ∂y ∂x
因此曲线积分在整个 xOy 平面内与路径无关. 又
= ∫∫ (1 − 1)dxdy = 0.
D
−1
O −1
D
1 x
(2)
∫L
D
( x 2 + y )dx − ( x − y 2 )dy
图 10.16
= ∫∫ (−1 − 1)dxdy = −2 πab. (3) L 如图 10.17 所示, 则有 y A O L : y = sin x D
π x
图 10.17
0
2π
1 − cos4t 1 + cos 2t 1 − cos 2t π + R2 − R2 )dt = R 4 . 4 2 2 2
2
若用格林公式计算此曲线积分, 记 L 所围的区域为 D, 则有
∫ L (1 − x
) ydx + x(1 + y 2 )dy = ∫∫ [1 + y 2 − (1 − x 2 )]dxdy = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy
D D
= ∫ dθ ∫ ρ 3dρ =
0 0
2π
R
π 4 R , 2
显然格林公式是正确的. (2) 如图 10.15 所示, L = OA + AB + BO, 其中 OA : y = 0, x 从 0 变动到 1, AB : y = −2x + 2, x 从 1 变动到 0, BO : x = 0, y 从 2 变动到 0 .
其右半部分的参数方程为
4
图 10.22
双纽线 L 如图 10.23 所示,
⎧ π π ⎪ x = a cos 2θ cos θ , (− ≤ θ ≤ ). ⎨ 4 4 ⎪ ⎩ y = a cos 2θ cos θ
双纽线所围成的图形的面积为
y
θ=
π 4 a
A= =
1 − ydx + xdy 2 ∫L 1 × 2× ∫ 2
0 0
= ∫ x3dx + ∫ [( x3 − 3(−2 x + 2) + ( x + sin(−2 x + 2)(−2)]dx + ∫ sinydy
1 2
=
1 1 1 + cos 2 − 1 − ∫ ( x3 + 4 x − 6)dx + 2∫ sin(2 − 2 x)dx = 4. 0 0 4
1
∫L (e siny + 8 y)dx+(e
x
x
cos y − 7 x)dy
y
3
x
L : x2 + y 2 = 6x D A 6 x
=
∫ L+ AO (e siny + 8 y)dx+(e
x
cos y − 7 x)dy
O
2
图 10.18
135 π. 2
−∫
AO
(e x siny + 8 y )dx +(e x cos y − 7 x)dy
(Fra Baidu bibliotek)
1 π 1 1 1 π = e x − ⋅ e x (cos 2 x + 2sin 2 x) 0 = (e π − 1). 4 0 4 5 5 L 如图 10.18 所示, L 不封闭, 添加有向线段 AO : y = 0 , 记 L 及 AO 所围
的区域为 D (L 及 AO 构成 D 的负向边界), 则有
∫ L + BO
−∫
BO
O
3
图 10.19
4
x
(2 x − 4 − y )dx + (5 y + 3x − 6)dy
0 4
= − ∫∫ (3 + 1)dxdy − ∫ (2 x − 4)dx = −4∫∫ dxdy + ∫ (2 x − 4)dx = −16.
D
4
D
0
3. 计算曲线积分 ∫ (1) (2)
π 4 a2 π − 4
O
x
θ =−
图 10.23
cos 2θ dθ = a 2 .
π 4
(3)
⎧ x = 4 cos t , 椭圆 L : ⎨ (0 ≤ t ≤ 2 π) 所围成的图形的面积为 ⎩ y = 3sin t A= 1 1 2π − ydx + xdy = ∫ [−3sin t ⋅ (−4sin t ) + 4cos t ⋅ 3cos t ]dt = 12 π. ∫ 2 L 2 0
∫(0,0) 1 + ( x + y)2 .
(1) 令 P( x, y ) = x 2 + 2 xy 2 , Q( x, y ) = − y 3 + 2 x 2 y, 易知 ∂P( x, y ) ∂Q( x, y ) = = 4 xy, ∂y ∂x
dx +dy
因此曲线积分在整个 xOy 平面内与路径无关. 又