应用随机过程教学探索与实践
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第 ３５卷 第 ９期 ２０１９年 ９月
吉林工程技术师范学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏｌ３５Ｎｏ９ Ｓｅｐ．２０１９
应用随机过程教学探索与实践
Leabharlann Baidu程 培
（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 ２３０６０１）
［摘 要］随机过程是概率论的动态延伸，是高等院校理工科高年级学生的专业基础课。为了有效提高 该课程的教学效果通过对课程特点的分析，从精选教材、优化教学内容、改进教学方式与方法等方面提 出了教学改革的建议，为随机过程课程教学研究提供参考。 ［关键词］随机过程；教学方法；教学改革；教学研究 ［中图分类号］ Ｇ６４２ ［文献标识码］ Ａ ［文章编号］１００９９０４２（２０１９）０９００６２０３
（一）优化教学内容 实际上，随机过程与随机分析是不可分割的，随 机过程课程是研究各种随机过程的性质等；随机分 析是对各种 过 程 的 进 一 步 展 开，它 们 是 连 贯 的。 因 此，随机过程课程内容往往显得比较繁多，教师在教 学中应根据学生的专业和基础，并结合自己的科研 情况，把随机过程在科技前沿中的应用引人到教学 过程中，优化、整 合、拓 展 教 学 内 容。 在 教 学 内 容 的
了应注重内容的完整性外，还应结合学生的专业需 求有侧重地介绍一些内容并进行拓展。学生学习最 怕的是学了没用，让学生感觉到所学知识非常有用， 是激发其学习动机的关键。根据随机过程在众多学 科中的广泛应用，教师完全可以紧密联系学生的专 业有针对性 地 做 些 介 绍。 例 如，若 授 课 对 象 是 数 理 金融专业的学生，可针对性地加强布朗运动和鞅的 介绍，补充关于 Ｉｔ随机微分方程在数理金融中应用 的探讨；若授课对象是应用数学、自动化和信息专业 的学生，则可针对性的加强关于马尔科夫链和泊松 过程的介绍，补充关于随机信号、随机控制等方面的 讨论；若授课对象是统计和运筹学专业的学生，可以 多介绍一些时间序列分析方面的内容。
随机过程是对随时间变化的随机现象进行建模 和分析的学 科，它 是 在 自 然 科 学、工 程 科 学、社 会 科 学等各领域研究随机现象的有力工具，广泛应用于 金融工程、经济分析、生物 医 学、管 理 科 学、控 制 科 学、通信工程、运筹决策、计算机科学、原子物理等众 多领域。由于随机过程的广泛应用性，目前，在国内 外的许多高校中，很多专业已经将应用随机过程课 程纳入本科生培养方案。主要的培养目的是使学生 掌握随机过程的基础知识，培养学生应用随机过程 理论分析和解决问题的能力。
一、精选教材 一本好的教材，既便于教师备课，也有利于学生
预习和自学。 因 此，应 针 对 授 课 对 象 的 基 础 和 专 业 要求，选择合适的教材。目前，国内外关于随机过程 的书籍很多，侧 重 点 各 不 相 同。 如 北 京 大 学 龚 光 鲁 和钱敏平编写的《随机过程论》理论体系完整、结论 严谨，适用 于 基 础 较 好 的 数 学 系 本 科 生。 清 华 大 学 出版社出版的林元烈编著的《应用随机过程》和科学 出版社出版的方兆本和缪柏其编写的《随机过程》侧 重于知识的广泛性和实用性，分别介绍了泊松过程、 马尔科夫过 程、平 稳 过 程、分 支 过 程、布 朗 运 动 与 随 机积分、鞅过程，适用于非数学专业的理工科学生和 一般院校的数学系本科生。ＳｈｅｌｄｏｎＭ．Ｒｏｓｓ编写的 《ＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＰｒｏｃｅｓｓ》，涉 及 的 内 容 宽 泛，学 生 有 基 本 概率论的知识就可以学习，是一本很经典的随机过 程外 文 书，适 合 作 为 双 语 教 材。 ＳａｍｕｅｌＫａｒｌｉｎ和 ＨｏｗａｒｄＥ．Ｔａｙｌｏｒ编 写 的 《ＡＦｉｒｓｔＣｏｕｒｓｅｉｎＳｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ》和 《Ａ ＳｅｃｏｎｄＣｏｕｒｓｅｉｎＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＰｒｏｃｅｓ ｓｅｓ》，内容丰富、阐述详细，对于老师和基础较好的 学生是很好的教材和参考书。
收稿日期：２０１９０６２４ 基金项目：安徽省高等学校省级质量工程教学研究项目（２０１７ｊｙｘｍ００７１）。 作者简介：程 培（１９８２），女，安徽大学数学科学学院副教授，博士，主要从事随机系统控制研究。
第 ３５卷 第 ９期
程 培：应用随机过程教学探索与实践
·６３·
精选过程中应注意以下几点。 （二）优化知识点 随机过程内容庞杂，因此在知识点的选择上，除
（三）优化例题与习题 随机过程 中 题 目 来 源 广 泛，如 来 源 于 生 活、经 济、物理、工程、生物等等，难度层次各不相同。如果 在课堂中都详细讲解，不仅学时不够，而且容易冲淡 教学效果。授 课 教 师 根 据 学 生 的 基 础 和 专 业，对 例 题和习题进行优化选择和讲解，有助于教学内容重 点突出，也有利于学生对基本知识和方法的掌握和 灵活应用。 二、改进教学方式和方法 教学 方 法 应 结 合 课 程 特 点、学 生 基 础 及 专 业 需求。 （一）教学过程中做到以下“五注重” 注重背景来源和实际应用。随机过程中的许多 知识都有实际背景和应用，在讲解时可以将其与具 体的实例结合起来，不仅可以使学生更容易理解、记 忆以及灵活应用，还能使学生体会到课程的重要性， 感受其与生 活 密 切 相 关。 例 如，泊 松 过 程 的 讲 解 结 合电话交换台收到的电话呼叫次数，某盏灯更换灯 管的数量；讲解复合泊松过程时结合乘飞机抵达机 场的乘客人数，保险公司的保险金储备数量；讲解马 尔科夫链的概念时以随机游走为例，讲解分支过程 时以生物遗传为例，讲解更新过程时介绍其在人口 学中的应用，讲解鞅时以公平赌博为例，介绍随机微 分方程时以随机生物模型为例。 注重类比的方法。类比教学法是教学中常用的 教学方法之一。随机过程中有些过程定义相似却有 本质区别，可以通过比较来掌握各自的性质。例如， 布朗运动和泊松过程都具有独立增量，初值都为零， 但布朗运动要求增量服从正太分布，而泊松过程则
目前，应用随机过程教学中，教师往往注重理论 知识的讲解，给出大量的定义、定理、推论，侧重理论 推导，忽略理论原理与直观背景的结合，没有适当地 补充最新的科研应用，不同随机过程之间的分析比 较也很少，使 得 理 论 知 识 显 得 枯 燥 乏 味。 学 生 在 初 学这些知识时觉得十分抽象和难于理解，学习的兴 趣也随着课 程 学 习 的 深 入 而 消 失 殆 尽。 最 终，对 有 关理论的学习和应用不知所措。很多教师就随机过 程中的教学做了大量有益的研究，如刘秀芹等探讨 了导入式教学法和案例教学在应用随机过程教学中 的应用。修建娟等讨论了随机过程及其应用中的创 新性教学法。 本 文 从 教 师 的 角 度 出 发，旨 在 如 何 提 高课堂教学效果和学生的学习兴趣以及应用实践能 力方面做一些探讨。
吉林工程技术师范学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏｌ３５Ｎｏ９ Ｓｅｐ．２０１９
应用随机过程教学探索与实践
Leabharlann Baidu程 培
（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 ２３０６０１）
［摘 要］随机过程是概率论的动态延伸，是高等院校理工科高年级学生的专业基础课。为了有效提高 该课程的教学效果通过对课程特点的分析，从精选教材、优化教学内容、改进教学方式与方法等方面提 出了教学改革的建议，为随机过程课程教学研究提供参考。 ［关键词］随机过程；教学方法；教学改革；教学研究 ［中图分类号］ Ｇ６４２ ［文献标识码］ Ａ ［文章编号］１００９９０４２（２０１９）０９００６２０３
（一）优化教学内容 实际上，随机过程与随机分析是不可分割的，随 机过程课程是研究各种随机过程的性质等；随机分 析是对各种 过 程 的 进 一 步 展 开，它 们 是 连 贯 的。 因 此，随机过程课程内容往往显得比较繁多，教师在教 学中应根据学生的专业和基础，并结合自己的科研 情况，把随机过程在科技前沿中的应用引人到教学 过程中，优化、整 合、拓 展 教 学 内 容。 在 教 学 内 容 的
了应注重内容的完整性外，还应结合学生的专业需 求有侧重地介绍一些内容并进行拓展。学生学习最 怕的是学了没用，让学生感觉到所学知识非常有用， 是激发其学习动机的关键。根据随机过程在众多学 科中的广泛应用，教师完全可以紧密联系学生的专 业有针对性 地 做 些 介 绍。 例 如，若 授 课 对 象 是 数 理 金融专业的学生，可针对性地加强布朗运动和鞅的 介绍，补充关于 Ｉｔ随机微分方程在数理金融中应用 的探讨；若授课对象是应用数学、自动化和信息专业 的学生，则可针对性的加强关于马尔科夫链和泊松 过程的介绍，补充关于随机信号、随机控制等方面的 讨论；若授课对象是统计和运筹学专业的学生，可以 多介绍一些时间序列分析方面的内容。
随机过程是对随时间变化的随机现象进行建模 和分析的学 科，它 是 在 自 然 科 学、工 程 科 学、社 会 科 学等各领域研究随机现象的有力工具，广泛应用于 金融工程、经济分析、生物 医 学、管 理 科 学、控 制 科 学、通信工程、运筹决策、计算机科学、原子物理等众 多领域。由于随机过程的广泛应用性，目前，在国内 外的许多高校中，很多专业已经将应用随机过程课 程纳入本科生培养方案。主要的培养目的是使学生 掌握随机过程的基础知识，培养学生应用随机过程 理论分析和解决问题的能力。
一、精选教材 一本好的教材，既便于教师备课，也有利于学生
预习和自学。 因 此，应 针 对 授 课 对 象 的 基 础 和 专 业 要求，选择合适的教材。目前，国内外关于随机过程 的书籍很多，侧 重 点 各 不 相 同。 如 北 京 大 学 龚 光 鲁 和钱敏平编写的《随机过程论》理论体系完整、结论 严谨，适用 于 基 础 较 好 的 数 学 系 本 科 生。 清 华 大 学 出版社出版的林元烈编著的《应用随机过程》和科学 出版社出版的方兆本和缪柏其编写的《随机过程》侧 重于知识的广泛性和实用性，分别介绍了泊松过程、 马尔科夫过 程、平 稳 过 程、分 支 过 程、布 朗 运 动 与 随 机积分、鞅过程，适用于非数学专业的理工科学生和 一般院校的数学系本科生。ＳｈｅｌｄｏｎＭ．Ｒｏｓｓ编写的 《ＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＰｒｏｃｅｓｓ》，涉 及 的 内 容 宽 泛，学 生 有 基 本 概率论的知识就可以学习，是一本很经典的随机过 程外 文 书，适 合 作 为 双 语 教 材。 ＳａｍｕｅｌＫａｒｌｉｎ和 ＨｏｗａｒｄＥ．Ｔａｙｌｏｒ编 写 的 《ＡＦｉｒｓｔＣｏｕｒｓｅｉｎＳｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ》和 《Ａ ＳｅｃｏｎｄＣｏｕｒｓｅｉｎＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＰｒｏｃｅｓ ｓｅｓ》，内容丰富、阐述详细，对于老师和基础较好的 学生是很好的教材和参考书。
收稿日期：２０１９０６２４ 基金项目：安徽省高等学校省级质量工程教学研究项目（２０１７ｊｙｘｍ００７１）。 作者简介：程 培（１９８２），女，安徽大学数学科学学院副教授，博士，主要从事随机系统控制研究。
第 ３５卷 第 ９期
程 培：应用随机过程教学探索与实践
·６３·
精选过程中应注意以下几点。 （二）优化知识点 随机过程内容庞杂，因此在知识点的选择上，除
（三）优化例题与习题 随机过程 中 题 目 来 源 广 泛，如 来 源 于 生 活、经 济、物理、工程、生物等等，难度层次各不相同。如果 在课堂中都详细讲解，不仅学时不够，而且容易冲淡 教学效果。授 课 教 师 根 据 学 生 的 基 础 和 专 业，对 例 题和习题进行优化选择和讲解，有助于教学内容重 点突出，也有利于学生对基本知识和方法的掌握和 灵活应用。 二、改进教学方式和方法 教学 方 法 应 结 合 课 程 特 点、学 生 基 础 及 专 业 需求。 （一）教学过程中做到以下“五注重” 注重背景来源和实际应用。随机过程中的许多 知识都有实际背景和应用，在讲解时可以将其与具 体的实例结合起来，不仅可以使学生更容易理解、记 忆以及灵活应用，还能使学生体会到课程的重要性， 感受其与生 活 密 切 相 关。 例 如，泊 松 过 程 的 讲 解 结 合电话交换台收到的电话呼叫次数，某盏灯更换灯 管的数量；讲解复合泊松过程时结合乘飞机抵达机 场的乘客人数，保险公司的保险金储备数量；讲解马 尔科夫链的概念时以随机游走为例，讲解分支过程 时以生物遗传为例，讲解更新过程时介绍其在人口 学中的应用，讲解鞅时以公平赌博为例，介绍随机微 分方程时以随机生物模型为例。 注重类比的方法。类比教学法是教学中常用的 教学方法之一。随机过程中有些过程定义相似却有 本质区别，可以通过比较来掌握各自的性质。例如， 布朗运动和泊松过程都具有独立增量，初值都为零， 但布朗运动要求增量服从正太分布，而泊松过程则
目前，应用随机过程教学中，教师往往注重理论 知识的讲解，给出大量的定义、定理、推论，侧重理论 推导，忽略理论原理与直观背景的结合，没有适当地 补充最新的科研应用，不同随机过程之间的分析比 较也很少，使 得 理 论 知 识 显 得 枯 燥 乏 味。 学 生 在 初 学这些知识时觉得十分抽象和难于理解，学习的兴 趣也随着课 程 学 习 的 深 入 而 消 失 殆 尽。 最 终，对 有 关理论的学习和应用不知所措。很多教师就随机过 程中的教学做了大量有益的研究，如刘秀芹等探讨 了导入式教学法和案例教学在应用随机过程教学中 的应用。修建娟等讨论了随机过程及其应用中的创 新性教学法。 本 文 从 教 师 的 角 度 出 发，旨 在 如 何 提 高课堂教学效果和学生的学习兴趣以及应用实践能 力方面做一些探讨。