第十三、十四章 能量法与超静定(材料力学)

V =W ε
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能量法与超静定问题
§13-2 杆件变形能的计算
1、轴向拉压的变形能
F2l V == N ε 2E A
2、扭转杆内的变形能
T2l V = ε 2 Ip G
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3、 弯曲变形的变形能
Me θ Me
Ml M el = θ= = ρ EI EI l
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例 刚架受力如图，求A截面的垂直位移，水平位移及转角。 刚架受力如图， 截面的垂直位移，水平位移及转角。
q
B A
l C
l
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q
B x l C l x l C A x l B x
1
A
解：求A点铅垂位移（在A点加竖向单位力） 点铅垂位移（ 点加竖向单位力）
1
C
RA
1/2a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 c 处加一单位力偶） 处加一单位力偶） AB: AB: BC: BC:
qa qx2 M x) = x − ( 2 2 M(x) = −qa⋅ x
2a 2 a
x M(x) = 2a M(x) =1
3
qa qx x 5qa 1 θc = [∫ ( x − )( )dx + ∫ (−qax)(1)dx] = − （ ） 0 E 0 2 I 2 2a 6E I
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F
C A x a B b a x A x B b x
1
C
1 1 V = ∫ M(x)M(x)dx + C ∫l Mn(x)Mn(x)dx E l I Gn I 1 a 1 b x d x d = ∫ (−F )(−x) x + ∫ (−F )(−x) x E 0 I E 0 I 1 a F 3 3 F 2 ab + ↓ ∫0 (−Fb)(−b)dx = 3EI (a +b ) + GIp (↓) Gp I
δ11X1 +∆1F = 0
X =1 ∆1F
力法正则方程
δ11
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q
B A A
q
B x
X1
A B x
(3) 用莫尔定理求 ∆1F
qx2 M x) = − ( 2
1
M(x) = x
1 l qx2 ql4 ∆ F = ∫ (− )⋅xdx = − 1 E 0 I 2 8E I
M(x) = −qa⋅ x
M(x) = −x
(↓)
a 1 2a qa qx2 x 2qa4 fc = [∫ ( x − )(− )dx + ∫ (−qax)(−x)dx] = 0 E 0 2 I 2 2 3E I
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F=qa q
A x B x 2a a C A x B x 2a a
[M x)+M x)] ( ( 2 V +V +1× fA = ∫ dx ε ε l I 2E M2(x) M2(x) M x)M x) ( ( =∫ dx+∫ dx+∫ dx l 2 I l 2 I l E E E I
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M x)M(x) ( fA = ∫ dx l E I
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例 图示外伸梁，其抗弯刚度为 EI。用单位载荷法求 C 图示外伸梁， EI。
点的挠度和转角。 点的挠度和转角。
F=qa q
A B C
2a
a
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F=qa q
A x B C A x 2a a B
1
C
RA 解：
1/2
2a
a
qa R = A 2
X1
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q
B A l A
q
B
X1
若用 δ11 表示沿X1方向的单位力在其作点引起的X1方向的位移 表示沿 方向的单位力在其作点引起的X 由于X 作用， 点的沿X 由于X1作用， B点的沿X1方向位移是 δ11 的 X1 倍
∆ X1 = δ X1 1 11
(a)式成为 式成为 利用上式解出
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例 如图所示，梁EI为常数，试求支座反力。 如图所示， EI为常数 试求支座反力。 为常数，
q
B A l
(1) 去掉多余约束代之约束反 力，得基本静定系 X1 为多余反力
q
B A
(2) 变形条件： B点的 挠度为 变形条件：
∆ X1 +∆ F = 0 1 1
(a)
一、莫尔定理的推导
求任意点A的位移 求任意点 的位移f A 的位移
F1
F2
A
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1、先在A点作用单位 先在A 力F0 ，再作用F1, F2力， 再作用F 变形能为
F1
F2
A
M2(x) V =∫ dx ε L 2E I
M2(x) V =∫ dx ε L 2E I
F0=1
(→ )
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q
B x l C l x l C A x l B x
1
A
求A点的转角（在A点加一单位力偶） 点的转角（ 点加一单位力偶）
qx AB： M x) = − AB： ( M(x) =1 2 ql2 BC： M x) = − BC： ( M(x) =1 2 2 2 3 l qx l ql 1 2ql θA = (∫ − ⋅1⋅ dx + ∫ − ⋅1⋅ dx) = − （ ） 0 0 E I 2 2 3E I
A
F1
F2
F0=1
A fA
V 1 =V +V +1× fA ε ε ε
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2、三个力同时作用时 任意截面的弯矩： 任意截面的弯矩： M x) + M x) ( ( 变形能： 变形能：
[M x)+M x)] ( ( 2 V1 = ∫ dx ε L 2E I
[M x)+M x)] ( ( 2 V +V +1× fA = ∫ dx ε ε l 2E I
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F
C A x a B b a x A x B b x
1
C
解：在 C点加竖向单位力 BC: BC:
M(x) = −F x T(x) = 0
M(x) = −F x T(x) = −F b
M(x) = −x T(x) = 0 M(x) = −x T(x) = −b
AB: AB:
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§14-2 用力法解超静定结构
一、力法的求解过程
1、判定超静定次数 解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X 解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1、 X2 、X3···代替多余约束，得到一个几何不变的静定系 ···代替多余约束 代替多余约束， 称为原静不定系统的“相当系统” 统，称为原静不定系统的“相当系统”； 2、在多余约束处满足“变形几何条件”，得到变形协调方程； 在多余约束处满足“变形几何条件” 得到变形协调方程； 3、由补充方程求出多余约束力； 由补充方程求出多余约束力； 4、在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形. 在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形.
qx2 AB： M x) = − AB： ( M(x) = −x 2 ql2 ( M(x) = −l BC： M x) = − BC： 2 2 2 l ql 5ql4 1 l qx δy = (∫ ⋅ x⋅ dx + ∫ ⋅ l ⋅ dx) = 0 2 E 0 2 I 8E I
(↓)
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材料力学
第13章 能量方法
2011年 2011年1月25日 25日
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第十三章 能量法
§13-1 概述 13§13-2 杆件变形能的计算 13§13-7 单位荷载法 • 莫尔定理 13-
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§13-1 概述 13一、能量方法
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四、功能原理
可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将 可变形固体在受外力作用而变形时， 作功。对于弹性体，不考虑其他能量的损失， 作功。对于弹性体，不考虑其他能量的损失，外力在相应 位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。 位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。
例 已知两杆抗弯刚度均为EI。不计剪力和轴力对刚架 已知两杆抗弯刚度均为EI。 =50KN·m。 变形的影响，求支座反力。 变形的影响，求支座反力。 q=10KN/m , m=50KN·m。 Me
1 R = A 2
x M x) = − ( 2
（1）求截面的挠度（在 c 处加一单位力“1”） 求截面的挠度（ 处加一单位力“1”）
qa qx2 AB: AB: M x) = ( x− 2 2
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F=qa q
A B x C A B x
1
C
RA
2a
a
1/2
2a
a
BC:
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A x
B
A x
B
1 (4) 用莫尔定理求 δ11
1
M(x) = x
M(x) = x
1 l l3 δ11 = ∫ x⋅xdx = E 0 I 3E I
于是
X =1
∆1F
−ql4 =− l
3
δ11
3
8E = 3ql I 8 E I
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利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、 来求解可变形固体的位移、 变形和内力等的方法。 变形和内力等的方法。
二、外力功
固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方 固体在外力作用下变形， 向位移，外力因此而做功，则称为外力功。 向位移，外力因此而做功，则称为外力功。
三、变形能
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在 在弹性范围内， 体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能。 体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能。
2
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例题13 计算图（ 例题13 计算图（a）所示开口圆环在 F力作用下切口的张开 量 ∆AB . EI=常数. EI=常数. F
O R
A B
F (a)
源自文库
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解：
ds
dϕ
ϕ
R
F
1
A
B R
A O
B
O
M(ϕ) = −F P −cosϕ) R (1
(Mohr积分 (Mohr积分) 积分)
二、普遍形式的莫尔定理
FN ( x )FN ( x ) T ( x )T ( x ) M ( x)M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx l l l EA GI p EI
注意：上式中∆应看成广义位移，把单位力看成与广义位 注意：上式中∆应看成广义位移， 移相对应的广义力； 移相对应的广义力； 计算抗弯杆件或杆系的变形时，一般可以省略轴力 计算抗弯杆件或杆系的变形时， 的影响。 的影响。
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例 图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性节点, BC=90° 图示为一水平面内的曲杆， 处为一刚性节点, BC=90° 在 C 处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp ，求 C 点竖向的位移。 点竖向的位移。 F
C A B a b
纯弯曲
Me
Me
θ
2 e
θ
Ml M l 1 1 V =W = M ⋅ θ = M e = e e ε 2 2 E I 2E I
横力弯曲
M (x) dx V =∫ ε l 2E (x) I
2 e
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4、组合变形的变形能
F2(x) T2(x) M2(x) V =∫ N dx + ∫ dx + ∫ dx ε l 2E (x) l 2 I (x) l 2E (x) A Gp I
变形能的普遍表达式
F--广义力 --广义力 包括力和力偶
1 V = (Fδ + F δ + F δ ) 1 1 2 2 3 3 ε 2
δ--广义位移 --广义位移 包括线位移和角位移
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构） 克拉贝隆原理（只限于线性结构）
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§13-7 单位荷载法 • 莫尔定理
M(ϕ) = −R −cosϕ) (1
M ϕ)M(ϕ) ( d ∆AB = 2∫ Rϕ 0 E I π F (1−co ϕ) R2 s 2 3πF 3 R R ϕ= d = 2∫ 0 E I E I
π
P
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第十四章 超静定结构
§14-2 用力法解超静定结构 14§14-3 对称及反对称性质的应用 14-
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q
B x l C l x l C A x l B x A 1
求A点水平位移（在A点加水平单位力） 点水平位移（ 点加水平单位力）
qx2 ( AB： M x) = − AB： M(x) = 0 2 ql2 BC： M x) = − BC： ( M(x) = −x 2 2 2 4 l qx l ql 1 ql δx = (∫ ⋅ 0⋅ dx + ∫ ⋅ x⋅ dx) = 0 2 E 0 2 I 4E I