平行线的判定及性质

平行线的判定及性质（一） 【知识要点】

一.余角和补角:

1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ+= 90o ∴αβ与互为余

2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ+= 180o ∴αβ与互为补角 二.余角和补角的性质: 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质: 对角相等.

四.“三线八角” ：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线平行.

2、内错角相等, 两直线平行.

3、同旁内角互补, 两直线平行.

4、同平行于一条条直线平行.

5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1. 两直线平行,同位角相等；

2. 两直线平行, 内错角相等；

3. 两直线平行, 同旁内角互补.

【典型例题】

一、余角和补角

例1. 如图所示，

互余角有_________________________________； 互补角有_________________________________；

变式训练：1. 一个角的余角比它的的

1

3

还少20o ，则这个角为_____________。 2. 如图所示，已知∠AOB 与∠COB 为补角，OD

的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BO=1

2

∠EOC, ∠DOE=72o, 的度数。

二、“三线八角”

例2 （1） 如图，哪些是同位角内错角同旁内角

（2） 如图，下列说法错误的是（ ）

A. ∠1和∠3是同位角

B. ∠1∠5是同角

C. ∠1和∠2是内角

D. ∠5和∠6是内错角

（3）如图，⊿ABC 中，DE 分别交B 、A 于D 和E,同位角 对，内错角 对，同旁内角

三、平行线的判定

例3如右图 ① ∵ ∠1＝∠2

∴ _____∥_____， （ ） ② ∵ ∠2＝_____

∴ ____∥____， (同位角相等，两直线平行) ③ ∵∠3＋∠4＝180o

∴ ____∥_____， （ ） ∴ AC ∥FG ， （ ）

变式训练：1.如图, ∵ ∠1=∠B

∴ ∥_____， （ ） ∵ ∠1/∠2

∴ _____∥_____， ( ) ∵ ∠B ＋_____＝180o ，

∴ AB ∥EF ( )

例4. 如图，已知AE 、CE 分别平分∠BAC 和∠ACD, ∠1和∠2互余，求AB ∥CD ,

变式训练：如图，已知直线a 、b 、e ，且∠1=∠2，

∠3+∠4=180o, 则a ∥c 平行吗

五、平行线的性质

例5 如图所示，AB ∥EF ，若∠ABE=32°，∠ECD=160°，

求 ∠BEC 的度数。

变式训练：1．如图所示，L 1L 2，则∠1=_____．

（浙江省中考题）

2．（兰州·中考题） 如图所示，AB ∥CD,MN 交CD 于点E,F,GE ⊥MN 于点E ， 若∠DEG=60°，求 ∠AFE 的度数。

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1. (2009青岛市)如图，已知AB ∥CD,∠1=100o ，∠2=120o ，

则∠α= 。

2. （2011山东日照，）如图，已知直线AB CD ∥，

125C ∠=°，45A ∠=°，那么E ∠的大小为（ ）

A B

C

D G

1 3

2 C A B

E D 1 a b c

d

e

1 2

3 4

∴

A B

C

D E F

1

2

3 A

D

B

C P 2

（A ）70°

（B ）80°

（C ）90°

（D ）100°

3. 如图，∠BED=∠B+∠D 则AB 与CD 有怎样的位置关系请说明理由。（2010·培优）

4. （2010武汉）如图，点P 是四边形ABCD 的边CD 上任意一动点，且∠C=∠

1+∠2. 请问AD 与

BC 有怎样的位置关系请说明你判断的理由。

5. （第18届北京市“迎春杯”竞赛题）已知∠A

的两条边和∠B 的两条边分别行，且∠A

比∠B 的3少20°，求 ∠B 的度数。 6 . （2008·培优）如图，∠B ＝∠C ，B 、A 、D 三点在同一直线上，∠DAC ＝∠B ＋∠C ，AE

是∠DAC 的线，求证：AE ∥BC 。

平行线的判定与性质（二）

（拓展训练） 【知识要点】

一、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用，主要体现在以下两个方面：

1. 由角定角 确定其它角

的关系

2. 由线定线

确定其它两

直线平行

二、探索几何问题的解决方法，主要从以下两个方面去分析：

1. 由因导果（综合法）：

即——从已知条件出发，推出相应的结论。 2. 执果溯因（分析法）：

即——要得到结论需要具备什么条件。

所以：解题时，我们即要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与未知

的转化与沟通。 三、简单的面积问题：

1. 计算图形面积的常用方法：① 和差法 ② 运动法 ③ 等积变形法

2. 求图形面积的常用技巧：寻找共用的三角形。 【典型例题】

例1 (拐弯行走问题) 如图，某人从A 点出发，每前进10米，就向右转18°，

再前进10米，又向右转18°，这样下去，他回到 出发地点时，一共走了________米．

变式训练：

1. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A 是120°，第二次拐的角∠B 是150°， 第三次拐的角是∠C ，这时恰好和第一次拐弯之前的道路 平行，则∠C = ．

B

C D E

A

A B C D

P 1 2

A A 1

A 2 18o

18o