函数概念的发展史

函数概念的起源,最早和人们对动点轨迹的研究密不可分。

再也没有其他的例子,如同象动点作曲线运动时,它的x坐标和y坐标相互依依赖并同时发生变化那样，更有利于促使人们产全变量、因变量—产生函数的概念了. 而这又正是解析几何学的主耍内容.
14 世纪时,法国数学家奥莱斯姆(Oresme,1323-1382)在表示依
时间t而变的变数x 时,他画出了图形, 把t 称为“经度(longitude), 把x 称为“纬度”(latitude)。

但是他并没有连续的概念, 只是建立了孤立的点与点之简的对应. 这种方法被开普勒(Kepler,德,1571 -1630)和伽利略(Galilei,意大利,1564 -1642)应用于关于天体运行
方面的研究〔2〕。

17世纪的绝大部分函数是被当作曲线来研究的, 而曲线被看作
运动着的点的路径这样的思想通过牛顿等人的工作而获得了认可与
接受。

牛顿在他的《求曲边形的面积》中说:“我认为这里的数学量,不是由小块合成的, 而是由连续运动描出的”。

英国数学家哈略特(Harriot,1560一1621)应用了直角坐标的概念求出了曲线的方程.
当坐标系一经给定,则某些几何问题便可以用代数的形式表现出，这
正是解析几何学的主耍方法.这样,函数的概念便又和轨迹的代数表
达式发生了密切联系.法国著名的数学家费尔玛(Fermat,1601 -1665)在他的《平面、立体曲线导论》中, 取相交的直线建立坐标系,导出
了直线、圆还有其它一些圆锥曲线的方程。

法国著名数学家笛卡尔(Descartes, 1596 -1650)在他的《几何学》中明确地给出了点的坐
标概念, 由此当点P 根据某特定条件运动时,它的两个坐标之间的互
变关系可用曲线的方程表示。

人们通常把变量概念的引入和解析几何的诞生归功与笛卡尔,他确实让用代数关系式表示变化的量间的关系(主要是曲线)的方法逐渐流行起来了〔2〕。

总的说来, 尽管描绘曲线方程的解析几何的方法已出现, 但至
少到17 世纪上半叶, 纯粹的函数概念并没有被提出来。

莱布尼兹(Lei -bniz) 在1 6 7 3 年首先提出“函数”这一名词.他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量.象曲
线上的横坐标,纵坐标,切线的长度, 垂线的长度等。

牛顿(N e w to n) 几乎同时用另一名词“流量”来表示变量间关系。

1697 年, 约翰·伯努利给出了函数的第一个定义: 一个按照任何方式用变量和常量构成的量. 1698年, 他采用了莱布尼兹的说法, 称这个量为“ x 的函数”, 表示为X . 1718 年, 他又明确定义了一个变量的函数:由这个变量和常量的任意一种方式构成的量, 表示为xφ.伯努利强调的是函数要用公式来表示了，这是函数的解析概念的第一次扩展。

1734 年, 欧拉引入现在的函数表示形式:()x f。

欧拉就把用算术运算、三角运算和指数对数运算联结变数x 和常数c而成的式子, 取名为解析函数,并将它分成为“代数函数”和“超越函数”两类。

欧拉用“解析表达式”替代了约翰的“任意形式”,明确地表述了变量之间相互依赖的变化关系。

也不再强调函数一定要用公式来表示,但仍没有明确函数是某种对应关系,也没有提出函数可以不用解析式来表示.欧拉对函数的重要贡献是他考虑了用以表示被任意画出的曲线
的函数,并把这种函数叫做“随意函数”。

这使得函数概念为适应积分的需要作出了新的推进。

1797 年拉格朗日在他的《解析函数论》中把一元或多元函数定义为: 自变量在其中可以按任意形式出现并对计算有用的表达式 . 换句话说, 他认为,函数是运算的一个组合.他的代数分析的实质, 就是把函数归结为无穷级数. 他希望任何函数()x f都能表示成他经过形式论证, 得出他经过形式论证, 得出
傅立叶的工作更根本地改变了函数的面貌,震惊了当时的数学界。

他一方面认为有限区间上的函数未必仅有唯一的表达式,另一方面又认为函数必须用解析式来表达,这靠他发明的傅立叶级数理论
来支持。

他证明了任意以π为周期的一个函数f(x)在[ -π,π] 可以由展开, 其中
后来人们又证明了不仅仅周期函数, 任一连续函数在(-π, π)上都可以用正弦或余弦函数给出。

柯西的函数定义; 对于x的每一个值, 如果y 有完全确定的值与之对应, 则y 就叫做x的函数。

这样一来, 无论y 是用一个式子表示的, 还是用多个式子表示的, 甚至是否要通过式子表示都无关紧要了, 只要对x的每一个值, y 有完全确定的值与之对应, 则y 就是x的函数。

不过当时柯西在所给函数定义中, 用多个式子表示函数
情况是在区间上的函数, 或由
等表示情况。

著名的黎曼——狄里克雷的出现无疑是给柯西出了个难题,1837年，他定义函数: 对于x的每一个值, 如果有完全确定的值与之对应, 不论x, y 所建立的对应方式如何, y 都叫做x的函数。

这样,
就是一个函数了，函数是不容易用解析式来表达的。

这个定义和我们现在中学教科书中的函数概念已经很接近了,它
不仅把变量之间的关系描述为对应变化的关系, 而且就函数的解析
表达式也做了讨论。

前面两个世纪的人们把更多的注意力投放在函数的解析式上，数学家开始关注自变量的取值范围。

把函数自变量的取值范围从实数域扩大到了复数域, 相应地就有了实变函数论和复变函数论的区分。

再有自变量在一个区间上的取值情况变得复杂起来, 它有时可以无限
制地取遍该区间上的所有值, 有时必须按特定条件取值, 新的情况
促使人们寻找新的视角来定义函数的概念〔6〕。

从19 世纪70 年代开始, 康托尔发表了一系列文章, 系统地分
析和刻画了实数的连续性及无穷集合的性质, 出现了连续统等问题
的研究, 逐步形成并诞生了集合理论. 在康托尔开创了集合论理论
后, 由于其对于数学的基础性, 成为现代数学描述的基础语言. 因此, 函数概念的定义再一次面临着新变化.
1887 年, 戴德金的关于函数的定义: 系统S 上的一个映射蕴涵了一种规则, 按照这种规则, S 中每一个确定的元素s 都对应着一个确定的对象, 它成为s 的, 记作()sφ.我们也可以说,()sφ对应于元素s ,()sφ由映射φ作用于s 而产生或导出; s 经映象φ变换成()sφ。

在这个定义中, 首次用映射来描述函数, 而且明确了映射中所蕴含
的“规则”即对应“关系”才是函数概念的内涵, 已非常接近函数的现代定义了.
1936 年, 布尔巴基给出了函数的现代定义: 设E 和F 是两个
集合, 它们可以不同, 也可以相同, E 中的一个变元x 和F 中的变元y 之间一个关系成为一个函数关系, 如果对每个x∈E , 都存在唯一的y∈F , 它满足跟x 的给定关系, 表示为f→E 。

这就是用映射来表达的现代的函数概念.用集合论的语言定义函数的概念, 可称为函数, 也可以叫做映射.
现在的高中数学教材中函数的定义: 设X , Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则f , 使得对X中的每个元素x , 按法则f , 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应, 则称f 为定义在X 上的函数, 记作f : X→Y ,通常也简记作y = f(x), x∈X , 其中x 称为自变量, y 称为因变量, X 称为定义域.
简单的结论: 现在函数的概念所包括的范围似乎是硕大无比了, 但是, 如果说这种扩展已经到顶了, 那就未免为时过早。

事实上, 在
本世纪四十年代, 由于物理学的需要, 发展了占函数, 它在一点处不为零, 而在R 上的积分等于1 , 原来的函数定义就包含不了这种占函数。

于是又有索伯列夫、洛朗和许瓦兹引入了广义函数的概念, 把函数、测度以及占函数等概念统一起来了。

这样, 在函数概念的内涵上再一次得到了扩展。

初等函数概念虽然是在初中才正式引入的, 但是我国的数学课程实际上在小学阶段就开始渗透. 比如, 小学乘法运算中2 的乘法公式, 如果把乘数2 看成是K , 被乘数看成是自变量X , 则乘积就是因变量Y,这可以是一个简单的比例函数, 把被乘数1～9 和乘积2、4、6、8、10、12、14、16、18 看成两个集合, 则“×2”就
是它们之间的一个映射, 这两个集合是一一对应关系.
初中阶段函数的概念是：一般地，设某变化过程中有两个变量，如果对于在某一范围内的每一个确定的值x, 都有唯一确定的值y 与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量，当函数关系用等式来表示时，这个等式叫做函数解析式（或函数关系式）．这里指出函数关系就是变量之间的“对应”关系,同时也给出了自变量的变化范围，但未指明定义域。

这里仍然说函数是相依变量Y,但函数的本质是对应关系。

明确了函数是对应关系后,历史上一度纠缠不清的
解析定义及几何定义就是现在函数的两种不同表示法:解析法与图象法。

此外,还有列表法。

到了高中,通过代数式的学习，让学生了解到量与量之间的依存性;通过数的概念的发展,使学生积累关于“集合”概念的初步思想; 通过数轴和坐标的教学, 渗透关于“对应”概念的初步思想等, 有了这些铺垫,学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时, 才能比较容易接受.函数是用映射定义的：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确实的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f（x）和它对眼，那么就称f：A→ B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作y=f（x），x∈ A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相应的y 的值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）│x∈A｝叫做函数的值域．简单地说，就是指一个关系作用于集合A 中的每一个数，使它与集合B 中的一个数相对应．“映射”是集合中的概念,其含义比“对应”更确切了,突出了方向性。

本科数学专业的函数概念给定两个实数集D、M, 若按照某一确定的对应法则f , D 内每一个数x 有唯一的一个数y ∈ M 与它相对应, 则称f 是确定在数集D 上的函数,记作f:D → M,其中集D 称为函数的定义域, D 中的任意数x 根据法则f 所对应的y,记作f(x),称为f 在x 的函数值。

高等数学中的函数概念除了反映变量之间的依赖关系这一本质
属性之外, 还具有种种其它属性. 函数概念与极限、连续、导数、微
分、积分、级数及微分方程等等概念之间有着紧密的联系.对高等数学中出现的各种函数及相互间的结构联系进行归纳整理,可得到以下图1.
图1
从图1可看出,基本初等函数是构成一切函数和级数的基础. 级数除了有可能收敛到初等函数和分段函数这两类常见函数外,还可能发散.这是有限叠加与无限叠加不同之处.
函数定义范围的拓展情况可以从表2中得到反映.对这一问题的深入探讨,牵涉到实变、复变函数、拓扑、微分几何等多个数学分支学科知识。