大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

行， 因 此， 由 ， Z y =2y 知

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看

一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

、填空题（每小题5分）

（x + y ） ln （1 +》）

1.计算 D -------------------- x dxdy =16/15，其中区域D 由直线y = 1与

J 1-x-y

两坐标轴所围成三角形区域.

令t = 1 -u ，贝y u =1 -t

1 2

du =-2tdt ，u 2

=1 —2t 2

t 4

，u(1—u)二 t 2

(1—t)(1 t)，

2

2 .设f(x)是连续 函数，且满足f(x) = 3x 2 - .o f(x)dx-2 ,则

f(x) = _______________ .

2

解:令 A=J 0f(x)dx ，贝S f(x)=3x 3—A —2，

2

2

A (3x 2

- A - 2)d x = 8 - QA 2) = 4 - 2A ,

解得 A =—。因此 f(x) =3x 2

-10。

3

3

2

3 .曲面z=L ，y 2-2平行平面2x 2y-z = 0的切平面方程是

2

解：因平面2x ，2y-z=0的法向量为（2,2,-1），而曲面

2

z=x y 2

-2 在（X 0,y °）处的法向量为

2

（Z x （x °, y °）,Z y （x °, y °）,T ），故（Z x （x °, y °）, Z y （x °, y 。）,-1）与（2,2^1）平

解:令 x y=u,x=v ，贝卩 x=v, y=u —v ,

■0 1 dudv = dudv

J

dxdy= det 〔

2 =Z x (x °, y °) =x °,2 =Z y (x °, y °) =2y °，

即 X o = 2, y ° =1，又 z(X o , y °) = z(2,1) = 5，于是曲面 2x 亠 2y —z =

0 在(X o , y °,z(X o , y 。))处的切平面方程是

2

2(x 一2) • 2(y 一1) _(z 一5) =0，即曲面 z = ^ y 2 -2 平行平面 2x

・2y —z =：0的切平面方程是2x 2y —z —1=：0。

4.设函数y = y(x)由方程xe f(y

)=e y

l n 29确定，其中f 具有二阶导数， 且广

鬥，则业=

.

dx 2

--------------------------------

解:方程xe f(y

^e y

ln29的两边对x 求导，得

因 e y

In 29 二 xe f(y

)，故 4 …'冃仃.

1

x

x 2 x

nx e

e_)x

，其中n 是给定的正整数.

n

因此

三、(15分)设函数f (x)连续，g(x)二；f(xt)dt ，且1［叫 少, A 为

x

常数，求g (x)并讨论g (x)在x =0处的连续性.

解：由啊上^"

和函数 f(x)连续知

4 I

1

x

因此，当 x = 0 时，g(x)二—0 f (u)du ，故 x 0

当x = 0时，

g (X)二 0 f (U)du

,

x 0

x

这表明g (x)在x 二0处连续.

四、(15分)已知平面区域D ={( x, y) |0乞x 「，0乞y 「} , L 为D 的正

f(y) f (y)y' = y ，，即 y 二 x O - f (y))，因此

二、(5分)求极限lim (

x

f (0) = lim f (x)二 lim x lim

X [0 x —0

向边界，试证：

sin y

sin x

sin y

sinx

丨

（1） ■ xe dy - ye_ dx = xe_ dy _ ye dx ;

L

L

（2） ： xe sin y

dy 「ye^dx _ 5 2

.

L

2

证：因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）xe siny

dy - ye*inx

dx

' （xe siny

） -丄（-ye$nx

）dxdy

L D

少 约 」

而D 关于x 和y 是对称的，即知 因此 （2）因 故 由 知

sin y

sin y

】

即：xe dy - ye dx

L

五、（10分）已知 y^i = xe x

+ e 2x

， y 2

= xe x

+ e 」， g = xe x

+ e 2x

_ e 」是某二 阶

常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程

.

解设yr xe x

e 2x

，xe x

e^，七二xe x

e 2x

- e 」是二阶常系数线

性非齐次微分方程 的三个解，则y 2 -力=e" -e 2x 和e^都是二阶常系数线性齐次微 分方程 的解，因此y ' by ' cy = 0的特征多项式是（’- 2）（'，1） = 0，而 y b/ c^ o 的特征多项式是

因此二阶常系数线性齐次微分方程为y'yTy = 0，由 % -% -2% 二 f （x ）和

y1 = e x

xe x

2e

2x

， y^ 2e x

xe x

4e

2x

知，f （x ）二 y 1「w -2力二 xe x

2e x

4e 2x

「（xe x

e x

2e 2x

^2（xe x

e 2x

） 二阶常系数线性

因 g(x)「；f(xt)dt ，故 g(0)

1

f(0)dt 二 f(0) =0 ,