有理数的乘方及计算.docx

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有理数的乘方运算及其混合运算
1. 理解有理数乘方的意 并能准确 行有理数乘方的 算
教学目的
2. 熟 运用加减乘除法 行有理数的混合运算
( 一 ) 、乘方的意
知识点梳理
. 在 a n 中， a 叫做底数， n 叫做指数，当
a n 看作 a
1. 求 n 个相同因数的 的运算，叫做乘方，乘方的 果叫做
的 n 次方的 果 ，也可以 作
a 的 n 次 .
2. 数的奇次 是 数， 数的偶次 是正数.
3. 正数的任何次 都是正数，
0 的任何正整数次 都是 0.
( 二 ) 、有理数混合运算的运算 序：
1. 先乘方，再乘除，最后加减；
2. 同极运算，从左到右 行；
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次 行 .
( 三 ) 、有理数混合运算需注意的
1. 有理数的运算，加减法叫做第一 运算；乘除法叫做第二 运算；乘方和开方（以后学）叫做第三 运算
. 一
个式子中如果含有多 运算式，先做第三 运算，再做第二 运算，最后做第一季运算
. 同一 运算按照从左到右的
序 行运算；有括号 ，按照小括号、中括号、大括号（或大括号、中括号、小括号）的 序 行运算
.
2. 灵活的运用运算律，改 运算 序，可以 化 算 .
1 1 3 5
【例 1】
例题讲解
24
2 6 8
12
【例 2】 13
2 2 1 13
5 3 0.34
30.34
7
7
【例 3】
3
1
1
3
3
3
【例 4】
1
4
1
0.5
1 1
2
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
2007
【例 5】已知 3 =3，3 =9， 3 =27， 3 =81， 3 =243， 3 =729， 3 =2187，3 =6561，⋯， 确定
3 的末位数字是几．
（ 1） 写出木棍第一天，第二天，第三天的 度分 是多少？
（ 2） 推断第 n 天木棍的 度是多少？
【例 7】若 52x+1=125，求（ x-2 ） 2005+x 的值是 ．
【例 8】用简便方法计算．
（ 1）（ - 14 ） 4005×162003=
（2） 318×（ - 19 ） 8=
199
200
9
20
9
3
（3）（0.5 ×3 23 ） ?（ - 2× 311 ） =
（ 4） 0.25 ×2 ×25 ×64 =
【例 9】比较下面算式结果的大小（在横线上填“＞”、“＜”或“ =”）：42+32
2×4×3；
（ -3 ）2 +12 ×（ -3 ）× 1；（ -2 ） 2+（ -2 ） 2 ；×（ -2 ）×（ -2 ）．通过观察归纳，写出能反映这一规律的一般
结论．
【例 10】有一张厚度是 0.2
毫米的纸，如果将它连续对折10 次，那么它会有多厚？
一、选择题 巩固练习
1、 118 表示（ ）
A 、11 个 8 连乘
B
、11 乘以 8
C 、8个11连乘D
、8个别 1相加
2
的值是（ ）
2、－ 3
A 、－ 9
B 、9
C 、－6
D 、 6
3、下列各对数中，数值相等的是（
）
A 、 －32 与 －23
B 、－23 与 ( －2)3
C 、－ 32 与 (－3) 2
D 、 ( －3×2) 2 与－ 3×22
4、下列说法中正确的是（ ）
A 、 23 表示 2×3的积
B
、任何一个有理数的偶次幂是正数
C 、－ 32 与 ( － 3) 2 互为相反数
D
、一个数的平方是
4
，这个数一定是
2
9
3
5、下列各式运算结果为正数的是（
）
A 、－ 24×5
B 、 (1 －2) × 5 C
、(1 －24) ×5
D
、 1－(3 ×5) 6
6、如果一个有理数的平方等于 ( －2) 2，那么这个有理数等于（
）
A 、－ 2
B 、 2
C 、4D
、2或－2
7、一个数的立方是它本身
, 那么这个数是（ ）
A 、0
B 、0或1 C
、－1或1
D
、0或1或－1
8、如果一个有理数的正偶次幂是非负数
, 那么这个数是（
）
A 、正数
B 、负数
C 、 非负数
D
、任何有理数
9、－ 24×( － 22) ×( － 2) 3 =（ ）
A 、29
B 、－29
C
、－ 224
D 、224
10、两个有理数互为相反数，那么它们的 n 次幂的值（
）
A 、相等
B
、不相等
C
、绝对值相等 D
、没有任何关系
11、一个有理数的平方是正数 , 则这个数的立方是（ ）
A 、正数
B
、负数
C
、正数或负数
D
、奇数
12、 ( － 1) 2001＋( － 1) 2002÷ 1 ＋ ( － 1) 2003 的值等于（
）
A 、0
B 、 1 C
、－ 1
D 、 2
二、填空题
3 5
1、 ( －2) 6 中指数为
，底数为
； 4 的底数是
，指数是
；
的底数是
，指数
2
是 ，结果是
；
2、根据幂的意义， ( － 3) 4 表示 ，－ 43 表示
；
3、平方等于
1
的数是
，立方等于 1 的数是
；
64
64
4、一个数的 15 次幂是负数，那么这个数的
2003 次幂是
；
5、平方等于它本身的数是
，立方等于它本身的数是
；
3
3
3
3
6、
3
， 3
，
4
4
；
4
7、
2 7
3 ， 2 7
4 ， 2 7
5 的大小关系用“＜”号连接可表示为
；
8、如果 a 4 a 4 ，那么 a 是
；
9、 1
2 2
3 3 4
2001 2002
；
10、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 ；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数
是
；
11、若
a 2
b 3＞0 ，则 b
三、计算题
2 4
1
1
3
1、
2
、
2
3、 1 2003
4
13 3 3
、 1
5、
23 3 2 6
、
32
3 2
7、
2 2
2
2 3 23
8
、 42
1
54
5 3
4
9、
2
6
2
4
3
2
1
2
10 、
2 2 3
1 3
02 3
7
四、解答题：
某种细菌在培养过程中， 每半小时分裂一次 （由一个分裂成两个） ，若这种细菌由 1 个分裂为 16 个，则这个过程要经
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过多长时间？
1、 78表示（）
作业布置
A、7个8连乘
B、7 乘以 8
C、8个7连乘
D、8个7相加
2、计算﹣32的结果是（）
A、﹣9
B、 9
C、﹣6
D、 6
3、下列各组数中，数值相等的是（）
A、32和 23
B、﹣ 23和（﹣ 2）3
C、﹣32和（﹣ 3）2
D、﹣（ 3×2）2和﹣ 3×22
4、下列说法中正确的是（）
A、 23表示 2×3的积
B、任何一个有理数的偶次幂是正数
C、﹣ 32 与（﹣3）2互为相反数
D、一个数的平方是，这个数一定是
5、下列各式运算结果为正数的是（）
A、﹣ 24×5
B、（ 1﹣ 2）4×5
C、（ 1﹣ 24）×5
D、 1﹣（ 3×5）6
6、下列计算结果为正数的是（）
A、7×（﹣24）
B、（ 1﹣ 5）2×3
C、（ 1﹣ 52）×3
D、 1﹣（ 3×5）2
7、﹣ | ﹣ 3| ﹣ 23的值是（）
A、﹣ 3
B、﹣ 11
C、 5
D、 11
8、计算器上的或键的功能是（）
A、开启计算器
B、关闭计算器
C、清除全部内容或刚刚输入内容
D、计算乘方
9、﹣ 5 的绝对值的倒数与绝对值等于 5 的数的和为（）
A、1 或-1 B 、 0 或1
C、51或- 4 1
D、 5
55
10、下列计算结果正确的是（）
A、﹣ 7﹣2×5=（﹣7﹣ 2）×5
B、
C、D、﹣（﹣32）=9
11、（﹣ 2）6中指数为_________，底数为_________； 4的底数是_________，指数是_________；
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的底数是_________ ，指数是_________，果是_________．
12、根据的意，（ 3）4表示_________， 43表示_________．
13、平方等于的数是_________，立方等于的数是_________ ．
14、一个数的15 次是数，那么个数的2003 次是_________．
15、平方等于它本身的有理数是_________，立方等于它本身的有理数是_________．
16、 = _________， = _________， =_________．
17、用算器入7 的法是先入_________ ，然后按 _________．
18、算： =_________ ．
19、若 |a+1|+|b5|+ （ c 2）2=0， abc=_________．
20、当 x=， y= 2 ，（ x+y）2=_________．
21、有理数依次是2， 5，9， 14，x， 27，⋯依次你能求出x 的？ x 的_________．
22、（ 1）（ 2）4（ 2）
（ 3）（ 1）2003（ 4） 13 3×（ 1）3
32
5） 2 +（ 3）
23. 你吃“手拉面” ？如果把一个面拉开，然后折，再拉开，再折，⋯如此往复下去，折10 次，会拉出多少根面条？
附答案
典型例
例 1：7例2：-13.34例3：9例4：例5：解：32007的指数2007 且 2007÷4=501⋯3，
所以 32007的末位数字是7．
答： 32007的末位数字是7．例 6：一根木棍原m 米，如果从第一天起每天折断它的一半．
（ 1）写出木棍第一天，第二天，第三天的度分是多少？
（ 2）推断第n 天木棍的度是多少？例7：解：∵ 52x+1=53，
∴2x+1=3 ，
解得 x=1．
所以（ x-1 ）2005+x=（ -1）2006=1．
故填 1．例8：解：（1）（- 14）4005×162003
=（ - 14）4005×（ 42）2003
=（ - 14）4005×44006
=（ - 14）4005×44005×4
=[ （ - 14）×4]4005×4
=（ -1）×4
=-4 ；
（2） 318×（ - 19）8
=318×[-（ 13）2]8
=318×（ 13）16
=316+2×（ 13）16
=（ 3×13）16×32
=9；
（3）（0.5 ×3 23）199?（-2 ×311）200
=（ 0.5 ×113）199?（ -2 ×311）200
=[0.5 ×113 ×（ -2）×311] 199×（ -2 ×311）
= 611；
（4） 0.259×220×259×643
=0.25 9×643×220×259
=0.25 9×（43）3×410×259
=（ 0.25 ×4）9×（ 4×25）9×4
=4×1018．例9：解：∵ 42+32=25，2×4×3=24，
∴42+32＞ 2×4×3；
∵（ -3）2+12=10， 2×（ -3）×1=-6，
∴（ -3）2+12＞ 2×（ -3）×1；
∵（ -2）2+（-2）2=8， 2×（ -2）×（ -2） =8，
∴（ -2）2+（-2）2=2×（ -2）×（-2）．
∴规律为：两数的平方和大于或等于这两数的积的 2 倍．
故答案为：＞，＞， =，两数的平方和大于或等于这两数的积的2倍．例 10：
课堂练习
一、选择题
1、 C
2、 A
3、B
4、 C
5、 B
6、D
7、 D
8、 D
9、B10、 C11、 C12、 C
二、填空题
3
， 5，243
2、4 个－ 3 相乘， 3 个 4 的积的相反数；
1、 6，－ 2， 4，1，；
232
3、1，1 ；
4、负数；
5、0 和 1， 0，1 和－ 1；
6、27 ,27 ,27；
8464644 7、2 75＜ 2 73＜ 2 74； 8、9，0；9、－ 1； 10、－ 1 和 0，1；
11、＜
三、计算题
27
1、－ 16
2、
3、－ 1
4、 2
5、1
6、－ 1
7、 2
8
8、－ 599、－ 7310、－ 1
四、解答题： 2 小时
11.6，﹣ 2， 4， 1，﹣， 5，﹣．12.4 个﹣ 3 相乘和 3 个 4 的积的相反数．
13. ±，． 14.负数 15.解： 02=0， 12=1，（﹣ 1）2=1 ，所以平方等于它本身的有理数是0,1；又 03=0 ， 13 =1，（﹣ 1）3=﹣ 1，所以立方等于它本身的有理数是0，±1．
16.解： ==；
==；
==．
17.7；+/ ﹣．
18.解：原式 =
=
=
19.﹣ 10．
20.解：当 x= ， y= ﹣ 2 时，
（x+y ）2=（﹣ 2）2=（﹣）
2=．故答案为：．
21.20． 22. 解：（ 1）﹣（﹣ 2）4=﹣ 16；（ 2） =（）3=；（ 3）（﹣ 1）2003=﹣ 1；
（4）﹣ 13﹣ 3×（﹣ 1）3=﹣ 1﹣ 3×（﹣ 1）=﹣ 1+3=2；（ 5）﹣ 23+（﹣ 3）2=﹣ 8+9=1；
23. 2101024 根。