基于高斯和的二阶扩展卡尔曼滤波算法

文章编号=1009 -2552 (2017) 12 -0076 -06 D O I：10. 13274/ki.hdzj.2017. 12. 017

基于高斯和的二阶扩展卡尔曼滤波算法

张帆，施化吉，周从华，李雷

(江苏大学计算机科学与通信工程学院，江苏镇江212013)

摘要：传统的扩展卡尔曼滤波算法在传感器的信号监测和处理中，存在着动态环境校准困难

和信号突变收敛速度慢的问题。针对该问题，结合二阶泰勒展开式和高斯和，提出了基于高斯

和的二阶扩展卡尔曼滤波算法。该算法首先将初始状态、过程和量测噪声一起近似为高斯和，

接着利用二阶扩展卡尔曼滤波算法中的状态预测和状态更新方程对每个高斯项进行预测和更新。

为了避免高斯项的过度冗余，采用了剪枝的思想。文中通过仿真实验证明了算法的有效性，实

验表明，该算法不但能提高信号突变的收敛速度0. 1呷，而且能在动态环境中提高滤波估计的准

确度和可靠性。

关键词：高斯和；信号突变；动态环境；扩展卡尔曼滤波；剪枝；准确度

中图分类号：T P301.6文献标识码：A

Two-order extended Kalman filter algorithm based on Gaussian sum ZHANG Fan，SHI Hua-ji，ZHOU Cong-hua，LI Lei

(School of Computer Science and Telecommunication Engineering，Jiangsu University，

Zhenjiang212013, Jiangsu Province，China)

Abstract ：In the signal monitoring a n d processing ol the sensors，the traditional extended K a l m a n filter algorithm has the problems ol the convergence speed slow in the signal mutation a n d calibration difficulty

in the d y n a m i c environment. C o m b i n i n g with the second order taylor expansion a n d Gaussian s u m，a n d

two-order extended K a l m a n filter algorithm b ased o n Gaussian s u m is proposed in the regard of the problem. In this algorithm，the initial state，process noise a n d m e a s u r e m e n t noise are approximated as

G a u s s s u m，a n d then i t uses the state prediction equations a n d state updating equations of two-order

K a l m a n filter algorithm proposed to predict a n d update eac h G a u s s term. In order to avoid over­

r e d u n d a n c y of G a u s s i t e m s，i t uses the idea of pruning. T h e simulation results s h o w that the algorithm is effective a n d not only c a n improve the convergence speed in the signal mutation for 0. 1^s，but also ca n improve the accuracy a n d reliability of the filter estimation in the d y n a m i c environment.

Key words:Gaussian s u m；signal m u t ation；d y n a m i c e n v i r o n m e n t;extended k a l m a n filter; p r u n i n g；accuracy

，信息疼术2017年第12期

随着科学技术的不断发展，非线性滤波技术已 被广泛应用于卫星定姿、机动目标跟踪等技术领域，因此对非线性信号数据进行滤波具有十分重要的理 论意义。目前，非线性滤波已有多种方法，如贝叶斯 滤波、扩展卡尔曼滤波（E x t e n d e d K a l m a n Filter，E K F)、无迹卡尔曼滤波（U n s c e n t e d K a l m a n Filter，U K F)、中心差分卡尔曼滤波（Central Difference K a l­m a n Filter，C D K F)等[1-4]。其中 E K F算法结构简 单，具有一定的精度，因此得到了较好的应用，该方 法是将非线性函数T a y l o r展开式的一阶项作为非线

收稿日期：2017 -03 -03

基金项目：国家自然科学基金（61300288);江苏省六大人才高峰项 目（2014-W L W-012)

作者简介：张帆（1991-)，男，硕士研究生，研究方向为数据挖掘与 分析。

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性函数的近似,进一步将非线性转换为线性进行处 理。但在实际应用中，E K F也存在一些不足：①受 环境、设备等因素影响,测量误差较大。虽然存在一 些自校准技术,但是对所有的环境因素进行验证和 校准是不现实的。如果在某种环境下滤波系统事先 没有验证和校准,那么直接使用E K F,此时误差难 以消除。②对于有突变的信号数据，收敛速度较慢。在日常应用中,采集到的信号数据一般都是高度非 线性化的，即频率、幅度和峰值会发生非周期性突 变。在这种情况下，由于信号的复杂性和精度的缺 失性，E K F的性能急剧下降，收敛速度明显增加。为了进一步提高非线性滤波的准确性和实用性，科 研工作者仍在不断的改进与测试。针对状态约束的 问题,R o o m S H等人[5]引人了卡尔曼滤波的思想，将推导出的线性和非线性算法的效果对比,发现非 线性滤波的适应性更广。孟真等人[6]提出了一种 二阶扩展卡尔曼滤波器，通过仿真对比可以发现，该 算法的精确度高于E K F。I t o K等人[7]抛弃了已经 取得成效的E K F,提出用高斯滤波器处理非线性滤 波问题，并取得了较大的进步。C a p u ti M等人[s]在 自适应卡尔曼滤波算法和高斯和算法的基础上提出 了一种改进的滤波算法，该算法很好地解决了传统 算法中高斯项冗余的问题,同时实验数据证明了，在 非高斯噪声情况下，该算法能够有效地进行状态估 计。徐树生等m提出一种自适应平方根容积卡尔 曼滤波算法。该算法在系统存在模型不确定和测量 困难时具有较好的滤波能力。张凯等人[1°]提出了 基于高斯和均方根容积卡尔曼滤波算法，对每个高 斯分量进行时间和量测更新。L e o n g P H等人[11]提出了一种容积卡尔曼滤波的高斯和滤波算法，将 该算法与粒子滤波的高斯和滤波器相比，发现能够 有效降低计算复杂度。

通过对相关算法的深人研究，本文发现以上算 法均为完全考虑量测系统误差和信号突变的情况。针对上述问题,本文提出了一种基于高斯和的二阶 扩展卡尔曼滤波算法。不仅降低了环境对滤波的影 响，使得滤波精度得到进一步提高，而且加快了收敛 速度。首先,给出新算法详细的理论推导过程;然 后，通过仿真比较不同算法之间的准确性和可靠性, 同时给出算法在信号发生突变时的收敛速度。结果 表明：基于高斯和的二阶扩展卡尔曼滤波算法可有 效提高滤波准确度和收敛速度。

1模型描述

在导航、通讯、雷达等应用领域中，观测到的系 统状态和观测模型如下[12]:

xk+i= f(xk，wk)⑴

zk= h(xk,v k)⑵

其中，为状态向量,zt为量测向量,w t为状态噪 声,vk为量测噪声,/和h都为非线性函数，状态噪声 和量测均为非高斯的。

所谓滤波就是从含有噪声的量测数据中推导出 未知参数的值。滤波的目的是根据量测集U, z2，…,zk}来求解状态后验分布p(*k I Zi,z2，…,zk),具体由如式(3) -(4)表示：

p(X k 1zk-i)= jp(X k 1X k_t)p(%k_t 1zk_l)d*k_i

(3)

t I、P(zk 1Xk)P(X k 1zk-i)“、

P(X k 1zk)= r(4)

|p(z k 1Xk)P(X k 1z k-i)d x t

2高斯和二阶扩展卡尔曼滤波

2. 1局斯和滤波

传统的高斯和滤波理论中，所有的概率密度分 布均可以近似为高斯分布项的累加。

N

p(x) = X a，N(，^*)(5)

i=l

其中，，为均值,公为协方差,a,表示对每一个高斯

N,分布密度的权重（〇^彡〇),1〇^=1;#(*;^,1)表示状态X服从于高斯分布。

根据式(5) ,k时刻的后验概率密度和预测概 率分别表示如下：

p( Xk1zk)=

X a k I k^( Xk k

i=l,

X:Ik)(6) p( Xk1zk-l)=

X a kIk-lW(Xk;M kIk-l

,X:Ik-i)(7)其中，M和化是在更新步骤和预测步骤后分别得 到的总的高斯和项数。

根据式(6),做出假设k - 1时刻的后验概率密 度为：

I

P(X k-l1z k-l)= X a k-l Ik-i#(X k-l;Xl-l Ik-l ,

i= l

P h ik-l)(8)同样，过程噪声的分布可以采用高斯混合的形 式近似表示为：

P(wk)= X a，»,k^(wk；*^J k,P，…,k)(9)

i=i

其中，a…,k表示权重，且X^o.k=丨；％为非高斯变

i=i

量;P…,k为过程噪声的协方差,以为过程噪声的均 值。那么状态的概率密度一步预测表示为：

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