人教版高中数学课件 第二册：二次函数专题

代数推理

例4、已知f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当 │x│≤1时,│f(x)│≤1; (1)求证:│c│≤1; (2)证明:当│x│≤1时,│g(x)│≤2; (3)设a>0,当│x│≤1时,│g(x)│的最 大值为2,求f(x).
代数推理
2、利用函数与方程根的关系，写出二次 函数的零点式 y=a(x－x1)(x－x2)。 例5、设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，方 程f(x)－x=0的两个根x1、x2满足 0<x1<x2<1/a，证明：当x∈(0，x1)时， x<f(x)<x1。

b
数形结合
2、二次函数f(x)的图像具有连续性，且由于二次 方程至多有两个实根，所以存在实数m、n使得m<n 且f（m）f（n）<0等价于在区间(m,n)上,必存在 f(x)=0的唯一实数根. 例6、已知二次函数f(x)=ax2+bx-1(a>0)，设方程 f(x)＝x的两个实根为x１和x２； (1)如果x１<2<x2<４，设函数f(x)的对称轴为x＝x０， 求证：x０>-1； (2)如果│x1│<２，│x２－x1│=2，求b的取值范围。
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b 4 ac b y a x 2a 4a
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（1）将f(x)的图像向右平移两个单位，得到函数 g(x)，求g（x）的解析式； （2）函数y=h(x)与函数g(x)的图像关于直线y=1对 称，求函数y=h(x)的解析式； （3）设F(x)=f(x)/a+h(x)，已知F(x)的最小值是m， 且 m 2 7 ，求实数a的取值范围。
二次函数

学习二次函数，可以从两个方面入手： 一是解析式，二是图像特征.。从解析式 出发，可以进行纯粹的代数推理，这种 代数推理、论证的能力反映出一个人的 基本数学素养；从图像特征出发，可以 实现数与形的自然结合，这正是中学数 学中一种非常重要的思想方法.
代数推理

由于二次函数的解析式简捷明了，易于 变形（一般式、顶点式、零点式等）， 所以，在解决二次函数的问题时，常常 借助其解析式，通过纯代数推理，进而 导出二次函数的有关性质.
数形结合

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图 像为抛物线，具有许多优美的性质，如 对称性、单调性、凹凸性等，结合这些 图像特征解决有关二次函数的问题，可 以化难为易，形象直观。
数形结合
1、二次函数的图像关于直线x= 2 a ， b 特别关系x1+x2= a 也反映了二次函数的一种特 性。 例5、设二次函数y=ax2+bx+c（a>0），方程f（x） －x=0的两个根x1、x2满足0 <x1<x2<1/a，且函数 f（x）的图像关于x=x0对称，证明：x0<x1/2。
代数推理

1、二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0） 中有三个参数. 解题的关键在于：通过 三个独立条件“确定”这三个参数.
代数推理
例1、已知f(x)=ax2+bx，满足1≤f(-1)≤2且 2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围。 例２、设y=ax2+bx+c（a≠0），若 │f(0)│≤1，│f(-1)│≤1，│f(1)│≤1， 试证明：对于任意 -1≤x≤1有│f(x)│≤5/4。 例3、已知f(x)=ax2+bx+c,在区间[-1,1]上恒 有│f(x)│≤1, 求证:(1)│c│≤1, │b│≤1; (2)│a│+│b│+│c│≤3.
知识专题
二ຫໍສະໝຸດ Baidu函数

二次函数是中学代数的基本内容之一，它既 简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本 的初等函数，可以以它为素材来研究函数的 单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起 函数、方程、不等式之间的有机联系；作为 抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之 间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数 可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题。 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数 学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造 的重要知识基础. 因此，从这个意义上说， 有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也 就不足为奇了.

数形结合

3、因为二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间 (-∞，-b/2a]和在区间[-b/2a ，+∞)上 分别单调，所以函数f(x)在闭区间上的 最大值、最小值必在区间端点或顶点处 取得；函数│f(x)│在闭区间上的最大 值必在区间端点或顶点处取得；
数形结合

例7、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c， 当-1≤x≤1时，有-1≤f(x)≤1， 求证：当-2≤x≤2时，有-7≤f(x)≤7。

代数推理
例6、已知f(x)=(a-b)x2+(c-a)x+b-c且a>b>c； (1)求证:f(x)=0总有两个正根； (2)求使不等式f(x)≤0的解集； (3)求使f(x)>(a-b)(x-1)对3b≤2a+c恒成立的x的 取值范围.

代数推理

3、紧扣二次函数的顶点式 对称轴、最值、判别式显合力。 a x f (x) 2 x 例4、已知函数