第五章误差理论汇总
第五章 误差理论
其观测值分为： 其观测值分为： 直接观测值，间接观测值， 直接观测值，间接观测值， 独立观测值， 独立观测值，非独立观测值
3、误差的性质
•系统误差(Systematic errors) 系统误差( 系统误差
误差在大小、符号上表现出系统性， 误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程 中按照一定的规律变化，或者为一常数。 中按照一定的规律变化，或者为一常数。
v=l−x
∆−v = x− X =δ
[∆∆ ] = [vv ] + 2δ [v ] + nδ 2
n→∞
时
[v ] = 0
则
[∆∆ ] = [vv ] + δ 2
n n
[l] − X = [l − X ] = [∆] δ = x−X =
n n n
则 观测值中误差
2
[∆∆ ] = [vv ] + [∆∆ ]
§5.5 观测值函数的中误差—误差传播定律 观测值函数的中误差— 阐述各独立观测值中误差与其函数值中误差之 间的关系的定律，称为误差传播定律。 间的关系的定律，称为误差传播定律。 一、倍数函数的中误差 设倍数函数为： = Kx Z 式中 K—常数；
x —未知量的直接观测值；
= K (x + ∆
当观测值
• 仪器误差: 如：i角误差、尺长误差等，一般 仪器误差 角误差、尺长误差等， 角误差 由于仪器校正不完善所致； 由于仪器校正不完善所致； • 观测误差 如：照准误差、读数误差等，由 观测误差: 照准误差、读数误差等， 于观测者感官有限所致； 于观测者感官有限所致； • 外界条件误差 如：地球曲率、大气折光等。 外界条件误差: 地球曲率、大气折光等。
•偶然误差(random errors) 偶然误差( 偶然误差
第5章 误差理论
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角, 三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和 (i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于 表5-1,据此分析三角形 内角和的真误差 i 的 分布规律。
算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然 误差的特性来证明：
49 19
证明算术平均值是最或然值
按真值计算各个 观测值的真误差： 将上列等式相加， 并除以n,得到：
[] X [l ] n n 根据偶然误差特性： [ ] 0 lim n n
[l ] X lim n n
49
10
偶然误差的特性
1.有界性：在有限次观测
中，偶然误差不超过一定 数值； 2.趋向性：误差绝对值小 的出现的频率大，误差绝 对值大的出现的频率小； 3.对称性：绝对值相等的 正负误差频率大致相等； 4.抵偿性：当观测次数无 限增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
按观测值的改正值计算中误差
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第一组观测 观测值 l Δ -3 180°00ˊ03" -2 180°00ˊ02" +2 179°59ˊ58" +4 179°59ˊ56" -1 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57"
2
lim
n
Δ12 Δ22 Δn2 n
第五章误差基本知识
现在的位置：课程介绍 >> 理论部分 >> 电子讲稿第五章误差基本知识5.1误差的来源和分类一、定义：观测值与真值之差，记为：X为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。
为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。
为观测误差，即真误差。
二、误差的来源1、测量仪器一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。
二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差。
如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。
水准尺刻划不均匀使得读数不准确。
又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。
2、观测者是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。
举例：如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。
3、外界条件测量工作都是在一定的外界环境下进行的。
例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。
上述三项合称为观测条件a.等精度观测：在相同的观测条件下进行的一组观测。
b.不等精度观测：在不同的观测条件下进行的一组观测。
测量误差的分类根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
1、系统误差定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。
如：钢尺的尺长误差。
一把钢尺的名义长度为30m，实际长度为30.005m，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm，也就是会带来-5mm的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。
如：水准仪的i角误差，由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i，使得中丝在水准尺上的读数不准确。
如果水准仪离水准尺越远，i角误差就会越大。
由于i角误差是有规律的，因此它也是系统误差。
正是由于系统误差具有一定的规律性，因此只要找到这种规律性，就可以通过一定的方法来消除或减弱系统误差的影响。
第5章 误差基本知识
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。
5第五章误差基本知识
观测值的精度好坏，可以用一组误差接近于零的密集程度来表示。这可以用误差 分布图来表示，也可用数字来表示 。
一、中误差
1.观测值中误差的定义： 在相同观测条件下，对某量进行了一系列的观测，其观测值为，L1 , L2 , , Ln 1 , 2 , , n 相应的真误差为 , 则该组各个观测值得中误差m为：
Z x1 x2
Z kx
2
F 2 mn x n
2
xn
mz km
kn xn
2 2 mz k12 m12 k2 m2 2 2 kn mn
Z k1x1 k2 x2
因此，应用误差传播定律求观测值函数的精度（中误差） ，可按下述步骤进行： （1）按问题性质列出函数式：
容＝m 的个数为
§5－5 误差传播律
上节介绍了衡量多次直接观测值的精度问题。但在实际工作中，许多未知 量经常不能直接测定，必须由直接观测值间接推算出来。例如，矩形的面 积A＝长×宽，直接观测量是长度和宽度，面积是根据长和宽计算出的。 由于测量长和宽时有误差，因此，计算面积时一定会有误差，那么面积的 误差如何估计，计算出的面积精度（质量）如何？
(k ) f n xn
2 n 2 n n
[Z ] f [x ] f [x ]
2 2 1 2 1 2 2 2 2
f [x ] fi f j [xi x j ]
i , j 1 i j
2 [xi x j ] [xn ] n f fi f j k k i , j 1 2 n i j
求中误差时，应注意几点：
（1）各个观测值必须是等精度的（即“在相同观 测条件下”）；如果观测值是不等精度的，则不 能直接使用（5-4）式。 （2）观测值的真值必须可知，真误差才可求得。 （3）根号前的“”号表示误差的偶然性质，所 以不能省去。 （4）所谓“观测值”可以是直接观测值，也可以 是由直接观测值推算出来的函数值（如一组观测 值的平均值）。
第5章 测量误差理论的基础知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
第五章误差理论的基本知识
Δi = Li - X ( i = 1,2,…,n)
|误差区间| （〃） 0.00 ~ 0.50 0.50 ~ 1.00 1.00 ~ 1.50 1.50 ~ 2.00 2.00 ~ 2.50 2.50 ~ 3.00 3.00 ~ 3.50 3.50 ~ ∞ ∑ Δ 为负值 个数 V 频率ω 121 0.148 90 0.110 78 0.095 51 0.062 39 0.048 15 0.018 9 0.011 0 0 403 0.493 Δ 为正值 个数 V 频率ω 123 0.151 104 0.127 75 0.092 55 0.067 27 0.033 20 0.024 10 0.012 0 0 414 0.507 总数 244 194 153 106 66 35 19 0 817
(例 ) 水准测量在水准点1~6各点之间往返各测了一次，各 水准点间的距离均为1km，各段往返测所得的高差见 下表。求：往返测较差的中误差？单程观测的高差测 量中误差？ 测段 高差观测值(m)
往测h 返测h
d h h
+3 -3 +5
dd 9 9
1~2 2~3 3~4
-0.185 +1.626 +1.435
偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行多次 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同， 从表面上看没有任何规律性。
2．系统误差的特点：
具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过 一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、
水准仪视准轴误差、 经纬仪视准轴误差。
实践表明，对于在相同条件下独立进行的一组观测 来说，不论其观测条件如何，也不论是对一个量还是对 多个量进行观测，这组观测误差必然具有上述四个特性。 而且，当观测的个数n愈大时，这种特性就表现得愈明 显。偶然误差的这种特性，又称为统计规律性。
第五章误差理论基础
衡量精度的指标（ ） 衡量精度的指标（2）
二、几种常用来衡量精度的指标 1、方差和中误差 方差和中误差：服从正态分布的随 方差和中误差 机变量的数字特征量。
f (∆ ) = 1 2π σ e
− 2σ ∆2
2
σ
=
2
= D
2 2 + ∞ − ∞
(∆ )
) f ( ∆ )d ∆
σ = lim
n→∞
[∆∆ ]
总之，从统计学的角度看，偶然误差是一个随 机变量，它服从数学期望为零的正态分布规律。 （如下页图形）
偶然误差的误差分布
f (∆ ) = 1 e 2π σ
− 2σ ∆2
2
衡量精度的指标（ ） 衡量精度的指标（1）
一、精度的概念 精度的概念：精度是误差分布的密集离 精度的概念 散程度，也就是指离散度的大小。
P1 L 1 + P 2 L 2 + L + P n L n P1 + P 2 + L + P n
非等精度直接平差（ ） 非等精度直接平差（2）
三、加权算术平均值的中误差 2 µ0 Pi = m x = ± 2 mi 四、单位权观测值的中误差
µ
[P ]
0
µ0 = ±
[P∆∆]
n
µ0 = ±
[Pvv]
第五章
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
测量误差的基本知识
内容提要
测量误差基本概念 衡量精度的指标 误差传播定律及基应用 等精度观测直接平差 非等精度观测直接平差
测量误差概述
什么是测量误差？ 什么是测量误差？ 真误差： 1、真误差：
∆ = li − X
2、似真误差（改正数）： 似真误差（改正数）
测量误差理论基本知识
C
?
A
B
§5-5 误差传播定律的应用
解题：
① 列函数式： C=18③ 应用误差传播定律
mC2 mA2 mB2
A
C
? B
mB2 mC2 mA2 (5)2 (3)2 16
mB 4
即，B角需以不低于±4″的精度观测，
才能使C角具有±5″的精度。
m1=±0.02 ， m2=±0.02m
相对误差为
k1
m1 D1
0.02 100
1 5000
k2
m2 D2
0.02 1 200 10000
通过比较可知，后者较前者精度高。
§5-3 衡量精度的标准
2. 相对误差
例3：试比较角20°35′25″±10″和角 70°20′42″±10″精度的高低。
衡量精度；
用误差理论指导实践，规划测量作业，
达到预期精度。
Y(k/n/d△)
O
X(△)
§5-2 观测值的算术平均值
1.算术平均值 在等精度观测条件下，对某量进行多
次观测，通常取其平均值作为最后结果， 认为是最可靠的。例如，对某量丈量4次，
观测值为l1，l2，l3，l4
则算术平均值为
L l1 l2 l3 l4
相对误差(k)： 绝对误差的绝对值与相应的测量成果
之比，并化成1/N形式，即
k m 1 DN
k 1 DN
——相对中误差 ——相对误差
§5-3 衡量精度的标准
2. 相对误差
例2：分别丈量两段距离，其结果为
100m±0.02m和200m±0.02m，试比较其角
度高低。
误差理论与测量平差基础第五章条件平差ppt课件.pptx
5-2 条件方程的列立
故有：
dA
1 ha
(dSa
cos CdS b
cos BdSc
)
将微分换成改正数，并将弧度换
成角度，得：
vA
ha (vSa
cos CvSb
cos BvSc
)
上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律：
任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻 边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的
3、几种非线性条件方程的线性形式
极条件： 在图5-4中，极条件为 线性化得：
sin aˆ1 sin aˆ2 sin aˆ3 sin bˆ1 sin bˆ2 sinbˆ3
1
sin(a1 va1 )sin(a2 sin(b1 vb1 )sin(b2
va2 )sin(a3 va3 ) vb2 )sin(b3 vb3 )
dV
dV
dV
VTP VTP
2V T P
5-1 条件平差原理
2.2 求偏导
2.3 法方程 改正数方程
d 2V T P 2K T A 0 dV
AP1 AT K W 0
V P1 AT K
举例
水准网如右图：观测值及其权阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
m1
yA yˆi yB 0 i 1
5-2 条件方程的列立
➢GIS数字化数据采集中，折角均为90度的N边形的条件 方程
1、观测值
观测值为N个顶点的坐标，其个数为n=2 N。
2、必要观测个数
t=N+1
h
3、多余观测个数
r=n-t=2N-N-1=N-1 4、条件方程的类型
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
第五章测量误差的基本知识
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
测量学第五章-误差概念
[] n
0
12
三、算术平均值
算术平均值： x L1 L2 Ln [Li ]
n
n
为什么取算术平均值：
i x Li
Li x i
x [Li ] x [i ]
n
n
当n ： [] 0
n
xx
13
如何解决随机误差产生的矛盾
•18世纪末，在测量学、天文学等实践中提出了如 何消除由于观测误差引起的观测量之间的矛盾的问 题 •1794年，年仅17岁的高斯（C.F.Gauss）提出了解 决这个问题的方法——最小二乘法 •19世纪初，高斯用自己提出的方法解决了当时的 一个天文学难题.
4.5%
P(3m 3m) 99.7%
0.3%
取极限误差(容许误差)： 或：
容 3m 容 2m
21
(3)相对误差
1 相对误差：绝对误差的绝对值与观测值之比 N 绝对误差：真误差、中误差、容许误差
意义： 观测 1000m 观测 800m
中误差 中误差
m 2cm m 2cm
•偶然误差(random errors)
如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个 误差看，该误差的大小和符号没有规律
•粗差(gross error)
错误 7
4、误差的消除
系统误差的解决？ 1、进行计算改正； 2、分析它对观测的影响规律，采取各种方法来 消除系统误差，或者减小它对观测成果的影响。 偶然误差的解决？ 进行多余观测，通过测量平差、数据处理理论， 确定被认为是最可靠的结果。 粗差的解决？ 尽量避免，检核
3
-1
总数
80
82
162
第5章 误差理论
内容提要:
§5.1 §5.2 §5.3
测量误差概述 衡量精度的指标（中误差） 算术平均值及其中误差
§5.1 测量误差概述
一、观测值误差
定义：观测值与其真实值（即“真值”）
之间的差异。
公式： Δi＝Li－X
真值
真误差
观测值
二、观测误差的来源
误差来源：观测者、仪器（工具）、外界条 件、观测方法
术平均值取近于零。
lim n
[] n
0
此外，在测量工作中还要注意避免粗差
(gross error)（甚至错误）的出现。
偶然误差的统计规律：
特性1（有限性） 在一定观测条件下的有限个观测中，误差的绝对值不超过一定限值
特性2（单峰性） 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小
特性3（对称性） 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等
n
n
则：算术平均值x中误差M为：
举例
* 误差传播定律
设函数 Z F(x1, x2,, xn ) xi 为独立观测值，
则有全微分
dZ
F x1
dx1
F x2
dx2
F xn
dxn
转换成中误差关系式即误差传播定律：
mZ
F x1
2
m12
F x2
2
m22
F xn
2
mn2
(D往 D返 ) / 2
三、极限误差或容许误差
常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
Δ允 = 2m 或 Δ允 = 3m
极限误差（Δ极限）和容许误差（Δ容）
极限误差：
绝对值大于3σ的真误差出现的概率很小 （0.27%），因此可以认为±3σ是真误差实际
第五章 测量误差的基本知识
一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
5.1 测量误差的来源及分类
二、测量误差产生的原因
1. 仪器误差 2. 观测误差 3. 外界条件的影响 观测条件
如果使用的仪器是同一个精密等级， 如果使用的仪器是同一个精密等级，操作人员有相同 的工作经验和技能，工作环境的自然条件（气温、 的工作经验和技能，工作环境的自然条件（气温、风 湿度等等）基本一致，则称为相同的观测条件 相同的观测条件。 力、湿度等等）基本一致，则称为相同的观测条件。
i
正态分布曲线
图中有斜线的长方形 面积就代表误差出现 在某区间的频率。 在某区间的频率。
-21 -15 -18 -12 -9 -6 -3 0 +3 +9 +15 +21 +6 +12 +18 +24
x=∆
-24
误差分布频率直方图
5.2 偶然误差的基本特性
误差分布图
在一定的观测条件下得到一组独立的误差， 在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定 的分布。 同时无限缩小误差区间， 的分布。当误差个数 n → ∞ ，同时无限缩小误差区间，上图 中的各矩形的顶边折线就成为一条光滑的连续曲线。 中的各矩形的顶边折线就成为一条光滑的连续曲线。 这条曲线称为误差分布曲线也称为 正态分布曲线。 正态分布曲线。曲线上任意一点的 纵坐标y 的函数， 纵坐标y均为横坐标 ∆ 的函数，其 函数形式为：
5.3 衡量观测值精度的指标
1、中误差
中误差不同于各个观测值的真误差， 中误差不同于各个观测值的真误差，它是衡量一组观 测值精度的指标， 测值精度的指标，它的大小反映出一组观测值的离散 程度。中误差m值小，表明误差的分布较为密集， 程度。中误差m值小，表明误差的分布较为密集，各 观测值间的差异较小，这组观测的精度就高；反之， 观测值间的差异较小，这组观测的精度就高；反之， 中误差m值较大，表明误差的分布较为离散， 中误差m值较大，表明误差的分布较为离散，观测值 之间的差异也大，这组观测的精度就低。 之间的差异也大，这组观测的精度就低。 说明：中误差越小，观测精度越高。 说明：中误差越小，观测精度越高。
(整理)第5章,误差基本知识
第5章测量误差基本知识测量工作使用仪器进行测量，在测量过程中不可避免的出现误差，为了提高测量精度及精度评定，需要了解测量误差的来源，促进测量工作方法的改进，和测量精度的提高。
误差—在一定观测条件下，观测值与真值之差。
精度—观测误差的离散程度。
5-1 误差的基本概念讨论测量误差的目的：用误差理论分析，处理测量误差，评定测量成果的精度，指导测量工作的进行。
▼▼▼▼产生测量误差的原因，▼▼测量误差的分类和处理原则，▼▼偶然误差的特性一、测量误差的来源仪器原因：仪器精度的局限，轴系残余误差等。
人的原因：判别力和分辨率的限制，经验等。
外界影响：气象因素（温度变化，风、大气折光）等。
有关名词:观测条件，等精度观测：上述三大因素总称观测条件，在上述条件基本一致的情况下进行各次观测，称等精度观测。
结论：观测误差不可避免（粗差除外）二、测量误差的分类两类误差：系统误差偶然误差粗差（错误排除）1、系统误差-- 误差出现大小、符合相同，或按规律变化，具有积累性。
处理方法①检校仪器，把仪器的系统误差降到最小程度；②求改正数，对测量结果加改正数消除；③对称观测，使系统误差对观测成果的影响互为相反数，以便外业操作时抵消。
例：误差处理方法钢尺尺长误差△D K 计算改正钢尺温度误差△Dt 计算改正水准仪视准轴误差I 操作时抵消（前后视等距）经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)●结论：系统误差可以消除。
2、偶然误差-- 误差出现的大小，符合各部相同，表面看无规律性。
例：估读误差—气泡居中判断，瞄准，对中等误差，导致观测值产生误差。
◎偶然误差：是由人力不能控制的因素所引起的误差。
◎特点:具有抵偿性。
◎处理原则：采用多余观测，减弱其影响，提高观测结果的精度。
3、粗差—指在一定的观测条件下超过规定限差值。
对于粗差，应当分析原因，通过补测等方法加以消除。
三、偶然误差的特性1、偶然误差的定义:设某量的真值X对该量进行n次观测得n次的观测值l1,l2,l3……l n则产生了n个真误差真误差：△I = X-l i2、偶然误差的特性☎当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现统计学上的规律性，偶然误差具有正态分布的特性。
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选择题中误差反映的是（ A ）。
A)一组误差离散度的大小B)真差的大小C)似真差的大小D)相对误差的大小某段距离的平均值为100mm，其往返较差为+20mm，则相对误差为（C ）。
Ａ.；Ｂ.；Ｃ.往返丈量直线AB的长度为：其D AB=126.72m,D BA=126.76m相对误差为（ A ）Ａ.Ｋ=1/3100；Ｂ.Ｋ=1/3200；Ｃ.Ｋ=在等精度观测的条件下，正方形一条边a的观测中误差为m，则正方形的周长（Ｓ=4a）中的误差为（C ）Ａ.m；Ｂ.2m；Ｃ.4m丈量某长方形的长为α=20，宽为b=15，它们的丈量精度（A ）Ａ相同；Ｂ.不同；Ｃ.不能进行比较衡量一组观测值的精度的指标是（ A ）Ａ.中误差；Ｂ.允许误差；Ｃ.算术平均值中误差在距离丈量中，衡量其丈量精度的标准是（A ）Ａ.相对误差；Ｂ.中误差；Ｃ .往返误差下列误差中（A ）为偶然误差Ａ.照准误差和估读误差；Ｂ.横轴误差和指标差；Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差若一个测站高差的中误差为，单程为ｎ个测站的支水准路线往返测高差平均值的中误差为（ B ）Ａ.；Ｂ.Ｃ.在相同的观条件下，对某一目标进行ｎ个测站的支水准路线往返测高差平均值的中误差为（ B ）Ａ.；Ｂ.；Ｃ.对三角形进行５次等精度观测，其真误差（闭合差）为：+4″；-3″；+1″；-2″；+6″，则该组观测值的精度（ B ）Ａ.不相等；Ｂ.相等；Ｃ.最高为+1″经纬仪对中误差属（ A ）Ａ.偶然误差；Ｂ.系统误差；Ｃ.中误差尺长误差和温度误差属（B ）Ａ.偶然误差；Ｂ.系统误差；Ｃ.中误差一条直线分两段丈量，它们的中误差分别为和，该直线丈量的中误差为（C）Ａ.；Ｂ. ；Ｃ.一条附和水准路线共设ｎ站，若每站水准测量中误差为ｍ，则该路线水准测量中误差为（ A ）Ａ.；Ｂ.；Ｃ.某基线丈量若干次计算得到平均长为540m，平均值之中误差为0.05m，则该基线的相对误差为（ C ）Ａ.0.0000925；Ｂ.1/11000；Ｃ.1/10000下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ B ）组测量的相对误差不低于1/5000的要求Ａ.100m0.025m；Ｂ.200m0.040m；Ｃ.150m0.035m对某量进行ｎ次观测，若观测值的中误差为ｍ，则该量的算术平均值的中误差为（ C ）Ａ. ；Ｂ.m/n；Ｃ.m/用导线全长相对闭合差来衡量导线测量精度的公式是( C )Ａ.Ｂ.；Ｃ.基线丈量的精度用相对误差来衡量，其表示形式为（ A ）Ａ.平均值中误差与平均值之比；Ｂ.丈量值中误差与平均值之比；Ｃ.平均值中误差与丈量值之和之比下列误差中（AB）为偶然误差。
A 估读误差；B 照准误差；C 2C误差；D 指标差；E 横轴误差下述哪些误差属于真误差（ABD）。
A 三角形闭合差；B 多边形闭合差C 量距往、返较差D 闭合导线的角度闭合差E 导线全长相对闭合差设对某角观测一测回的观测中误差为±3″，现要使该角的观测结果精度达到±1.4″，需观测(D)个测回。
A.2B.3C.4D.5钢尺的尺长误差对距离测量产生的影响属于(B)。
A.偶然误差B.系统误差C.偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差丈量一正方形的4条边长，其观测中误差均为±2cm，则该正方形周长的中误差为±( C )cm。
A.0.5B.2C.4D.8某段距离丈量的平均值为100m，其往返较差为+4mm，其相对误差为( A )。
Ａ.1/25000Ｂ 1/25 C 1/2500 D 1/250对某边观测4测回，观测中误差为±2cm，则算术平均值的中误差为( B )。
A ±0.5cmB ±1cmC ±4cmD ±2cm普通水准尺的最小分划为1cm，估读水准尺mm位的误差属于( A )。
A 偶然误差B 系统误差C 可能是偶然误差也可能是系统误差D 既不是偶然误差也不是系统误差系统误差具有（ A ） A．积累性 B．离散性C．随机性 D．补偿性观测一个角度的中误差为m=±10″，则4边形内角和的中误差M为（ D ）A．25″ B．5″ C． 2.5″ D．20″由于水准尺的倾斜对水准测量读数所造成的误差是( )。
A. 偶然误差B. 系统误差C. 可能是偶然误差也可能是系统误差D. 既不是偶然误差也不是系统误差对某一量进行观测后得到一组观测值，则该量的最或是值为这组观测值的（）。
A最大值 B 最小值 C 算术平均值 D 中间值1、引起测量误差的主要原因有（）。
A、观测误差B、仪器工具误差C、系统误差和偶然误差D、外界环境条件2、测量误差按其性质不同分为（）。
A、系统误差和偶然误差B、仪器工具误差和外界环境条件C、仪器工具误差和观测误差D、观测误差和外界环境条件3、测量工作对精度的要求（）。
A、没有误差最好B、根据需要，适当精确C、越精确越好D、仪器能达到什么精度就尽量达到4、对某一三角形的各内角进行观测，其内角和的观测值分别为179°59′56″、179°59′54″、180°00′06″、179°59′54″，则其观测值中误差为（）。
A、±9.2″B、±3.2″C、±1.6″D、±5.6″5、丈量一正方形的4个边长，其观测中误差均为±2cm，则该正方形的边长中误差为±()cm。
A、0.5B、2C、4D、86、对四个三角形的全部内角进行观测，其观测值（内角和）分别为：180°00′18″、180°00′12″、179°59′48″、179°59′42″，则其观测值中误差为（）。
A、±0.0″B、±15.3″C、±5.5″D、±9.5″7、用DJ6型光学经纬仪测量某水平角4个测回，各测回的观测值分别为248°32′18″，248°31′54″，248°31′42″，248°32′06″，试求观测值的中误差。
（）A、±15.5″B、±12.5″C、±18.5″D、±0．0″8、用DJ６型光学经纬仪测量某水平角4个测回，各测回的观测值分别为248°32′18″，248°31′54″，248°31′42″，248°32′06″，试求算术平均值中误差。
（）A、±7.8″B、±13.4″C、±8.8″D、±12″9、丈量次数为4次，每次丈量结果为：89.027m、89.034m、89.025m和89.030m，试求观测值的中误差。
（）A、±1.95mmB、±3.9mmC、±0.0mmD、±3.39mm10、丈量次数为4次，每次丈量结果为：89.027m、89.034m、89.025m和89.030m，试求算术平均值中误差。
（）A、±2.0mmB、±3.0mmC、±3.5mmD、±4.0mm11、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对中误差为（）。
A、1/10000B、1/3750C、1/7500D、1/1500012、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对误差为（）。
A、1/10000B、1/3750C、1/7500D、1/1500013、对某一三角形的各内角进行观测，其内角和的观测值分别为179°59′48″、179°57′54″、179°59′54″、180°03′06″、180°00′06″、179°59′54″，则其观测值中误差为（）。
A、±9.2″B、±7.9″C、±3.2″D、±1.6″14、对某一三角形的各内角进行观测，其内角和的观测值分别为179°59′48″、179°59′54″、180°00′06″、179°59′54″，则其观测值中误差为（）。
A、±9.2″B、±7.9″C、±3.2″D、±1.6″15、用经纬仪测角时，不能用（）来衡量测角精度。
A、真误差B、相对误差C、中误差D、算术平均值的中误差16、含有（）的观测值都不能使用。
A、系统误差B、粗差C、偶然误差D、相对误差17、在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为（）。
A、粗差B、系统误差C、偶然误差D、相对误差18、误差可以发现并被剔除的是（）。
A、系统误差B、偶然误差C、粗差D、相对误差19、误差能够加以改正的是（）。
A、粗差B、偶然误差C、系统误差D、相对误差20、误差是不可避免的，并且是消除不了的是（）。
A、系统误差B、粗差C、偶然误差D、相对误差21、由作业人员疏忽大意、失职而引起的误差是（）。
A、粗差B、系统误差C、偶然误差D、相对误差22、水准仪的视准轴与管水准器轴不平行对读数的影响会产生（）。
A、粗差B、偶然误差C、系统误差D、相对误差23、产生（）的原因往往是不固定的和难以控制的。
A、粗差B、系统误差C、偶然误差D、相对误差24、在角度测量中采取盘左、盘右观测，可以消除和减小（）。
A、粗差B、系统误差C、偶然误差D、相对误差25、分别测量了长度为100m和200m的两段距离，中误差皆为±0.02m。
则认为两段距离测量精度（）。
A、相同B、前者精度高C、后者精度高D、无法判断26、在1：5000地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差md=±0.2m。
求A、B两点间的实地水平距离。
（）A、1172.5m±1.0mB、234.5m±1.0mC、1172.5mD、234.5m27、在1：5000地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差md=±0.2m。
求A、B两点间的实地水平距离的中误差。
（）A、±0.1mB、±1.0mC、±1.5mD、±2.0m28、△y=Dsina，观测值D=225.85m±0.06m，a=157°00′30″±20″。
求△y的中误差（）。
A、±3.5cmB、±1.9cmC、±2.0cmD、±3.1cm29、水准测量中，视距为75m时在标尺上读数的中误差m读≈±2mm(包括照准误差，气泡居中误差及水准尺刻划误差)。