数列极限和数学归纳法练习(有_答案)

数列极限和数学归纳法

一、知识点整理：

数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和

要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q 当

01q <<时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问

题。

1、理解数列极限的概念：2

1

,(1),n n

n

-等数列的极限

2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广

3、常见数列的极限：1

lim 0,lim 0(1),lim →+∞→+∞→+∞

==<=n n n n q q C C n

4、无穷等比数列的各项和：1lim (01)1→+∞==<<-n n a

S S q q

数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和证明”处理数列问题

（1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明22389n n +--能被64整除，24

3

8(1)9k k +-+-）229(389)64(1)k k k +=--++），证明的目标非常明确；

（2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。 二、填空题

1、 计算：1

12323lim -+∞→+-n n n

n n =_____3_____。

2、 有一列正方体，棱长组成以1为首项、

2

1

为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21

=

+++∞

→)(lim 21n n V V V

8

7

. 3、 20lim

______313n n n →∞+=+1

3

4、 数列的通项公式，前项和为，则 =______32

_______. 5、 设{}n a 是公比为

2

1

的等比数列，且4)(lim 12531=+⋅⋅⋅+++-∞→n n a a a a ，则=1a 3 ．

{}n a *1 , 1

()1

, 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪

=∈⎨≥⎪+⎩

n n S lim n n S →∞

6、 在等比数列{}n a 中，已知123432,2a a a a ==，则()12lim n n a a a →∞++

+=_16±______.

7、 数列{}n a 的通项公式是13(2)--+=+-n n n a ，则 )(lim 21n n a a a +++∞

→ =___76

____ . 8、已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，

则lim n n S →∞

的值为

16

3

. 9、设数列{}n a 满足当2n a n >（*N n ∈）成立时，总可以推出21(1)n a n +>+成立．下列四个命题： （1）若93≤a ，则164≤a ．（2）若310a =，则525a >．（3）若255≤a ，则164≤a ． （4）若2(1)n a n ≥+，则21n a n +>．其中正确的命题是 （2）（3） （4） .（填写你认为正确的所有命题序号）

10、将直线1l ：01=-+y x ，2l ：0=-+n y nx ，3l ：0=-+n ny x （*N ∈n ，2≥n ）围成的三角形面积记为n S ，则=∞

→n n S lim ___12

________．

11、在无穷等比数列{}n a 中，所有项和等于2，1则的取值范围是a ()()0,22,4

12、设无穷等比数列{}

n a 的公比为q ，若

245lim()

→∞

=++

+n n a a a a ，则13、

已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+

0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛

+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝

⎛

++n n C 23,12，其中n 为正整数，设n S 表示△

ABC 的面积，则=∞

→n n S lim ___2.5________．

14、

下列关于极限的计算，错误．．

的序号___（2）___．（1）=

= （2）（+

+…+）=

++…+

=0+0+…+0=0 （3）

（

－n ）=

=

=；

（4）已知=

（15）已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的函数，且对于任意,a b ∈R ，满足()22f =，

()()()f ab af b bf a =+，记()()

22,22

n n n n n

f f a b n

=

=

，其中*

N n ∈．考察下列结论：①

()()01f f =；②()f x 是R 上的偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列.其中

正确结论的序号有 ① ③ ④ ．

二、选择题：

16、已知,,若，则的值不可能．．．是… ………（ （D ） ） （A ） . （B ）. （C ）. （D ）.

17、若21

lim 12n n r r +→∞⎛⎫

⎪+⎝⎭

存在，则r 的取值范围是 （ （A ） ）

（A ）1r ≤-或13r ≥-

；（B ）1r <-或13r >-；（C ）1r ≤-或1

3

r >- ；（D ）1

13

r -≤≤-

观察下列式子：，可以猜想结论为((C) ) .

(A) ；(B) (C) ；(D)

19、已知1212012

1()20122

n n n n a n -- , <⎧⎪

=⎨- , ≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ (A ） ）

(A ）lim n n a →∞

和lim n n S →∞

都存在 ； (B) lim n n a →∞

和lim n n S →∞

都不存在 。

(C) lim n n a →∞

存在，lim n n S →∞不存在 ； (D) lim n n a →∞不存在，lim n n S →∞

存在。

20、设双曲线2

2

*

(1)1()nx n y n N -+=∈上动点P 到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ，则

lim n n d →+∞

的为（ (A ） ） （A

）

2 （B ）1

2

（C ） 0

（D ）1

三、综合题：

0>a 0>b 11

lim 5n n n n

n a b a b ++→∞-=-b a +78910 ,4

74131211,3531211,23211222222

<+++<++<

+2221112n 1

123n n

++

++⋅⋅⋅+<(n N*)∈2221112n 1123(n 1)n -+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈222

1112n 1

123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈