函数概念的发展史

函数概念的起源,最早和人们对动点轨迹的研究密不可分。再也没有其他的例子,如同象动点作曲线运动时,它的x坐标和y坐标相互依依赖并同时发生变化那样，更有利于促使人们产全变量、因变量—产生函数的概念了. 而这又正是解析几何学的主耍内容.

14 世纪时,法国数学家奥莱斯姆(Oresme,1323-1382)在表示依

时间t而变的变数x 时,他画出了图形, 把t 称为“经度(longitude), 把x 称为“纬度”(latitude)。但是他并没有连续的概念, 只是建立了孤立的点与点之简的对应. 这种方法被开普勒(Kepler,德,1571 -1630)和伽利略(Galilei,意大利,1564 -1642)应用于关于天体运行

方面的研究〔2〕。

17世纪的绝大部分函数是被当作曲线来研究的, 而曲线被看作

运动着的点的路径这样的思想通过牛顿等人的工作而获得了认可与

接受。牛顿在他的《求曲边形的面积》中说:“我认为这里的数学量,不是由小块合成的, 而是由连续运动描出的”。英国数学家哈略特(Harriot,1560一1621)应用了直角坐标的概念求出了曲线的方程.

当坐标系一经给定,则某些几何问题便可以用代数的形式表现出，这

正是解析几何学的主耍方法.这样,函数的概念便又和轨迹的代数表

达式发生了密切联系.法国著名的数学家费尔玛(Fermat,1601 -1665)在他的《平面、立体曲线导论》中, 取相交的直线建立坐标系,导出

了直线、圆还有其它一些圆锥曲线的方程。法国著名数学家笛卡尔(Descartes, 1596 -1650)在他的《几何学》中明确地给出了点的坐

标概念, 由此当点P 根据某特定条件运动时,它的两个坐标之间的互

变关系可用曲线的方程表示。人们通常把变量概念的引入和解析几何的诞生归功与笛卡尔,他确实让用代数关系式表示变化的量间的关系(主要是曲线)的方法逐渐流行起来了〔2〕。

总的说来, 尽管描绘曲线方程的解析几何的方法已出现, 但至

少到17 世纪上半叶, 纯粹的函数概念并没有被提出来。

莱布尼兹(Lei -bniz) 在1 6 7 3 年首先提出“函数”这一名词.他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量.象曲

线上的横坐标,纵坐标,切线的长度, 垂线的长度等。牛顿(N e w to n) 几乎同时用另一名词“流量”来表示变量间关系。

1697 年, 约翰·伯努利给出了函数的第一个定义: 一个按照任何方式用变量和常量构成的量. 1698年, 他采用了莱布尼兹的说法, 称这个量为“ x 的函数”, 表示为X . 1718 年, 他又明确定义了一个变量的函数:由这个变量和常量的任意一种方式构成的量, 表示为xφ.伯努利强调的是函数要用公式来表示了，这是函数的解析概念的第一次扩展。

1734 年, 欧拉引入现在的函数表示形式:()x f。欧拉就把用算术运算、三角运算和指数对数运算联结变数x 和常数c而成的式子, 取名为解析函数,并将它分成为“代数函数”和“超越函数”两类。欧拉用“解析表达式”替代了约翰的“任意形式”,明确地表述了变量之间相互依赖的变化关系。也不再强调函数一定要用公式来表示,但仍没有明确函数是某种对应关系,也没有提出函数可以不用解析式来表示.欧拉对函数的重要贡献是他考虑了用以表示被任意画出的曲线

的函数,并把这种函数叫做“随意函数”。这使得函数概念为适应积分的需要作出了新的推进。

1797 年拉格朗日在他的《解析函数论》中把一元或多元函数定义为: 自变量在其中可以按任意形式出现并对计算有用的表达式 . 换句话说, 他认为,函数是运算的一个组合.他的代数分析的实质, 就是把函数归结为无穷级数. 他希望任何函数()x f都能表示成他经过形式论证, 得出他经过形式论证, 得出

傅立叶的工作更根本地改变了函数的面貌,震惊了当时的数学界。他一方面认为有限区间上的函数未必仅有唯一的表达式,另一方面又认为函数必须用解析式来表达,这靠他发明的傅立叶级数理论

来支持。他证明了任意以π为周期的一个函数f(x)在[ -π,π] 可以由展开, 其中

后来人们又证明了不仅仅周期函数, 任一连续函数在(-π, π)上都可以用正弦或余弦函数给出。

柯西的函数定义; 对于x的每一个值, 如果y 有完全确定的值与之对应, 则y 就叫做x的函数。这样一来, 无论y 是用一个式子表示的, 还是用多个式子表示的, 甚至是否要通过式子表示都无关紧要了, 只要对x的每一个值, y 有完全确定的值与之对应, 则y 就是x的函数。不过当时柯西在所给函数定义中, 用多个式子表示函数

情况是在区间上的函数, 或由

等表示情况。

著名的黎曼——狄里克雷的出现无疑是给柯西出了个难题,1837年，他定义函数: 对于x的每一个值, 如果有完全确定的值与之对应, 不论x, y 所建立的对应方式如何, y 都叫做x的函数。这样,

就是一个函数了，函数是不容易用解析式来表达的。

这个定义和我们现在中学教科书中的函数概念已经很接近了,它

不仅把变量之间的关系描述为对应变化的关系, 而且就函数的解析

表达式也做了讨论。

前面两个世纪的人们把更多的注意力投放在函数的解析式上，数学家开始关注自变量的取值范围。把函数自变量的取值范围从实数域扩大到了复数域, 相应地就有了实变函数论和复变函数论的区分。再有自变量在一个区间上的取值情况变得复杂起来, 它有时可以无限

制地取遍该区间上的所有值, 有时必须按特定条件取值, 新的情况

促使人们寻找新的视角来定义函数的概念〔6〕。

从19 世纪70 年代开始, 康托尔发表了一系列文章, 系统地分

析和刻画了实数的连续性及无穷集合的性质, 出现了连续统等问题

的研究, 逐步形成并诞生了集合理论. 在康托尔开创了集合论理论