几个典型的代数系统

本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．

半群

定义称代数结构为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例 ，，< ，并置>都是半群，后两个又是独异点．

半群及独异点的下列性质是明显的．

定理设为一半群,那么

（1）的任一子代数都是半群，称为的子半群．

（2）若独异点的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点．

证明简单，不赘述．

定理设,是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有

（1）同态象为一半群．

（2）当为独异点时，则为一独异点.

定理设为一半群,那么

（1）为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．

证（l）是显然的．

为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a S

h（a）= f a

f a：S→S 定义如下: 对任意x S，

f a（x）= a x

现证h为一同态．对任何元素a,b S．

h(a b)＝f a b （l1－1）

而对任何x S，

f a b（x）= a b x = f a（f b（x））= f a○f b （x）

故f a b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得

h（a b）= f a b = f a○f b ＝h（a）○ h（b）

本定理称半群表示定理。它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。这里同构于 ---- 的一个子代数．

群

群是最重要的代数结构类，也是应用最为广泛的代数结构类.我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的.

群及其基本性质

定义称代数结构为群（groups）,如果

（1）为一半群．

（2）中有么元e.

（3）中每一元素都有逆元．

或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母G表示，因而字母G也常用于表示群．

定义设 为一群．

（1）若运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abel group）．阿贝尔群又称加群，常表示为（这里的 + 不是数加，而泛指可交换二元运算．回忆: 常被称为乘）．加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元.

（2） G为有限集时，称G为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinite group）．

例

（1）（整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）,数0为其么元.< N,+ >不是群．因为所有非零自然数都没有逆元.

（2）（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其么元. 不是群，因为数0无逆元．

（3）为一k阶阿贝尔群, 数0为其么元 .

（4）设P为集合A上全体双射函数的集合，○为函数合成运算.那麽 < P, ○ >为一群．A上恒等函数E A为其么元。< P, ○ >一般不是阿贝尔群.

群的下列基本性质是明显的.

定理设为群，那麽

（1）G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元．

（2）关于x的方程a x＝b，x a＝b都有唯一解．

（3）G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意a,x,y S a*x = a*y 蕴涵 x = y ; x*a = y*a 蕴涵 x = y

（4）当G {e}时, G无零元．

（5）么元e是G的唯一的等幂元素.

证（1）,（2）,（3）是十分明显的．

（4）若G有零元,那么它没有逆元，与G为群矛盾。（注意，G = {e}时,e既是么元，

又是零元.）

（5）设G中有等幂元x，那么 x*x = x 又 x = x*e 所以 x*x = x*e

由（3）得x = e 。

由（3）我们得知，特别地，当G为有限群时，* 运算的运算表的每一行（列）都是G 中元素的一个全排列．从而有限群的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的．因此，当G分别为1，2，3阶群时, * 运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一张定义 * 运算的运算表,如表所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个.

定理对群的任意元素 a,b，

（1）(a-1)-1＝a．

（2）(a*b) -1＝b-1*a-1

（3）(a r) -1 = (a–1)r（记为a–r）（r为整数）．

证（2）(a b) (b-1a-1) = a(b b-1)a-1 = e

(b-1a-1)(a b) = b-1(a-1a) b = e

因此a b的逆元为b-1a-1，即(a b) -1＝b-1a-1．

（3）对r归纳.

r = 1时命题显然真.设(a r) -1 = (a–1)r,即(a–1)r是a r的逆元.那么

a r+1(a–1)r+1 = a r(a a-1)(a–1)r＝a r(a–1)r = e

(a–1)r+1 a r+1 = (a–1)r(a-1a) a r＝(a–1)r a r = e 故a r+1的逆元为(a–1)r+1，即(a r+1) -1 = (a–1)r+1．归纳完成, （2）得证.

对群的任意元素 a,我们可以定义它的幂：a0=e，对任何正整数m，am+1=am*a，又据定理，在群中可引入"负指数幂"'的概念：a-m= (a-1)m，且容易证明: 定理对群的任意元素 a,b，及任何整数m，n,

（l）a m a n = a m+n

（2）(a m) n = a mn

如果我们用aG和Ga分别表示下列集合

aG = {a g g G}， Ga = {g a g G}

那么我们有以下定理．

定理设为一群,a为 G中任意元素，那么aG = G = Ga

特别地，当G为有限群时，运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列．证 aG G是显然的．

设 g G，那么a–1g G，从而a(a–1g) aG，即 g aG．因此 G Ga．

aG = G得证．Ga = G同理可证．

这一事实的一个明显推论是：当G为有限群时，运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列.从而有限群的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同