变量与函数(第一课时)(优质公开课)

2 3
4π
9π
关系式是——S——=—π——r2————；
4
π 16π 其中常量是——————————；
…
…
r
πr2
S， r 变量是——————————.
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活动三
1.用10cm长的绳子围成矩形，试改变矩形的长、 宽，观察矩形的面积怎样变化，试举出三组长、 宽的值。计算相应矩形的面积的值，然后探索 它们的变化规律：设矩形的长度为xcm，面积
函数值的定义：如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值
(1) 行程问题：s=60t
t是自变量 , s是t的函数
(2函) 数票房是收变入量问例题如：y=y1=01+00x.5x，y
是随x的变化而变化的量，y是x
的函数,函数值是一个变量所
x是自变你与量能 函, 发 数y现 值是函 有x的数 什函数 么区别吗？
探究：
挂1kg重物时弹簧的长度：1×0.5+10=10.5（cm）
挂2kg重物时弹簧的长度：2×0.5+10=11（cm）
挂3kg重物时弹簧的长度：3×0.5+10=11.5（cm）
结论： 关系式为： l =0.5m+10
3. 小明到商店买练习簿，每本单价2元， 购买的总数 x（本）与总金额 y（元）的
（2）指出自变量x的取值范围； （3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ （1）y=50-0.1x； （2）从里程x考虑，里程x不能为负数 ∴x≥0
从油箱里的油量y考虑，油量y不小于0不能超过50
0≤y≤50 即0≤ 50-0.1x ≤50 ∴0≤x≤500
∴自变量x的取值范围是0≤x≤500 （3）当x=200时，y=50-0.1×200=30
S=60t y=10x l =0.5m+10 S R2
1.每个式子中各有几个变量？ 都有两个变量；
2.当其中一个变量取定一个值时，另一个变 量的取值是否唯一确定？
其中的一个变量取定一个值，另一个变量
的值也有唯一确定的对应值。
函数概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量
（假定为x和y），对于x的每一个确定的值，y都
B. y 2x
练
C. y 2x
D. y 2x2 4
一
练
2、已知函数 y 2x 1 ，当x=1时的函数值是（ B） x2
A、1
1 B、 3 C、
D1 、0 2
函数概念的辨析
3、下列关系中，y不是x函数的是（ D ）
A.y x 2
B.y x2
C.y x
D. y x
活动二
下面问题中变化的量和不变的量： （3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的 半径r 分别为1 cm，2 cm，3 cm 时，圆的面积S 分别 为多少？在这个过程中，哪些量是变化的？
变化中的圆面积S与半径r的大小密切相关，完成注意下：图此处的
r
S
2是一种运算
1
π 圆面积S与圆的半径r之间的
(2)函数的定义：（包括y值的存在性和唯一性） 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y， 并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。 (3)函数值的定义： 如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的 函数值
常量是 a
随堂练习
1.若球体体积为V，半径为R，则V= 4 R333
3
其中变量是 V 、 R ，常量是
4
3
.
2.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每
小时耗油5升，则油箱内余油量Q升与行使
时间t小时的关系是
其中的常量是40、5
Q，=变40量-5是t
. 并指出
Q、t
随堂练习
3.夏季高山上温度从山脚起每升高 100米降低 0.7℃，已知山脚下温度是 23℃，写出温度y与上升高度 x之间的 关系式，并指出其中的常量与变量。
为S cm2 ，怎样用含x的式子表示S？
1
1.用10cm长的绳子围成矩形，试改变矩形的长、 宽，观察矩形的面积怎样变化，试举出三组长、
宽的值。计算相应矩形的面积的值，然后探索 它们的变化规律：设矩形的长度为xcm，面积
为S cm2 ，怎样用含x的式子表示S？
解： 长 x 米
4
3
2.5
宽 (5-x) 米
瓶子或罐头盒等物体常如下图那样 堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间函数 的关系式.
x12 3 …
x
y 1 1+2 1+2+3 … 1+2+3+ …+x
瓶子总数y 与层数x之间的关系式：
y 1 x( x 1) 2
本节课学到哪些知识？
变量与函数
(1)在一个变化过程 中
数值不发生变化的量 常量 数值发生变化的量 变量
(1) 第一场电影票收入：150×10=1500元 第二场电影票收入：205×10=2050元 第三场电影票收入：310×10=3100元
(2) 关系式为：y=10x
2.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重 物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索 它们的变化规律。如果弹簧原长10cm，每1kg 的重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含有重物质 量m的的式子表示受力后弹簧的长度l？
1
2
2.5
面积 s 米2
4
6 6.25
S= x （. 5-x）
例： 一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角
形的面积也随之发生了变化. 解:（1）面积s随高h变化的关系式s =
5
5h 2
，
其中常量是 2 ，变量是 h和s ， h 是自变 量， s 是 h 的函数；
（2）当h=3时，面积s=__7_.5___，
2.在以上这个过程中， 变化的量是 里程S千米与时间t时 .
没变化的量是 速度60千米/小时 .
3.试用含t的式子表示S S=60t .
活动一
1. 每张电影票售价为10元，如果 第一场售出票150张，第二场售出 票205张，第三场售出310张. 三场
电影的票房收入各多少元？设一场 电影售票x张，票房收入y元。怎样 用含x的式子表示 y ？
关系式，可以表示为: y = 2x
其中y随x的变化而变化
在上述活动中，我们要想寻求事物变化过程 的规律，首先需要确定在这个过程中哪些量是 变化的，而哪些量又是不变的。
定义：
在一个变化过程中，我们称数值发生变化
的量为变量
那些数值始终不变的量称之为常量.
例如： 售出票数x、票房收入y；重物质量m、 弹簧长度l都是变量.
（3）当h=10时，面积s=__2_5___；
日常生活和自然界中函数的事例很多，你能举一个吗？
二、指出下面各个问题中，哪些量是 变量，哪些量是常量？
（2）如果某种报纸的单价为 a 元，x 表示
购买这种报纸的份数， y（元）表示买报纸 的总价，试用含 的x 式子表示 y.
解： y ax
变量是 x 、 y
4、下列哪个图中的曲线表示 y 是 x 的函数？
（1）、（2）、（3）
函数概念的辨析
4、下列关于变量x和y的关系式：（1）y=x ，（2）2x2-y=0，（3）x=y2，（4）2xy2=0，其中y是x的函数的有（ B ） A、1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个
例3。一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油， 那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位： km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。 （1）写出表示y与x的函数关系的式子；
所以汽车行驶200km时，油箱中还有油30L.
1、这些是否是函数？请说明理由.
练
① | y |＝ x＋1,
一
② y= x2＋4x＋12 ③ y2 ＝ x
练
2、三角形的周长是 y cm ,三边分别为 9cm、11cm、xcm.
（1）求y与x的函数关系式； （2）求自变量x的取值范围.
瓶子或罐头盒等物体常如下图那样 堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关 系式.
而票价10元，弹簧原长10cm……都是常量.
1、一辆汽车以40千米/小时的速度行驶，
写出行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)
的关系式。
t
变量
S = 40t
S 40
变量 常量
2、一辆汽车要行驶50千米的路程，写出
行驶速度v(千米/小时)与行驶时间t（小时)
之间的关系式
t
变量
V=
50 t
V 50
变量 常量
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变
量, y是x的函数． y也叫因变量
一般地， 如果当x=a时,y=b,则b叫做当自变量为a时的函数值。
函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且
对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变 量，y是x的函数。
（2）y是x的函数吗？为什么？ 是，因为y的值是唯一的。
2、填写下表并回答问题：
x
1
4
9
16
y2=x
±1
±2
±3
±4
（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？ 不是 （2）y是x的函数吗？为什么？ 不是，因为y的值不是唯一的。
1、判断下列问题中的变量y是不是x的函数？
（1）在 y = 2x 中的y与x； 是 （2）在 y = x2 中的y与x； 是 （3）在 y 2 = x 中的y与x； 不是
练一练:下列问题中的变量y是不是x的函数 ？
（1） y = 2x
是
（2） y+2x=3
是
（3） y= x (x≥0)
是
（4） y=x2
是
（5） y2=x
不是
（6） y x
是
（7） y x
不是
（8） y=±x+5
不是
（9） y=x2+3z
不是
1、在下列关系中，y不是x的函数的是（ B）
A. y x 0
大千世界万物皆变
行星在宇宙中的位置随时间而变化; 人体细胞的个数随年龄而变化; 气温随海拔而变化; 汽车行驶里程随行驶时间而变化;
……
提出问题，创设情景
一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，
行驶里程为S千米，行使时间为t小时.
1.请同学们根据题意填写下表：
t 12345
S
60 120 180 240 300
解： y =23 -0.007x
变量是 x 、y
常量是 23、0.007
例：指出下面各个问题中，哪些量是 变量，哪些量是常量？
（1）如果直角三角形中一锐角的度数
为 ，另一个锐角的度数为 ，试
用含 的式子表示 .
解： = 900 -
变量是 、
常量是 90
变量与函数
再来观察刚才得出的几个关系式：
取的某个具体的数值.一个
函数可能有许多不同的函数 值，长x例(c如m)当x=1时9，函数y8=10+0.57x的 6
函y=面1数0积+值0S.等(5cx于m的12函0) .5数，值当9等x于=2时111，6函数 21
24
应用迁移：
1、填写表格并回答问题：
x
1
2
3
4
y=x2
1
4
9
16
（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？ 是