1.2.2排列二
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有多少种不同排法： ⑴ 男甲排在正中间;
甲 男2 男3 男4 女1 女2 女3
12 34 5 6 7
[排头] 左
甲
右
A66 720
特殊元素, “ 优先法 ”
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
有多少种不同排法：
⑵ 男甲不能排在正中间;
甲 男2 男3 男4 女1 女2 女3
2．有约束条件的排列问题基本的解题方法： ⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题, 通常是先排特殊 元素或特殊位置, 称为“优先法”. 特殊元素,特殊位置优先安排策略
⑵ 某些元素要求必须相邻时, 可以先将这些元素看作一 个元素, 与其他元素排列后, 再考虑相邻元素的内部 排列, 这种方法称为“捆绑法”； 相邻问题捆绑处理策略
[排头] 左 男1 男3 男4 女3 右
法1: A74 7 6 5 4 840
法2:
A77 A33
7654
840
定序问题, “ 消序法 ”
有约束条件的排列问题
练习：一天要排语、数、英、体、班会六节课，要
求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在
上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种
不同的排法？ 数学 A41
有多少种不同排法： ⑸ 三个女生两两都不相邻;
男1 男2 男3 男4 女1 女2 女3
A44 A53 24 60 1140
不相邻问题, “ 插空法 ”
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
有多少种不同排法： ⑸ 全体站成一排, 甲乙必须相邻、但和丙不能相邻;
共有多少种不同的送法? 5 5 5 53 125
例3 某信号兵用红, 绿, 蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的 旗杆上表示信号, 每次可以任挂 1 面、2 面或 3 面, 并且不同的顺序表示不同的信号, 一共可以表示多 少种不同的信号？
按挂旗的数量分类：
第一类, 挂 1 面：A31 3 第二类, 挂 2 面：A32 3 2 6 第三类, 挂 3 面：A33 3 21 6
⑶ 某些元素不相邻排列时, 可以先排其他元素, 再将这些 不相邻元素插入空挡, 这种方法称为“插空法”； 不相邻问题插空处理策略
⑶ 某些元素必须安一定的顺序排列时, 可以先排其他元素, 再将这些定序的元素插入空挡, 即插空法.
或先不考虑定序, 先全部排列, 再除掉这些定序元素的排列 数这种方法称为“消序法”； 定序问题消序处理策略
解: 14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛, 对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列, 因此,
比赛的总场次是 A124 1413 182
例2 (1) 有5本不同的书, 从中选3本送给3名同学, 每人各
1本, 共有多少种不同的送法? A53 5 4 3 60
(2) 有5种不同的书, 买3本送给3名同学, 每人各1本,
男1 甲 男3 男4 乙 丙 女3
男1
男3
男4
女3
A44 A52 A22 24 20 2 960
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
有多少种不同排法：
⑹ 全体站成一排, 甲、乙、丙三人自左向右顺序不变;
男1 甲 男3 男4 乙 丙 女3
12 34 5 6 7
班会 A21
第一类:
数学
数学 A31
体育 班会
A21 1 A41 A33 48 班会 A21
第二类:
数学 体育
班会
体育 A31 A21 A31 A31 A33 108
小结： 1. 对有约束条件的排列问题, 应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； ⑷某些元素要求定序（即安确定的顺序）.
解法二：“特殊位置优先法”
A91 A92 9 9 8 648
解法三：“接间——排除法”
A130 A11 A92 720 72 648
有约束条件的排列问题
例5 有5名男生, 4名女生排队. (1) 从中选出3人排成一排, 有多少种排法?
A93 9 8 7 504
(2) 全部排成一排, 有多少种不同排法?
4.有关公式：
1.阶乘：n! 12 3 • • •(n 1)n
（2）排列数公式:
A
m n
n (n 1)(n m
1)
n！ (n m)！
(m、nN*,m n)
(3)全排列数公式： Ann n!
例1 某年全国足球甲级 A 组联赛共有14个队参加, 每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次, 共进行多少场比赛?
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
有多少种不同排法： ⑷ 三个女生排在一起;
男1 男2 男3 男4 女1 女2 女3
男2 女1 女2 女3 男1
男4
男3
A55 A33 120 6 720
相邻问题, “ 捆绑法 ”
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
复习巩固
1、排列的定义：
从n个不同元素中，任取m(m n )个元素（m
个元素不可重复取）按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m( m n)个元素的
所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元
素的排列数 Anm
3.全排列的定义： n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n个不 同元素的一个全排列.
来自百度文库
12 34 5 6 7
[排头] 左
右
法一：先排甲, 再排其它元素. A61 A66 4320 法二：先排中间位置, 再排其它位置. A61 A66 4320
特殊元素或特殊位置, “ 优先法 ”
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
有多少种不同排法：
⑶ 男甲不在排头, 女乙不在排尾;
甲 男2 男3 男4 女1 女2 乙
12
[排头] 左 甲
12
[排头] 左
34 34
567
右 A66 720
567
乙 右 A66 720
12
[排头] 左 甲
34
567
乙 右 A55 120
A77 2A66 A55 42A55 12A55 A55 31A55 3720
直接困难, “间接法——排除法”
A99 9!
(3) 排成两排, 前排4人, 后排5人, 有多少种不同排法?
A94 A55 9 8 7 6 5 4 3 21 9!
(4) 排成两排, 一排排男生, 另一排排女生, 有多少种不 同排法?
( A55 A44 ) A21 5!4 3 21 2 48 5!
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
共：A31 A32 A33 3 6 6 15
例4 用 0 到 9 这 10 个数字, 可以组成多少个没有
重复数字的三位数？
百位 十位 个位
解法一：“特殊元素优先法”
第一类, 不含 0: A93 9 8 7 504 第二类, 含有 0: A21 A92 2 9 8 144
共: A93 A21 A92 648
甲 男2 男3 男4 女1 女2 女3
12 34 5 6 7
[排头] 左
甲
右
A66 720
特殊元素, “ 优先法 ”
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
有多少种不同排法：
⑵ 男甲不能排在正中间;
甲 男2 男3 男4 女1 女2 女3
2．有约束条件的排列问题基本的解题方法： ⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题, 通常是先排特殊 元素或特殊位置, 称为“优先法”. 特殊元素,特殊位置优先安排策略
⑵ 某些元素要求必须相邻时, 可以先将这些元素看作一 个元素, 与其他元素排列后, 再考虑相邻元素的内部 排列, 这种方法称为“捆绑法”； 相邻问题捆绑处理策略
[排头] 左 男1 男3 男4 女3 右
法1: A74 7 6 5 4 840
法2:
A77 A33
7654
840
定序问题, “ 消序法 ”
有约束条件的排列问题
练习：一天要排语、数、英、体、班会六节课，要
求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在
上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种
不同的排法？ 数学 A41
有多少种不同排法： ⑸ 三个女生两两都不相邻;
男1 男2 男3 男4 女1 女2 女3
A44 A53 24 60 1140
不相邻问题, “ 插空法 ”
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
有多少种不同排法： ⑸ 全体站成一排, 甲乙必须相邻、但和丙不能相邻;
共有多少种不同的送法? 5 5 5 53 125
例3 某信号兵用红, 绿, 蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的 旗杆上表示信号, 每次可以任挂 1 面、2 面或 3 面, 并且不同的顺序表示不同的信号, 一共可以表示多 少种不同的信号？
按挂旗的数量分类：
第一类, 挂 1 面：A31 3 第二类, 挂 2 面：A32 3 2 6 第三类, 挂 3 面：A33 3 21 6
⑶ 某些元素不相邻排列时, 可以先排其他元素, 再将这些 不相邻元素插入空挡, 这种方法称为“插空法”； 不相邻问题插空处理策略
⑶ 某些元素必须安一定的顺序排列时, 可以先排其他元素, 再将这些定序的元素插入空挡, 即插空法.
或先不考虑定序, 先全部排列, 再除掉这些定序元素的排列 数这种方法称为“消序法”； 定序问题消序处理策略
解: 14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛, 对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列, 因此,
比赛的总场次是 A124 1413 182
例2 (1) 有5本不同的书, 从中选3本送给3名同学, 每人各
1本, 共有多少种不同的送法? A53 5 4 3 60
(2) 有5种不同的书, 买3本送给3名同学, 每人各1本,
男1 甲 男3 男4 乙 丙 女3
男1
男3
男4
女3
A44 A52 A22 24 20 2 960
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
有多少种不同排法：
⑹ 全体站成一排, 甲、乙、丙三人自左向右顺序不变;
男1 甲 男3 男4 乙 丙 女3
12 34 5 6 7
班会 A21
第一类:
数学
数学 A31
体育 班会
A21 1 A41 A33 48 班会 A21
第二类:
数学 体育
班会
体育 A31 A21 A31 A31 A33 108
小结： 1. 对有约束条件的排列问题, 应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； ⑷某些元素要求定序（即安确定的顺序）.
解法二：“特殊位置优先法”
A91 A92 9 9 8 648
解法三：“接间——排除法”
A130 A11 A92 720 72 648
有约束条件的排列问题
例5 有5名男生, 4名女生排队. (1) 从中选出3人排成一排, 有多少种排法?
A93 9 8 7 504
(2) 全部排成一排, 有多少种不同排法?
4.有关公式：
1.阶乘：n! 12 3 • • •(n 1)n
（2）排列数公式:
A
m n
n (n 1)(n m
1)
n！ (n m)！
(m、nN*,m n)
(3)全排列数公式： Ann n!
例1 某年全国足球甲级 A 组联赛共有14个队参加, 每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次, 共进行多少场比赛?
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
有多少种不同排法： ⑷ 三个女生排在一起;
男1 男2 男3 男4 女1 女2 女3
男2 女1 女2 女3 男1
男4
男3
A55 A33 120 6 720
相邻问题, “ 捆绑法 ”
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
复习巩固
1、排列的定义：
从n个不同元素中，任取m(m n )个元素（m
个元素不可重复取）按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m( m n)个元素的
所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元
素的排列数 Anm
3.全排列的定义： n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n个不 同元素的一个全排列.
来自百度文库
12 34 5 6 7
[排头] 左
右
法一：先排甲, 再排其它元素. A61 A66 4320 法二：先排中间位置, 再排其它位置. A61 A66 4320
特殊元素或特殊位置, “ 优先法 ”
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
有多少种不同排法：
⑶ 男甲不在排头, 女乙不在排尾;
甲 男2 男3 男4 女1 女2 乙
12
[排头] 左 甲
12
[排头] 左
34 34
567
右 A66 720
567
乙 右 A66 720
12
[排头] 左 甲
34
567
乙 右 A55 120
A77 2A66 A55 42A55 12A55 A55 31A55 3720
直接困难, “间接法——排除法”
A99 9!
(3) 排成两排, 前排4人, 后排5人, 有多少种不同排法?
A94 A55 9 8 7 6 5 4 3 21 9!
(4) 排成两排, 一排排男生, 另一排排女生, 有多少种不 同排法?
( A55 A44 ) A21 5!4 3 21 2 48 5!
有约束条件的排列问题 例6 有4个男生和3个女生排成一排, 按下列要求各
共：A31 A32 A33 3 6 6 15
例4 用 0 到 9 这 10 个数字, 可以组成多少个没有
重复数字的三位数？
百位 十位 个位
解法一：“特殊元素优先法”
第一类, 不含 0: A93 9 8 7 504 第二类, 含有 0: A21 A92 2 9 8 144
共: A93 A21 A92 648