高一数学竞赛讲义一三角函数的定义及同角三角关系

高一数学竞赛讲义一

一、角的推广-----弧度制

课标练习：

1.终边在坐标轴上的角的集合为

2.已知α是第二象限角，则3

α所在的象限为 3.1弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弧长为 ，圆心角所夹扇形的面积为 .

4.若角β的终边所在的直线经过点1)Q -，并且(2,2)βππ∈-，则β= 例题1：自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿.

（1） 当大链轮转过一周，小链轮转过的角度是多少？

（2） 如果打链轮转到速度为ω弧度/分钟，车轮半径为r 厘米，则自行车每分钟前进多少

米？

例题2：设,02x y z R x y z π∈<<<<

、、. 证明：

2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y z π++>++

例题3：已知对实数,a b ，不等式cos cos31a x b x +>无解，证明：1b ≤.

二、同角三角函数关系

课标练习：

1.已知角α的终边上一点(12,5)(,0)P m m m R m -∈≠且，求sin ,cos ,tan ααα的值.

2.求函数y =

的定义域.

3.利用单位圆证明：

（1）若α为锐角，则sin cos 1αα+>；

（2）若α为锐角，则sin tan ααα<<.

例题讲解：

例题1.如果sec tan 2cos ,tan sec cot x y x y θθθθθθ+=+=且，那么x =

例题2：（1）已知222cos cos sin ,cos sin sin ,sin sin sin 2B A C A A B C θθ==++=求证：

（2）已知2222sin

csc cos cos 1αβαγ+=，求证：222sin tan cot γαβ=∙

例题3：已知,x y 为正数，且222222sin cos cos sin 10,3()

x y x y x y θθθθ=+=+，则x y 的值为

例题4：设()cos22cos f x a x x a =+-，对x R ∈，恒有5()2f x ≤

，求a 的取值范围.

同步练习：

1.已知集合[]{22,},4,4A x k x k k Z B πππ=≤≤+∈=-，则A B ⋂= .

2.若弧长为2的圆心角所对的弦长为sin1π，则这个扇形的面积是

3.已知θ的终边过点(4,3)P a a -，且3sin 5θ=

，则tan θ= 4.若222tan (0,0),2

ab a b a b πθθθ=>><<-且那么sin 等于 5. 425sin cos ,sin cos 9

θθθθθ+=已知为第三象限角，且则的值等于 6.若方程2cos sin 002x x a x π-+=<≤

在内有解，则 a 的取值范围是 7.设33sin cos ,sin

cos 0k k αααα+=+<若成立，求的取值范围

8.已知

222tan tan tan )tan tan ,cos sin tan tan x x x αββαβα

-=-=（求证：.

9.已知2()86(21)f x x kx k =-++

（1）若()0f x =的两根分别为某三角形两内角的正弦值，求k 的取值范围；

（2）问是否存在实数k ，使()0f x =的两根是直角三角形两个锐角的正弦值.