高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导

高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导

庞敬涛

渐近线是双曲线的几何性质中特有的性质，加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于同学们对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握。

一、深刻理解双曲线的渐近线概念

1、对关键词“渐近”的理解，它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限地靠近，但永远都不会相交。也可以这样理解，当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限地远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小且无限趋近于0。

2、渐近线的作法，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线。

二、掌握双曲线的渐近线方程的求法

根据双曲线的标准方程求渐近线，把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了

此双曲线的渐近线方程。比如，双曲线方程为),0b ,0a (1b

y a x 22

22>>=-则渐近线方程的求法是令0b

y a x 2222=-，渐近线方程为.0b y a x =±

三、掌握双曲线的渐近线常见结论

1、两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数。

2、两条渐近线关于x 轴、y 轴对称。

3、等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x 。

4、共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同。

四、例题分析

1、根据几何性质求双曲线的渐近线。

例1 已知21F F 、为双曲线)0b ,0a (1b

y a x 22

22>>=-的焦点，过2F 作垂直x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且︒=∠30F PF 21，则双曲线的渐近线方程为（ ）。 A. x 2

2y ±

= B. x 3y ±= C. x 3

3y ±= D. x 2y ±= 由条件知21F PF ∆为直角三角形，又︒=∠=30F PF ,c 2|F F |2121，可利用a 、b 、c 三者的关系式与三角形中边的关系式联立，解得a 与b 的关系，从而求解。

解：设双曲线的焦点)0,c (F )0,c (F 12-、，则将c x =代入双曲线方程得点⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛a b ,c P 2，又

︒=∠30F PF 21，所以.a

2b 3c ,c 230cot a b 2

2==︒ 代入222b a c +=得，0a 4b a 4b 34224=--，解得2a

b ±=。故选D 。

2、根据渐近线求双曲线的标准方程。

例2 已知双曲线的渐近线方程为x 34y ±

=，焦点在坐标轴上，且经过点)32,3(A -，求双曲线的方程。 分析：先将渐近线方程x 34y ±=化为04

y 3x =±，则可设所求双曲线方程为)0(16

y 9x 2

2=λλ=-，然后再将点)32,3(A -代入建立方程求得参数，进而求得双曲线方程。 解：渐近线方程可化为04

y 3x =±，设双曲线方程为).(16y 9x 22≠λλ=- ∵点)32,3(A -在双曲线上， ∴λ=--16)32(9)3(22，得4

1=λ，双曲线方程为.14y 9x 422=-

3、根据双曲线的渐近线求双曲线的夹角、倾斜角、离心率。

例 3 已知双曲线)2a (12y a

x 222>=-的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（ ）。

A. 2

B. 3

C. 362

D. 3

32 分析：题中知道了两条渐近线的夹角，也就知道了两条渐近线的斜率，即虚轴长与实轴长的比值a b ，而要求的离心率a

c 也是一个比值，因此只需结合a 、b 、c 之间的关系转化即可。 解：已知双曲线)2a (12y a x 222>=-的两条渐近线为02

y a x =±。 ∵双曲线的渐近线的夹角为3

π， .222a c ,6a ,3

36tan a 222=+===π=∴ ,6a ,6a 2==即双曲线的离心率3

32a c e ==，故选D 。