高中数学抛物线焦点弦的有关结论

抛物线焦点弦的有关结论

知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则

（1）4

2

21p x x =；（2）221p y y -=

证明：如图，

（1）若AB 的斜率不存在时，

依题意,2

21p

x x ==4221p x x =∴

若AB 的斜率存在时，设为,k 则⎭ ⎝

⎛

=2:k y AB

()

04222222

222

2=++-⇒=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k

.4221p x x =∴ 综上：.4

2

21p x x =

（2）p y x p y x 2,22

22211== ，,22142

221p y y p y y ±=⇒=∴

但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2

:p

my x AB +

=与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α证明：（1）由抛物线的定义知

,2

,221p

x BF p x AF +=+=

p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x =

==则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=≠与设α联立，得

()

04222222

222

2

=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-p k px k x k px p x k

(),22221k k p x x +=+∴()

22211

2k k p p x x AB +=++=∴，而αtan =k ，

()

α

αα2

22sin 2tan tan 12p

p AB =+=∴ 知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

证明：过点B A 、,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r

.

2211r MN MN BB AA BF AF AB r =∴=+=+==

∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则0

1190=∠FB A 。

证明借助于平行线和等腰三角形容易证明

知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠

证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为11////BB KF AA

B B BF A A AF FB AF K B K A 1111,===∴而 B B A A K B K A 1111=∴

B

B K

B A A K A 1111=∴，而01190=∠=∠K BB K AA K AA 1∆∴∽K BB 1∆ KB B KA A 11∠=∠∴ BKF AKF ∠=∠∴

知识点6：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接

AO 并延长交该抛物线的准线于点,C 则.//OF BC

证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，则

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴=1111

2,2,:x p y p C x x y y AB 1

2

2

1

111222y p p

y p y x p y y C -=⋅-=-=∴ 由知识点1知2

21p y y -= 22

22

y y p p y C =--=∴ OF BC //∴ 逆定理：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，过点B 作OF BC //交抛物线准线于点,C 则O C A 、、三点共线。

证明略

知识点7：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F .211p

n m =+ 证法：（1）若x AB ⊥轴，则AB 为通径，而,2p AB =

p n m ==∴ ∴

.2

11p

n m =+ （2）若AB 与x 轴不垂直，设(),,11y x A ()22,y x B ，AB 的斜率为k ，则⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=2:p x k y l 与

px y 22=联立，得()

04222222

222

2=++-⇒=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k

()

,22

221k

k p x x +=+∴.42

21p x x = 由抛物线的定义知2

,221p

x BF n p x AF m +==+

==

∴

()p p

x x p x x p x x mn

n m n m 2

4

2112

212121=+

++++=+=+ 知识点8：已知抛物线()022>=p px y 中，AB 为其过焦点F 的弦，,,n BF m AF ==则

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB

4

2

证明：设,θ=∠AFx 则

BOF AOF AOB S S S ∆∆∆+=

()()θθ

θπsin 4

sin 221sin 221n m p

p

m p +=⋅⋅+-⋅⋅=

而mn p p mn p n p m 2

2

2sin ,sin ,cos 1,cos 1=∴=∴+=-=θθ

θθ ().4422⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=+=∴∆n m m n p mn p n m p S AOB

逆定理：已知抛物线()022>=p px y 中，AB 为其弦且与x 轴相交于点M ，若

,,n BM m AM ==且,4

2⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB

则弦AB 过焦点。 证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，,θ=∠AMx ()0,t M ，则

BOM AOM AOB S S S ∆∆∆+==()()θθθπsin 2

1

sin 21sin 21t n m tn tm +=+-

而,sin ,sin 21n

y m

y =

=

θθ mn

y y 2

12sin -=

∴θ mn y y 21sin -=

∴θ ()()21212121

y y t mn n m mn y y t n m S AOB -+=-+=∴∆ 而()2214

22

p mn n m n m m n p S AOB

+=⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+=∆ 2221p y y t =-∴①