“12+4”小题组合限时训练(二)

“12+4”小题组合限时训练（二）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 设集合A ＝{x |x ＞－1}，B ＝{x |－2＜x ≤1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(－1,1] C ．[－1,1]

D ．(－2,1]

解析：选B 由题意知A ∩B ＝{x |－1＜x ≤1}，故选B. 2．已知i 是虚数单位，复数i z ＝2＋i ，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．1＋i

D ．1－i

解析：选A 由题意知：z ＝2＋i i ＝2i ＋i 2i 2＝2i －1

－1＝1－2i ，因此z ＝1＋2i.故选A.

3. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＋a 3＋a 4＝42，则S 5＝( ) A ．32 B ．30 C ．60

D ．70

解析：选D 因为a 2＋a 4＝2a 3，所以a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝42，所以a 3＝14，所以S 5＝5(a 1＋a 5)

2

＝5a 3＝70.故选D.

4.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长分别为1和2的矩形，俯视图为半径为1的四分之一个圆，则该几何体的体积为( )

A.13π B ．12π

C.23

π D ．π

解析：选B 由三视图可得其直观图如图所示，该几何体是圆柱的四分之一， 所以体积为14×π×12×2＝π

2

.

5．执行如图所示的程序框图，若输入的实数x ＝4，则输出的结果为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．14

解析：选C 依据程序框图知，输入x ，当x >1时，y ＝log 2x ；当x ≤1时，y ＝x －1.故输入x ＝4，输出y ＝log 24＝2.

6. 函数f (x )＝sin x －x cos x 的图象大致是( )

解析：选A 因为sin(－x )－(－x )cos(－x )＝－(sin x －x cos x )，所以函数f (x )＝sin x －x cos x 为奇函数，排除B 、D 选项；又f ′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(0，π)上单调递增，排除C.故选A.

7．已知向量OM ―→＝(1,0)，ON ―→＝(0,2)，NP ―→＝tNM ―→，则当|OP ―→

|取最小值时，实数t ＝( ) A.13 B ．15

C.45 D ．23

解析：选C 由NP ―→＝tNM ―→

，知P 在直线MN 上，当OP ⊥MN 时，|OP ―→

|最小．

如图，|MN |＝

12＋22＝5，

又|ON |2＝|NP ||NM |， ∴|NP |＝|NO |2|MN |＝225

＝45

5，

|NP |＝45|NM |，这时NP ―→＝45NM ―→

，∴t ＝45

.

8．在△ABC 中，如果cos ()2B ＋C ＋cos C >0，那么△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形

D ．等腰三角形

解析：选A ∵A ＋B ＋C ＝π，

∴cos(2B ＋C )＋cos C ＝cos ()

B ＋B ＋

C ＋cos [π－(B ＋A )]＝cos [B ＋(π－A )]＋cos [π－(B ＋A )]＝cos [π＋(B －A )]＋cos [π－(B ＋A )]＝－cos(B －A )－cos(B ＋A )＝－cos B cos A －sin B sin A －cos B cos A ＋sin B sin A ＝－2cos B cos A >0，

∴cos B cos A <0，

∴cos B 与cos A 一正一负， 又A ，B ∈(0，π)， ∴△ABC 为钝角三角形．

9. 已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，过点F 且斜率为3的直线交抛物线C 于点A ，B 两点，则|AF |·|BF |等于( )

A.13 B ．43

C ．1

D ．4

解析：选A 因为抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F 1

4，0，所以直线AB 的方程为y ＝3x －

14

，直线AB 的方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝3x －14

，y 2＝x ⇒48x 2－40x ＋3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝4048＝56，x 1x 2＝348＝116，抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－1

4

，

所以|AF |·|BF |＝x 1＋14x 2＋1

4

＝x 1x 2＋14(x 1＋x 2)＋116＝116＋14×56＋116＝1

3.

故选A.

10．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱DD 1的中点，则平面AC 1E 截该正方体所得的截面面积为( )

A ．2 5

B ．2 6

C ．4 6

D ．5

解析：选B 如图所示，设F 为BB 1的中点，连接AF ，FC 1，设G 为CC 1的中点，连接EG ，GB ，由EG ∥AB 且EG ＝AB ，得四边形ABGE 是平行四边形，则AE ∥BG 且AE ＝BG ，

又BG ∥C 1F 且BG ＝C 1F ，得AE ∥C 1F 且AE ＝C 1F ，则A ，E ，C 1，F 共面， 故平面AC 1E 截该正方体所得的截面为AFC 1E . 又AF ＝FC 1＝EC 1＝EA ，AC 1＝23，EF ＝22， EF ⊥AC 1，

故截面AFC 1E 的面积为S ＝1

2

×22×23＝2 6.

11．已知椭圆E ：x 2a ＋2＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为2

2，若面积为4的矩形ABCD 的四个顶

点都在椭圆E 上，点O 为坐标原点，则|OA |2＝( )

A.

2±1

2

B ．3

C ．3±12

D ．3±2

2

解析：选D 由椭圆E 的离心率为2

2，得

a ＋2－a a ＋2

＝

2

2

，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2

2

＝1，

不失一般性，设A (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭

⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 由椭圆与矩形的对称性可得该矩形的面积S ＝2cos θ×2sin θ＝1， 所以sin 2θ＝

22，即2θ＝π4或3π4，可得cos 2θ＝±2

2

， 所以|OA |2＝4cos 2θ＋2sin 2θ＝2cos 2θ＋2＝cos 2θ＋3＝3±2

2，故选D.

12．设a ≠0，若对任意x ∈R ，都有(ax －1)[e (a ＋1)x

－2]≥0，则实数a 的值为( )

A ．ln 2－1

B ．

1

ln 2－1

C ．e －2

D ．

1e －2