2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第四节指数与指数函数课件文北师大版202102191

A．f(b)<f(a)<f(c)
B．f(c)<f(b)<f(a)
C．f(c)<f(a)<f(b)
D．f(b)<f(c)<f(a)
[解析] 易知 f(x)＝2x－2－x 在 R 上为增函数，又 a＝79－14＝9714>9715＝b>0，c＝ log279<0，则 a>b>c，所以 f(c)<f(b)<f(a)．选 B. [答案] B
(2)(2020·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是 ________． [解析] 曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图像如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1，1]．
[答案] [－1，1]
②n
a，n为奇数， an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0，
n为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：amn ＝__n__a_m_____(a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)；
②负分数指数幂：a
1 m ＝____a_n_____＝ 1 (a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)；
n am
C．0≤a＜1
D．a≥1
[解析] ∵f(x)＝32xx－ ，2x， ≥x1＜1， 若 f(f(a))＝2f(a)，则 f(a)≥1， 当 a＜1 时，3a－2≥1，∴3a≥3，∴a≥1 矛盾， 当 a≥1 时，2a≥1，显然成立，故选 D.
[答案] D
(2)不等式 2 ＜4 的解集为________．
5．对于函数 y＝af(x)和复合函数 y＝f(ax)的定义域、值域常利用换元法，其关键点： (1)函数 y＝af(x)的定义域与 f(x)的定义域相同． f(ax)的定义域：使 ax 在 f(x)的定义域内，解指数不等式． (2)y＝af(x)的值域：先确定 f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定 y＝af(x)的值 域． (3)y＝f(ax)的值域：先确定 ax 的值域、再利用 f(x)的性质确定 y＝f(ax)的值域．
第二章 函数、导数及其应用
第四节 指数与指数函数
1．根式 (1)根式的概念
[基础梳理]
①若___x_n_＝__a___，则 x 叫作 a 的 n 次方根，其中 n＞1 且 n∈N＋.式子n a叫作根式， 这里 n 叫作根指数，a 叫作被开方数．
②a 的 n 次方根的表示：
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N＋)．
[解析] 不等式 2 ＜4 可转化为 2 ＜22，利用指数函数 y＝2x 的性质可得， x2－x＜2，解得－1＜x＜2，故所求解集为{x|－1＜x＜2}． [答案] {x|－1＜x＜2}
[破题技法] 1.形如 ax＞ab 的不等式，借助于函数 y＝ax 的单调性求解，如果 a 的 取值不确定，需分 a＞1 与 0＜a＜1 两种情况讨论． 2．形如 ax＞b 的不等式，注意将 b 转化为以 a 为底数的指数幂的形式，再借助于 函数 y＝ax 的单调性求解． 3．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在 必要时进行分类讨论． 4．利用复合函数判断形如 y＝af(x)的单调性，它的单调区间与 f(x)的单调区间有关．
考点一 实数指数幂的化简与求值
[例] (1)化简4 16x8y4(x＜0，y＜0)的结果为( )
A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
1
11
1
1
[解析] 4 16x8y4＝(16x8y4)4＝[24(－x)8·(－y)4]4＝24·4·(－x)8·4·(－y)4·4＝2(－x)2(－y)
挖掘 2 利用图像研究问题/ 互动探究 [例 2] (1)函数 f(x)＝ax－b 的图像如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的 是( ) A．a＞1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
[解析] 由 f(x)＝ax－b 的图像可以观察出，函数 f(x)＝ax－b 在定义域上单调递减，所 以 0＜a＜1. 函数 f(x)＝ax－b 的图像是在 f(x)＝ax 的图像的基础上向左平移得到的，所以 b＜0， 故选 D. [答案] D
(2)设函数 f(x)＝x2－a 与 g(x)＝ax(a＞1 且 a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，
则 M＝(a－1)0.2 与 N＝1a0.1的大小关系是(
)
A．M＝N
B．M≤N
C．M＜N
D．M ＞N
[解析] 因为 f(x)＝x2－a 与 g(x)＝ax(a＞1 且 a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单
(3)(2020·浙江镇海中学检测)不论 a 为何值，函数 y＝(a－1)2x－a2恒过定点，则这个
定点的坐标是( )
பைடு நூலகம்
A．(1，－12)
B．(1，12)
C．(－1，－12)
D．(－1，12)
[解析] y＝(a－1)2x－a2＝a(2x－12)－2x，令 2x－12＝0，得 x＝－1，故函数 y＝
(a－1)2x－a2恒过定点(－1，－12)． [答案] C
[破题技法] 与指数函数有关图像问题的求解方法 (1)已知函数解析式判断其图像，一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些 点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通 过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应 注意分类讨论．
将本例(1)中的“x＜0，y＜0”去掉后，如何化简该式． 解析：4 16x8y4＝2|x2y|＝2－x22yx2yy≥y0＜0.
考点二 指数函数的图像及应用 挖掘 1 由解析式辨识图像/ 自主练透 [例 1] (1)(2020·河北武邑中学调研)函数 y＝e－|x－1|的大致图像是( )
[解析] 当 x＝1 时，y＝1，排除 C、D.
3．指数函数的图像及性质
函数
y＝ax(a＞0，且 a≠1)
0＜a＜1
图像
a＞1
图像
在 x 轴___上__方_____，过定点__(_0_，__1_)___
特征 当 x 逐渐增大时，图像逐渐下降 当 x 逐渐增大时，图像逐渐上升
定义域
_____R_____
值域
___(_0_，__＋__∞_)___
在例 2(2)中，将曲线变为 y＝|2x－1|，与直线 y＝b 有且只有一个公共点，则 b 的取 值范围是________． 解析：y＝|2x－1|其图像如图所示， 要使 y＝b 与曲线只有一个公共点必须 b≥1 或 b＝0，当 b ＝0 或 b≥1 时，y＝b 与曲线只有一个公共点．
答案：{0}∪[1，＋∞)
1．一个关注点
n a开方化简，要看 n 的奇偶性． 2．指数函数图像和性质的注意点 (1)指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图像和性质与 a 的取值有关，应分 a＞1 与 0＜a ＜1 来研究． (2)画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， －1，1a.
当 x＞1 时，y＝e－(x－1)为减函数，排除 A.
故选 B.
[答案] B
(2)函数 f(x)＝1－e|x|的图像大致是( )
[解析] f(x)＝1－e|x|是偶函数，图像关于 y 轴对称， 又 e|x|≥1，所以 f(x)的值域为(－∞，0]， 因此排除 B、C、D，只有 A 满足． [答案] A
＝－2x2y.
[答案] D
(2)2350＋2－2·214－12－(0.01)0.5.
1
1
[解析] 原式＝1＋14×492－11002＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1165.
[破题技法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化 成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式来表示，运用指数幂的运算 性质来解答．
性 单调性 质 函数值
___减_______
___增_______
当 x＝0 时， ___y_＝__1____
变化规 当 x＜0 时， ___y_＞__1____； 律 当 x＞0 时， __0_＜__y_＜__1__
当 x＜0 时， __0_＜__y_＜__1__； 当 x＞0 时， ___y＞__1_____
3．指数函数的图像与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图像，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b.
规律：在 y 轴右(左)侧图像越高(低)，其底数越大．
4．指数函数图像的对称规律 函数 y＝ax 的图像与 y＝a－x 的图像关于 y 轴对称，y＝ax 的图像与 y＝－ax 的图像 关于 x 轴对称，y＝ax 的图像与 y＝－a－x 的图像关于坐标原点对称．
调性，所以 a＞2，所以 M＝(a－1)0.2＞1，N＝1a0.1＜1，所以 M＞N，故选 D. [答案] D
挖掘 3 有关指数型的不等式求解/ 互动探究
[例 3] (1)函数 f(x)＝32xx－，2x，≥x1＜1，满足 f(f(a))＝2f(a)，a 的取值范围是(
)
A．a≥－23
B．23≤a＜1
1．将本例(1)变为 y＝ 答案：[14，＋∞)
，其值域如何？
2．将本例(1)变为 y＝a
，其值域如何？
答案：当 0＜a＜1，值域为0，a12； 当 a＞1 时，值域为a12，＋∞
挖掘 2 比较指数幂的大小/ 互动探究
[例 2] (1)已知 f(x)＝2x－2－x，a＝79－14，b＝9715，c＝log279，则 f(a)，f(b)，f(c) 的大小关系为( )
③0 的正分数指数幂等于______0____，0 的负分数指数幂__无__意__义____．
(2)有理数指数幂的运算性质： ①aras＝___a_r_＋_s____(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝____a_rs_____(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝____a_r_b_r ___(a＞0，b＞0，r∈Q)．
减函数，所以 0＜y＝12t≤12－2＝4，故所求函数的值域为(0，4]． [答案] C
(2)函数 y＝14x－12x＋1 在 x∈[－3，2]上的值域是________． [解析] 因为 x∈[－3，2]，若令 t＝12x，则 t∈14，8. 则 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 所以所求函数值域为34，57. [答案] 34，57
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解不等式 4x＋2x＋1－8≥0. 解析：原不等式为(2x)2＋2×2x－8≥0， ∴(2x－2)(2x＋4)≥0，∵2x＞0 恒成立， ∴2x－2≥0，∴x≥1，解集为[1，＋∞)．
考点三 指数函数的性质及应用
挖掘 1 指数型函数的定义域、值域/ 互动探究
[例 1] (1)函数 y＝12x2＋2x－1的值域是(
)
A．(－∞，4)
B．(0，＋∞)
C．(0，4]
D．[4，＋∞)
[解析] 设 t＝x2＋2x－1，则 y＝12t.因为 t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝12t为关于 t 的
[四基自测]
1 1．(基础点：有理数指数幂运算)化简[(－2)6]2－(－1)0 的结果为( )
A．－9
B．7
C．－10
D．9
答案：B
2．(基础点：指数函数图像)函数 f(x)＝1－ex 的图像大致是( ) 答案：A
3．(基础点：指数函数解析式)若函数 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)的图像经过点 A2，13， 则 f(－1)＝________． 答案： 3 4．(易错点：指数函数性质)函数 y＝(ax＋1)ex 过定点________． 答案：(0，1)
[破题技法] 对于 y＝ax(a＞0，a≠1) 当 a∈(0，1)且 a 逐渐变大时，图像右端(第一象限逐渐变“高”)，图像逐渐接近 y＝1，当 a＝1 时，图像就是直线 y＝1. 当 a∈(1，＋∞)时，a 逐渐变大，在第一象限内图像逐渐接近于 y 轴． 总之，图像过定点(0，1)，在第一象限内，逆时针方向看，底数逐渐变大．