对几种非正态总体的参数假设检验的讨论
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商业文化·学术探讨 2008 年 2 月
对几种非正态总体的参数假设检验的讨论
翟彬谢铭
（西安交通大学经济与金融学院，西安，710061）
中图分类号：O212
文献标识码：A
文章编号：1006—4117（2008）02—0353—01
1．指数分布总体参数的假设检验 设 总 体 X 服 从 参 数 为 λ （ λ >0 ） 指 数 分 布 ，
i=0
<
C
i n
P0i
(1 −
P0
)n−i
i=0
，C
取值为 C0 或是 C0。当取值为 C0+1 时，相当于把水平 α 升
高一些，允许犯第一类错误的概率略大一点。当取值为 C0+1
时，则相当于把水平α 降低一点。
3．泊松分布总体的参数假设检验
设随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布，
P(X
= k) =
χ
2 α
(n
பைடு நூலகம்
)
0
2 2C+2
，然后查
表，先取一个
C
值查表得出
χ
2 2C
+
2
(1
−
α
) ，若此值小于
λ2 0 ，表明 C 值取得太小，反之则太大。
353
λ e − λ 0
i
0
=
∞ e −tt c dt
0
，又因为 i = 0
i!
λ0 c !
[4]，对右端的
积 分 做 变换 可得 到 自 由度为 2C+2 的卡方 分 布 函数 ，
K2C+2 (2λ0 ) = α ， 根 据 卡 方 分 布 的 性 质 ，
2λ = χ (1−α ) ∞
[6] 得 ∫ f ( x ) d x = α
对 给 定 的 显 著 性 水 平 α ， 有 β (λ0 ) = α ， 即
∑ C C
λ e − λ 0
i
0
= 1− α
i= 0
i!
，实际情况是存在整数
0 ，使
∑ ∑ C C 0
λ e − λ 0
i
0
< 1−α
i= 0
i!
C0 +1 − λ0
i
< e λ0
i= 0
i!
，C
取值
0 或是
C +1 ∑ ∫ C 0
3．二项分布总体的参数假设检验
设某事件发生的概率是 p,且未知，作 n 次独立试验， 每次观察该事件是否发生。以 X 记该事件发生的次数，则 X 服从二项分布 B（n，p）。
以 H0：p ≤ p0，H1：p > p0 为例，从直观上看，
一个显然的检验法为：当 X≦C 时接受 H0，不然就否定 H0， 因 X 只能取整数，故 C 也可限于整数。此检验的功效函数 为
c
∑ β(p) = Pp(X >C) =1−Pp(X ≤C) =1− Cni Pi(1−P)n−i i=0
的均值和方差都是λ，当 H0 成立时，X 倾向于取较小之值， 因此当 X≦C 时接受 H0，否则就否定 H0，其功效函数是
∑ β (λ) = P( X > C) = 1− P( X ≤ C) = 1− C e−λλi i=0 i! ，
γn
=
1
x n −1e − x ( x
(n − 1) !
>
0) ，γn
= 0(x < 0) 。
c
∑ 即
i=0
C
i n
P
i (1
−
P )n−i
= 1−α
，实际情况中不一定
恰好有个整数 C 使之成立。较常见的情况是存在这样一个
C0
C0 +1
C ∑ ∑ 0 ， 使
C
i n
P0i
(1
−
P0 ) n − i
<1−α
X1, X 2 , , X n 是一个样本容量为 n 的样本，样本均值是
X ， Wn = nX 服 从 Γ(n, λ) ， 其 密 度 函 数 为
Pn
=
(n
1
λ n x n−1e − λ x ( x
− 1) !
>
0)
， Pn
= 0(x < 0) ；
γ n = λWn = λnX ∼ Γ(1, n) ， 其 密 度 函 数 为
λ ke−λ ,k
k!
=
0 ,1, 2 ... ，记为
X
∼
P(λ) 。
构造统计量 λnX ∼ Γ(1, n) ，以 H0 ： λ = λ0 ，
以 H0：λ ≤ λ0，H1：λ > λ0 为例，由于泊松分布
H1：λ ≠ λ0 为例，拒绝域是 λnX > γ 2 或 λnX < γ1 ，
此处的下标写成 1 和 2 而不是α/2 和 1-α/2 区别于传统的 方法在做假设检验时，分位数两侧的面积是相同的，当总 体为对称分布时，这样求得的置信区间是最短的，因而是 合理的。而对于非对称分布，这样求得的置信区间显然不 一定是最短的，因此拒绝域也应当作出相应的调整，分位 数两侧的面积不一定相等。最短置信区间的长度随样本容 量 n 的增大而缩短，因此，随着 n 的变化，分位数的位置 也会相应的变化。
对几种非正态总体的参数假设检验的讨论
翟彬谢铭
（西安交通大学经济与金融学院，西安，710061）
中图分类号：O212
文献标识码：A
文章编号：1006—4117（2008）02—0353—01
1．指数分布总体参数的假设检验 设 总 体 X 服 从 参 数 为 λ （ λ >0 ） 指 数 分 布 ，
i=0
<
C
i n
P0i
(1 −
P0
)n−i
i=0
，C
取值为 C0 或是 C0。当取值为 C0+1 时，相当于把水平 α 升
高一些，允许犯第一类错误的概率略大一点。当取值为 C0+1
时，则相当于把水平α 降低一点。
3．泊松分布总体的参数假设检验
设随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布，
P(X
= k) =
χ
2 α
(n
பைடு நூலகம்
)
0
2 2C+2
，然后查
表，先取一个
C
值查表得出
χ
2 2C
+
2
(1
−
α
) ，若此值小于
λ2 0 ，表明 C 值取得太小，反之则太大。
353
λ e − λ 0
i
0
=
∞ e −tt c dt
0
，又因为 i = 0
i!
λ0 c !
[4]，对右端的
积 分 做 变换 可得 到 自 由度为 2C+2 的卡方 分 布 函数 ，
K2C+2 (2λ0 ) = α ， 根 据 卡 方 分 布 的 性 质 ，
2λ = χ (1−α ) ∞
[6] 得 ∫ f ( x ) d x = α
对 给 定 的 显 著 性 水 平 α ， 有 β (λ0 ) = α ， 即
∑ C C
λ e − λ 0
i
0
= 1− α
i= 0
i!
，实际情况是存在整数
0 ，使
∑ ∑ C C 0
λ e − λ 0
i
0
< 1−α
i= 0
i!
C0 +1 − λ0
i
< e λ0
i= 0
i!
，C
取值
0 或是
C +1 ∑ ∫ C 0
3．二项分布总体的参数假设检验
设某事件发生的概率是 p,且未知，作 n 次独立试验， 每次观察该事件是否发生。以 X 记该事件发生的次数，则 X 服从二项分布 B（n，p）。
以 H0：p ≤ p0，H1：p > p0 为例，从直观上看，
一个显然的检验法为：当 X≦C 时接受 H0，不然就否定 H0， 因 X 只能取整数，故 C 也可限于整数。此检验的功效函数 为
c
∑ β(p) = Pp(X >C) =1−Pp(X ≤C) =1− Cni Pi(1−P)n−i i=0
的均值和方差都是λ，当 H0 成立时，X 倾向于取较小之值， 因此当 X≦C 时接受 H0，否则就否定 H0，其功效函数是
∑ β (λ) = P( X > C) = 1− P( X ≤ C) = 1− C e−λλi i=0 i! ，
γn
=
1
x n −1e − x ( x
(n − 1) !
>
0) ，γn
= 0(x < 0) 。
c
∑ 即
i=0
C
i n
P
i (1
−
P )n−i
= 1−α
，实际情况中不一定
恰好有个整数 C 使之成立。较常见的情况是存在这样一个
C0
C0 +1
C ∑ ∑ 0 ， 使
C
i n
P0i
(1
−
P0 ) n − i
<1−α
X1, X 2 , , X n 是一个样本容量为 n 的样本，样本均值是
X ， Wn = nX 服 从 Γ(n, λ) ， 其 密 度 函 数 为
Pn
=
(n
1
λ n x n−1e − λ x ( x
− 1) !
>
0)
， Pn
= 0(x < 0) ；
γ n = λWn = λnX ∼ Γ(1, n) ， 其 密 度 函 数 为
λ ke−λ ,k
k!
=
0 ,1, 2 ... ，记为
X
∼
P(λ) 。
构造统计量 λnX ∼ Γ(1, n) ，以 H0 ： λ = λ0 ，
以 H0：λ ≤ λ0，H1：λ > λ0 为例，由于泊松分布
H1：λ ≠ λ0 为例，拒绝域是 λnX > γ 2 或 λnX < γ1 ，
此处的下标写成 1 和 2 而不是α/2 和 1-α/2 区别于传统的 方法在做假设检验时，分位数两侧的面积是相同的，当总 体为对称分布时，这样求得的置信区间是最短的，因而是 合理的。而对于非对称分布，这样求得的置信区间显然不 一定是最短的，因此拒绝域也应当作出相应的调整，分位 数两侧的面积不一定相等。最短置信区间的长度随样本容 量 n 的增大而缩短，因此，随着 n 的变化，分位数的位置 也会相应的变化。