2018年中考数学总复习第三章函数及其图象第13讲一次函数及其图象讲解篇

第13讲一次函数及其图象1．一次函数与正比例函数的概念2.一次函数的图象3.一次函数y＝kx＋b的性质4.确定一次函数的解析式5.一次函数与方程、不等式的关系6.一次函数的实际应用1．(2017·温州)已知点(－1，y 1)，(4，y 2)在一次函数y ＝3x －2的图象上，则y 1，y 2，0的大小关系是( )A ．0＜y 1＜y 2B ．y 1＜0＜y 2C ．y 1＜y 2＜0D ．y 2＜0＜y 12．(2017·绍兴)某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数，其图象如图所示．(1)若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？(2)求当x＞18时，y关于x的函数表达式，若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？【问题】如图，直线AB分别交x，y轴于点A，B.(1)若点A(－1，0)，写出一条直线AB的解析式；(2)若点A(－2，0)，B(0，1)，请你尽可能多的写出关于直线AB的信息．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一次函数概念以及图象与性质．类型一一次函数的图象和性质例1一次函数y＝2x＋6.(1)图象经过第________象限；(2)图象与x轴的交点坐标为________，与y轴的交点坐标为________．(3)当－1＜x≤1时，y的取值范围是________；(4)当点A(－5，y1)和B(－2，y2)都在图象上，则y1与y2的关系是________；(5)图象与两坐标轴围成的三角形面积是________．【解后感悟】一次函数的图象与性质问题，数形结合思想是解题的关键．例2如图，已知直线l1：y＝－2x＋4与x，y轴分别交于点N，C，与直线l2：y＝kx ＋b(k≠0)交于点M，直线l2与x轴的交点为A(－2，0)，(1)若点M的横坐标为1，则△AMN的面积是________；(2)若点M在第一象限，则k的取值范围是____________．【解后感悟】两条直线的相交问题，利用数形结合和图象的运动来解决．1．(1)(2017·海南模拟)一次函数y＝mx＋n与y＝mnx(mn≠0)，在同一平面直角坐标系的图象是( )(2)(2017·南京模拟)关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法正确的是____________________．①点(0，k)在直线l上；②直线l经过定点(－1，0)；③当k＞0时，y随x的增大而增大；④直线l经过第一、二、三象限；⑤直线l经过第一、二、三象限，则k＞0.类型二一次函数的解析式例3(1)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是____________．(2)一次函数y＝2x＋b与两坐标轴围成三角形的面积为4，则b＝________．(3)已知一次函数图象交x轴于点(－2，0)，与y轴的交点到原点的距离为5，则该一次函数解析式为___________________________________________________________．(4)在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点P(1，1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是__________．【解后感悟】待定系数法求一次函数解析式是本题的关键；注意数形结合、分类讨论思想运用．例4已知直线l：y＝2x－1(1)将直线l向上平移5个单位长度后再向左平移3个单位后所得的直线解析式为____________；(2)将直线l与直线m关于x轴对称，则直线m的解析式为____________；(3)将直线l绕原点顺时针旋转90°得到直线n，则直线n的解析式为______________．【解后感悟】(1)求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化；(2)根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点求解；(3)根据点(a，b)绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是(b，－a)，得到它们绕原点顺时针旋转90°以后对应点的坐标，然后根据待定系数法求解．2．(1)(2017·温州模拟)根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p 的值为____________________.(2)(2017·南京市江宁区模拟)把一次函数y＝kx＋1的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位后所得直线正好经过点(5，3)，则该一次函数表达式为____________________．(3)(2017·绍兴模拟)把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是____________________．(4)(2017·苏州模拟)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点A出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒．①当t＝3时，求l的解析式；②若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；③直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．类型三一次函数与一次方程(组)及一元一次不等式(组)例5(1)已知一次函数y＝ax＋b中，x和y的部分对应值如表：那么方程ax＋b＝0的解是________；不等式ax＋b＞2的解集是________．(2)如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx ＋6的解集是________．【解后感悟】(1)此题主要理解一次函数与一元一次方程关系，关键是正确求出一次函数关系式；(2)从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝x ＋b 的值大于y ＝kx ＋6的值的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y ＝x ＋b 在直线y ＝kx ＋6上方部分所有的点的横坐标所构成的集合．解决此类问题一般方法为画出图象，仔细观察图象，根据图象写出方程(组)解、不等式解集．注意不等式解集交点(公共点)处函数值相等，所以解集要么在交点左侧要么在交点右侧．注意数形结合思想的运用．3．(1)(2017·菏泽)如图，函数y 1＝－2x 与y 2＝ax ＋3的图象相交于点A(m ，2)，则关于x 的不等式－2x ＞ax ＋3的解集是( )A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＞－1D ．x ＜－1(2)(2017·潍坊模拟)如图，已知函数y ＝ax ＋b 与函数y ＝kx －3的图象交于点P(4，－6)，则不等式ax ＋b≤kx－3＜0的解集是____________________．第(2)题图(3) (2017·潍坊模拟)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式12x>kx ＋b>－2的解集为____________________．第(3)题图(4)(2015·武汉)已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点(1，4)．求这个一次函数的解析式，并求关于x的不等式kx＋3≤6的解集．类型四一次函数的应用例6(2016·南京)如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度x(单位：km/h)之间的函数关系(30≤x≤120)，已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km.(1)当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为L/km、L/km.(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．(3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？【解后感悟】正确求出两线段的解析式是解好本题的关键，因为系数为小数，计算要格外细心，容易出错；另外，此题中求最值的方法：两图象的交点，方程组的解；同时还有机地把函数和方程结合起来，是数学解题方法之一，应该熟练掌握．4．(2017·宁波模拟)某种汽车油箱加满油并开始行驶，油箱中的剩余油量y(升)与行驶的里程x(km )之间的关系为一次函数，如图：(1)求y 与x 的函数关系式； (2)加满一箱油汽车可行驶多少千米？【阅读理解题】在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x ，y 轴分别交于点A ，B ，则△OAB 为此函数的坐标三角形．(1)求函数y ＝－34x ＋3的坐标三角形的三条边长；(2)若函数y ＝－34x ＋b(b 为常数)的坐标三角形周长为16，求此三角形面积．【方法与对策】解本题的关键是理解坐标三角形，利用一次函数图象与坐标轴的交点进行求解；由于b 的不确定性，导致图象的位置不同，解题就需要分类讨论：b ＞0和b ＜0两种情况．该题型是中考命题趋势．【不能明确x 、y 取值范围的几何意义】一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象如图所示，当y ＞3时，x 的取值范围是( )A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ＜2D ．x ＞2参考答案第13讲 一次函数及其图象【考点概要】1．y ＝kx ＋b b ＝0 y ＝kx 2.b －bk直线 0 k 直线 上 b 下 |b| 3.一、二、三 一、三、四 增大 一、二、四 二、三、四 减小 5.x 横 正 负 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1y ＝k 2x ＋b 2【考题体验】1．B 2.(1)由纵坐标看出，某月用水量为18立方米，则应交水费45元；(2)由81元＞45元，得用水量超过18立方米，设函数解析式为y ＝kx ＋b (x≥18)，∵直线经过点(18，45)，(28，75)，∴⎩⎪⎨⎪⎧18k ＋b ＝45，28k ＋b ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－9，∴函数的解析式为y ＝3x －9(x≥18)，当y＝81时，3x －9＝81，解得x ＝30，答：这个月用水量为30立方米．【解析】(1)不唯一．如y ＝－x －1； (2)解析式为y ＝12x ＋1；y 随x 的增大而增大；图象经过一、二、三象限等．【例题精析】例1 (1)一、二、三 (2)(－3，0)，(0，6) (3)4＜y≤8 (4)y 1＜y 2 (5)9 例2 (1)4；(2)0＜k ＜2例3(1)y ＝5－x ；(2)±4；(3)y ＝52x ＋5或y ＝－52x －5；(4)在Rt △AOB 中，由tan ∠ABO ＝3，可得OA ＝3OB ，则一次函数y ＝kx ＋b 中k ＝±13.∵一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象过点P(1，1)，∴当k ＝13时，求可得b ＝23；k ＝－13时，求可得b ＝43.即一次函数的解析式为y ＝13x ＋23或y ＝－13x ＋43.令y ＝0，则x ＝－2或4，∴点A 的坐标是(－2，0)或(4，0)．故答案为：(－2，0)或(4，0)． 例4 (1)y ＝2x ＋10；(2)y ＝－2x ＋1；(3)y ＝－12x －12. 例5(1)由一次函数y ＝ax ＋b ，∵x ＝0时，y ＝2，x ＝2时，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，2a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴一次函数解析式为y ＝－2x ＋2，∴方程ax ＋b ＝0变为－2x ＋2＝0，解得：x ＝1.同理不等式ax ＋b ＞2的解集是x ＜0.故答案为：x ＝1；x ＜0. (2)当x ＞3时，x ＋b ＞kx ＋6，即不等式x ＋b ＞kx ＋6的解集为x ＞3.故答案为：x ＞3. 例6 (1)设AB 的解析式为：y ＝kx＋b ，把(30，0.15)和(60，0.12)代入y ＝kx ＋b 中得：⎩⎪⎨⎪⎧30k ＋b ＝0.15，60k ＋b ＝0.12，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.001，b ＝0.18，∴AB ∶y ＝－0.001x ＋0.18，当x ＝50时，y ＝－0.001×50＋0.18＝0.13，由线段BC 上一点坐标(90，0.12)得：0.12＋(100－90)×0.002＝0.14，故答案为：0.13，0.14；(2)由(1)得：线段AB 的解析式为：y ＝－0.001x ＋0.18；(3)设BC 的解析式为：y ＝kx＋b ，把(90，0.12)和(100，0.14)代入y ＝kx ＋b 中得：⎩⎪⎨⎪⎧90k ＋b ＝0.12，100k ＋b ＝0.14，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.002，b ＝－0.06，∴BC ：y ＝0.002x －0.06，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－0.001x ＋0.18，y ＝0.002x －0.06，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝0.1.答：速度是80km /h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L /km .1．(1)C (2)①②③⑤2.(1)1 (2)y ＝0.5x ＋1 (3)m ＞1 (4)①直线y ＝－x ＋b 交y 轴于点P(0，b)，由题意，得b>0，t ≥0，b ＝1＋t ，当t ＝3时，b ＝4，∴y ＝－x ＋4.②当直线y ＝－x ＋b 过M(3，2)时，2＝－3＋b ，解得b ＝5，5＝1＋t ，∴t ＝4，当直线y ＝－x ＋b 过N(4，4)时，4＝－4＋b ，解得b ＝8，8＝1＋t ，∴t ＝7，∴4<t<7.③t ＝1时，落在y 轴上；t ＝2时，落在x 轴上．3．(1)D (2)－4＜x≤4 (3)－1<x<2 (4)y ＝x ＋3；x≤3.4.(1)设油箱中的剩余油量y(升)与汽车行驶里程x(km )的解析式为y ＝kx ＋b ，由于图象经过(50，56)(80，52)，∴⎩⎪⎨⎪⎧56＝50k ＋b ，52＝80k ＋b ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－215，b ＝1883.∴y 与x 之间的函数关系是y ＝－215x ＋1883；(2)由题意，－215x ＋1883＝0，解得x ＝470，即加满一箱油汽车可行驶470km .【热点题型】【分析与解】(1)∵直线y ＝－34x ＋3与x 轴的交点坐标为(4，0)，与y 轴交点坐标为(0，3)，∴函数y ＝－34x ＋3的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5. (2)直线y ＝－34x ＋b 与x 轴的交点坐标为(43b ，0)，与y 轴交点坐标为(0，b)，当b>0时，b ＋43b ＋53b ＝16，得b ＝4，此时，坐标三角形面积为323；当b<0时，－b －43b －53b ＝16，得b ＝－4，此时，坐标三角形面积为323.综上，当函数y ＝－34x ＋b 的坐标三角形周长为16时，面积为323.【错误警示】因为直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标为(0，3)，由函数的图象可知当y ＞3时，x 的取值范围是x ＜0.故选A .。