材料力学课件 7弯曲强度
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max
k = 4/3
k=2
k=1
(3)
If the tension and compression mechanical behavors of the material are not same , the strength criteria of normal stress for the beam can be divided into two formulas shown follows .
max
max
[
[
]
]
材料的拉压力学 性能不一样
[σ –]
脆性材料
[σ + ]
[σ +] [σ –] [τ]
塑性材料
[τ]
3.2 强度条件的应用 (Applications of strength
criteria)
(1) 校核强度(To examine the strength of a beam)
[ ]
If the maximum normal stress every section of the beam rech to the allowed stress of the material , this beam is called the beam of constant strength .
max
M
max
[ ]
Wz
等截面梁
For the beam having same cross section , the methods shown follows will be very usefull to enhance the strength of the beam.
(1) 减小梁中的最大弯矩
a. 合理选择截面形状
W z ( x ) I z ( x ) / y max
Wz
y
A
2
d A / y max
The aera of all cross sections is just same
尽可能采用面积远离中性轴的截面
但不能无限制 ,可能不稳定 .
b. 合理放置梁
h 2b
b
2
b
qL
If the cross section of the beam is just same everywhere and the strength of the beam reach to its limit , we can get :
L/ 2
L/ 2
A
2
D
C
B
M C M max qL / 4
习 题
6-2 6-4 6-6 6-8 6-13 6-17 6-18 6-19 6-20 选作: 6-21 6-22
本节内容结束
M
max
a. 合理安载荷
qL Limit loading =100kg
Limit loading =150kg
qL
L/ 2
L/ 2
q
2
L/ 3
L/ 3
L/ 3
2
M max qL / 4
M max qL / 6
L
M max qL / 8
2
Limit loading =200kg
尽可能采用分布载荷
external forces)
(3) 计算许可截面尺寸( To determine the size
of cross section)
3.3 提高梁强度的方法
Methods to Enhance the strength of a beam
M (x) W z (x)
max
max
[ ]
Q Q e
b
S xt
h 2
1
b
QS I zt
Qhx 2I z
b
Q1
t
1 0
dx
0
Qhxt 2I z
dx
Qhtb 4I z
2
m Q1h
Qh b t 4I z
2
2
e
m Q
b h t 4I z
2
2
平面弯曲情况下，分布的切应力向弯曲中心 简化的结果是主矢不为零，主矩为零。
目的：节约材料
弯曲中心 ( bending center )
(1) 横截面具有左右对称轴的构件
(2) 横截面不具有
左右对称轴的构件
弯曲中心
定义: 截面内或外的一点使得截面上的
剪力向该点进行等效移动时只有主矢而无
主矩 .则该点称为截面的弯曲中心.
Q τ1 1
t
x S´ m
(3) 弯曲中心的确定
h
W1 2W2
W1
bh 6
2b 3
3
h 2b
W2
hb 6
2
b
3
3
第一种放置方式其强度是第二 种放置方式的两倍!
W I ymax
W2 2 3
a 2
a
3 3
a
a
W2 2I / a
W1
3I / a
第二种放置方式其强度是第 一种放置方式的一倍多!
(3) 等强度梁 ( Beams of constant strength )
3. 梁 的 强 度
Strength of beams
3.1 梁的强度条件 （Strength criteria）
(1) 一般梁的强度条件 (General strength criteria of beams)
M (x) W z (x)
k Q (x) A( x)
max
max
[ ]
max
max
[ ]
Attention : the strength criterion of shearing stress is less important than the strength criterion of normal stress .
结论 :
在一般细长梁中，弯曲正应力是引起破坏 的主要原因, 而切应力是次要原因 . 在短粗梁、薄壁杆件、层合梁、抗剪能力 较弱的复合材料梁中，弯曲切应力是引起破坏 的值得重视的因素。
校核梁的强度的一般流程
计算横截面形心位置以确定中性轴
计算横截面关于中性轴的惯性矩 确定可能产生最大拉应力和最大 压应力的截面及其弯矩 用公式计算最大正应力 确定可能产生最大切应 力的截面及其剪力 用公式计算最大切应力
根据许用应力校核强度
(2) 计算许可载荷 (To determine the maximum
b. 合理安排支座
Limit loading = 200kg
q
Limit loading = 355kg
q
L
M max qL / 8
2
M max 9ql / 128
2
0.2L
0.2L
q
Limit loading = 1000kg
L
M max qL / 40
2
尽可能采用外伸梁
(2) 增大梁的抗弯截面模量
2
M D qL / 8
等截面梁正好达到其强度极限 , 则有 :
max C
M max Wz [ ]
D
M
D
[ ] 2
Wz
max C
M
max
[ ]
Wz
D
M
D
[ ] 2
qL
Wz
That means the strength of section D is over rich than the section C , so we can use smaller section at the place D of the beam . The limit situation is shown as follows :
(2) 等截面梁的强度条件 (Stregth criteria of the beam having same cross section )
M [ ]
[ ]
max
max
Wz
k Q max A
等截面梁
max
M
max
M ( x)
max
Q max Q ( x )
k = 3/2
L/ 2
L/ 2
A
M D qL / 8
2
D
C
B
M C M max qL / 4
2
如图可知 , 截面 C 的最大应力达到强度极限 , 但截面D 的 最大应力只有强度极限的一半 , 也就是说截面 D 的强度有富 裕 ,可以使用较小的截面 , 其极限状态为:
max
(x)
M (x) W z (x)
k = 4/3
k=2
k=1
(3)
If the tension and compression mechanical behavors of the material are not same , the strength criteria of normal stress for the beam can be divided into two formulas shown follows .
max
max
[
[
]
]
材料的拉压力学 性能不一样
[σ –]
脆性材料
[σ + ]
[σ +] [σ –] [τ]
塑性材料
[τ]
3.2 强度条件的应用 (Applications of strength
criteria)
(1) 校核强度(To examine the strength of a beam)
[ ]
If the maximum normal stress every section of the beam rech to the allowed stress of the material , this beam is called the beam of constant strength .
max
M
max
[ ]
Wz
等截面梁
For the beam having same cross section , the methods shown follows will be very usefull to enhance the strength of the beam.
(1) 减小梁中的最大弯矩
a. 合理选择截面形状
W z ( x ) I z ( x ) / y max
Wz
y
A
2
d A / y max
The aera of all cross sections is just same
尽可能采用面积远离中性轴的截面
但不能无限制 ,可能不稳定 .
b. 合理放置梁
h 2b
b
2
b
qL
If the cross section of the beam is just same everywhere and the strength of the beam reach to its limit , we can get :
L/ 2
L/ 2
A
2
D
C
B
M C M max qL / 4
习 题
6-2 6-4 6-6 6-8 6-13 6-17 6-18 6-19 6-20 选作: 6-21 6-22
本节内容结束
M
max
a. 合理安载荷
qL Limit loading =100kg
Limit loading =150kg
qL
L/ 2
L/ 2
q
2
L/ 3
L/ 3
L/ 3
2
M max qL / 4
M max qL / 6
L
M max qL / 8
2
Limit loading =200kg
尽可能采用分布载荷
external forces)
(3) 计算许可截面尺寸( To determine the size
of cross section)
3.3 提高梁强度的方法
Methods to Enhance the strength of a beam
M (x) W z (x)
max
max
[ ]
Q Q e
b
S xt
h 2
1
b
QS I zt
Qhx 2I z
b
Q1
t
1 0
dx
0
Qhxt 2I z
dx
Qhtb 4I z
2
m Q1h
Qh b t 4I z
2
2
e
m Q
b h t 4I z
2
2
平面弯曲情况下，分布的切应力向弯曲中心 简化的结果是主矢不为零，主矩为零。
目的：节约材料
弯曲中心 ( bending center )
(1) 横截面具有左右对称轴的构件
(2) 横截面不具有
左右对称轴的构件
弯曲中心
定义: 截面内或外的一点使得截面上的
剪力向该点进行等效移动时只有主矢而无
主矩 .则该点称为截面的弯曲中心.
Q τ1 1
t
x S´ m
(3) 弯曲中心的确定
h
W1 2W2
W1
bh 6
2b 3
3
h 2b
W2
hb 6
2
b
3
3
第一种放置方式其强度是第二 种放置方式的两倍!
W I ymax
W2 2 3
a 2
a
3 3
a
a
W2 2I / a
W1
3I / a
第二种放置方式其强度是第 一种放置方式的一倍多!
(3) 等强度梁 ( Beams of constant strength )
3. 梁 的 强 度
Strength of beams
3.1 梁的强度条件 （Strength criteria）
(1) 一般梁的强度条件 (General strength criteria of beams)
M (x) W z (x)
k Q (x) A( x)
max
max
[ ]
max
max
[ ]
Attention : the strength criterion of shearing stress is less important than the strength criterion of normal stress .
结论 :
在一般细长梁中，弯曲正应力是引起破坏 的主要原因, 而切应力是次要原因 . 在短粗梁、薄壁杆件、层合梁、抗剪能力 较弱的复合材料梁中，弯曲切应力是引起破坏 的值得重视的因素。
校核梁的强度的一般流程
计算横截面形心位置以确定中性轴
计算横截面关于中性轴的惯性矩 确定可能产生最大拉应力和最大 压应力的截面及其弯矩 用公式计算最大正应力 确定可能产生最大切应 力的截面及其剪力 用公式计算最大切应力
根据许用应力校核强度
(2) 计算许可载荷 (To determine the maximum
b. 合理安排支座
Limit loading = 200kg
q
Limit loading = 355kg
q
L
M max qL / 8
2
M max 9ql / 128
2
0.2L
0.2L
q
Limit loading = 1000kg
L
M max qL / 40
2
尽可能采用外伸梁
(2) 增大梁的抗弯截面模量
2
M D qL / 8
等截面梁正好达到其强度极限 , 则有 :
max C
M max Wz [ ]
D
M
D
[ ] 2
Wz
max C
M
max
[ ]
Wz
D
M
D
[ ] 2
qL
Wz
That means the strength of section D is over rich than the section C , so we can use smaller section at the place D of the beam . The limit situation is shown as follows :
(2) 等截面梁的强度条件 (Stregth criteria of the beam having same cross section )
M [ ]
[ ]
max
max
Wz
k Q max A
等截面梁
max
M
max
M ( x)
max
Q max Q ( x )
k = 3/2
L/ 2
L/ 2
A
M D qL / 8
2
D
C
B
M C M max qL / 4
2
如图可知 , 截面 C 的最大应力达到强度极限 , 但截面D 的 最大应力只有强度极限的一半 , 也就是说截面 D 的强度有富 裕 ,可以使用较小的截面 , 其极限状态为:
max
(x)
M (x) W z (x)