2020-2021学年浙江省温州二中九年级(上)开学数学试卷-解析版

2020-2021学年浙江省温州二中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.计算a6?a2的结果是()

A. a3

B. a4

C. a8

D. a12

2.若分式x?2

的值为0，则x的值是()

x+5

A. 2

B. 0

C. ?2

D. ?5

3.如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标

分别为(?1,0)，(0,√3).现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，

则点B的对应点B′的坐标是()

A. (1,0)

B. (√3,√3)

C. (1,√3)

D. (?1,√3)

4.四边形ABCD中，AD//BC.要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件()

A. ∠A+∠C=180°

B. ∠B+∠D=180°

C. ∠B+∠A=180°

D. ∠A+∠D=180°

5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是()

A. a>0，c>0

B. a>0，c<0

C. a<0，c>0

D. a<0，c<0

6.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AB=13，AC=10，则该

菱形的面积为()

A. 65

B. 120

C. 130

D. 240

7.如图，△ABO中，∠ABO=45°，顶点A在反比例

(x>0)的图象上，则OB2?OA2的值为

函数y=3

x

()

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

8.下表是某校合唱团成员的年龄分布

年龄/岁13141516

频数515x10?x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是()

A. 平均数、中位数

B. 众数、中位数

C. 平均数、方差

D. 中位数、方差

9. 如图，直线y =?4

3x +8与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点

M 是 OB 上一点，若直线AB 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点C 处，则点M 的坐标是( )

A. (0,4)

B. (0,3)

C. (?4,0)

D. (0,?3)

10. 如图，正方形ABCD 的边长为12，E ，F 分别为BC ，AD 边上的点，且

BE =DF =5，M ，N 分别为AB ，CD 边上的点，且MN ⊥AE 交AE ，CF 于点G ，H ，则GH 的长为( )

A. 6

B. 13

2

C. 84

13

D. 91

12

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 求代数式√

2x?1x?2

有意义时的x 的范围是______．

12. 一元一次不等式组{x ?2>0

2x ?6>2

的解是______．

13. 一组数据：3，4，3，2，3，这组数据的方差是______．

14. 如图，A 为反比例函数y =k

x

(k ≠0)图象上一点，AM ⊥x 轴于M ，AN ⊥y 轴于N ，O 为坐标原点．设△AMN 的面积为S ，则k

S 的值为______．

15. 将矩形ABCD 折叠，使得对角线的两个端点A 、C 重合，折痕所在直线

交直线AB 于点E ，如果AB =4，BE =1，则BC 的长为______ ．

16. 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AB =3AC =18，O 是AB 边上一点，满足CA =CO ，将△ABC 绕

点A 顺时针旋转至△AB′C′，使点C′落在射线CO 上，连结BB′，交CC′的延长线于点F ，则FB 的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）

17.(1)先化简，再求值：1

x+1+2

x2?1

，其中x=√2+1．

(2)解方程：x(x?3)=x?3．

18.如图，AB=AC=AD，且AD//BC，∠BAC=20°，求∠D的度数．

19.图甲，图乙是两张完全相同的8×6方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C

均位于格点处，请按要求画出格点四边形(四边形各顶点都在格点上).(均只需在答题卡上画出一种)

(1)在图甲中画出一个以点A，B，C，P为顶点的格点四边形，且为中心对称图形．

(2)在图乙中画出一个以点A，B，C，P为顶点的格点四边形，CA平分∠BCP，且有两个内角均

为90°．

20.如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE

至G，使EG=AE，连接CG．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

(k为常数，且21.如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=k

x

k≠0)的图象都经过点A(m,2)

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；

(2)结合图象直接比较：当x>0时，y1和y2的大小．

22.如图，抛物线与x轴交于点A(?1,0)与点B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，P

为抛物线上的点．

(1)求该抛物线的函数解析式．

(2)若△PAB的面积为15

，求P点的坐标．

2

23.如图是小芳家2019年全年月用电量的条形统计图．据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)2019年四个季度中小芳家用电量最大的是第______季度．

(2)求2019年5月至6月用电量的月增长率．

(3)今年(2020年)小芳家添置了新电器．已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据2019年5

月至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时，假设今年5月至6月用电量月增长率是6月至7月用电量月增长率的1.5倍，据以上信息可求得小芳家今年6月份的用电量是______千瓦时(直接给出答案)．

24.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(?2,2).点P从点A出发，以每秒

1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴正方向运动，过点Q作直线l垂直x轴．当点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，作PD⊥BP交直线l于点D.连结BD交y轴于点E，连接PE.设点P的运动时间为t(s)．

(1)①点D的坐标为______(用含t的代数式表示)．

②当0

(2)当0

若不变，求出C的值．

(3)当t=______秒时，△PBE为等腰三角形(直接给出答案)．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：a6?a2=a8，

故选：C．

根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算．

此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法的计算法则．2.【答案】A

【解析】解：由题意，得

x?2=0，

解得，x=2．

=0．

经检验，当x=2时，x?2

x+5

故选：A．

分式的值等于零时，分子等于零．

本题考查了分式的值为零的条件．注意，分式方程需要验根．

3.【答案】C

【解析】解：因为点A与点O对应，点A(?1,0)，点O(0,0)，

所以图形向右平移1个单位长度，

所以点B的对应点B′的坐标为(0+1,√3)，即(1,√3)，

故选：C．

此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点．根据平移的性质得出平移后坐标的特点，进而解答即可．

4.【答案】D

【解析】解：A、如图1，∵AD//CB，

∴∠A+∠B=180°，

如果∠A+∠C=180°，

则可得：∠B=∠C，

这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；

B、如图1，∵AD//CB，

∴∠A+∠B=180°，

如果∠B+∠D=180°，

则可得：∠A=∠D，

这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；

C、如图1，∵AD//CB，

∴∠A+∠B=180°，

再加上条件∠A+∠B=180°，

也证不出是四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；

D、如图2，

∵∠A+∠D=180°，

∴AB//CD，

∵AD//CB，

∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；

故选：D．

四边形ABCD中，已经具备AD//BC，再根据选项，选择条件，推出AB//CD即可，只有D选项符合．此题主要考查了平行四边形的判定，判定方法共有五种：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分，5、两组对角分别相等；则四边形是平行四边形．

5.【答案】C

【解析】解：如图所示，抛物线的开口方向向下，则a<0．

抛物线与y轴交于正半轴，则c>0．

综上所述，a<0，c>0．

故选：C．

根据抛物线的开口方向和抛物线与y轴的交点坐标进行判断．

考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点有关．6.【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC=1

AC=5，OB=OD，AC⊥BD，

2

∴∠AOB=90°，

∴OB=√AB2?OA2=√132?52=12，∴BD=2OB=24，

∴菱形ABCD的面积=1

2AC×BD=1

2

×10×24=120；

故选：B．

由菱形的性质得出OA=OC=1

2

AC=5，OB=OD，AC⊥BD，由勾股定理求出OB=12，得出BD= 2OB=24，由菱形面积公式即可得出答案．

本题考查了菱形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的面积公式是本题的关键．

7.【答案】D

【解析】解：如图所示：过点A作AD⊥OB于点D，

∵∠ABO=45°，∠ADB=90°，

∴∠DAB=45°，

∴设AD=x，则BD=x，

∵顶点A在反比例函数y=3

x

(x>0)的图象上，

∴DO?AD=3，

则DO=3

x

，

故B O=x+3

x

，

OB2?OA2=(OD+BO)2?(OD2+AD2)

=(x+3

x

)2?x2?

9

x2

=6．

故选：D．

直接利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及反比例函数图象上点的坐标特点得出答案．此题主要考查了反比例函数的性质以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．

8.【答案】B

【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10?x=10，

则总人数为：5+15+10=30，

故该组数据的众数为14岁，中位数为：14+14

2

=14岁，

即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，

故选：B．

由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．

本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．

9.【答案】B

【解析】

【分析】

此题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理和一次函数图象等知识，根据已知得出A，B两点坐标以及利用翻折变换的性质得出MB=MC，AB=AC是解题关键．

首先求出直线与坐标轴交点坐标，进而得出BO，AO的长，再利用勾股定理求出AB的长；根据翻折变换的性质得出MB=MC，AB=AC=10，然后根据勾股定理直接求出MO的长，即可得出答案．【解答】

x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，

解：∵直线y=?4

3

∴y=0时，x=6，则A点坐标为：(6,0)，

x=0时，y=8，则B点坐标为：(0,8)；

∴BO=8，AO=6，

∴AB=√82+62=10，

直线AB沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处，

∴AB=AC=10，MB=MC，

∴OC=AC?OA=10?6=4．

设MO=x，则MB=MC=8?x，

在Rt△OMC中，OM2+OC2=CM2，

∴x2+42=(8?x)2，

解得：x=3，

故M点坐标为：(0,3)．

故选B．

10.【答案】C

【解析】解：∵正方形ABCD的边长为12，

∴AB=CD=AD=BC=12，AD//EC，

∵BE=DF=5，

∴AF=CE=7，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵AB=12，BE=5，

∴AE=√AB2+BE2=√144+25=13，

∵S

平行四边形AFCE

=AF×AB=AE×GH，

∴7×12=13×GH，

∴GH=84

13

，

故选：C．

由勾股定理可求AE的长，通过证明四边形AFCE是平行四边形，可得S平行四边形AFCE=AF×AB= AE×GH，即可求解．

本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用面积法求GH的长是本题的关键．

11.【答案】X≥1

2

且x≠2

【解析】解：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，

可知：x?2≠0，

解得，x≠2，

2x?1≥0，即x≥1

2

，

故x的范围是x≥1

2

，且x≠2．

故答案为：x≥1

2

，且x≠2．

根据式子特点，从两个角度解答：

①被开方数大于等于0；

②分母不等于0．

主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零

12.【答案】x>4

【解析】解：{x?2>0①

2x?6>2②

，

由①得，x>2，

由②得，x >4，

故此不等式组的解集为：x >4． 故答案为：x >4．

分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

13.【答案】2

5

【解析】解：∵x ?

=

2+3×3+4

5

=3，

∴S 2=1

5×[(2?3)2+3×(3?3)2+(4?3)2]=2

5，

故答案为：2

5．

根据方差的定义列式计算可得．

本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义．

14.【答案】?2

【解析】解：∵AM ⊥x 轴于M ，AN ⊥y 轴于N ，∠MON =90°， ∴四边形AMON 是矩形， ∴S 矩形AMON =2S △AMN =2S ，

∵A 为反比例函数y =k

x (k ≠0)图象上一点， ∴|k|=2S ， 又∵k <0， ∴k =?2S ， ∴k

S 的值为?2， 故答案为：?2．

根据四边形AMON 是矩形，即可得到S 矩形AMON =2S △AMN =2S ，依据反比例函数的比例系数k 的几何意义，即可得到k =?2S ，进而得出k

S 的值．

此题主要考查反比例函数的比例系数k 的几何意义，在反比例函数y =k

x 图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

15.【答案】2√2或2√6

【解析】解：当点E在线段AB上，如图1，连结CE，

∵AB=4，BE=1，

∴AE=3，

∵将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A、C重合，

∴AE=CE=3，

在Rt△BCE中，BC=√CE2?BE2=√32?12=2√2；

当点E在线段AB的延长线上，如图2，连结CE，

∵AB=4，BE=1，

∴AE=5，

∵将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A、C重合，

∴AE=CE=5，

在Rt△BCE中，BC=√CE2?BE2=√52?12=2√6，

∴BC的长为2√2或2√6．

故答案为2√2或2√6．

分类讨论：当点E在线段AB上，连结CE，根据折叠的性质得到AE=CE=3，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理计算BC；当点E在线段AB的延长线上，连结CE，根据折叠的性质得AE=CE=5，在Rt△BCE中，根据勾股定理计算BC．

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．

16.【答案】14

【解析】解：过C作CD⊥AB于点D，

∵CA=CO，

∴AD=DO，

在Rt△ACB中，∵AB=3AC=18，

∴AC=6，

∴cos∠CAB=AC

AB =1

3

=AD

AC

，

∴AD=1

3

AC=2，∴AO=2AD=4，

∴BO=AB?AO=18?4=14，

∵△AC′B′是由△ACB旋转得到，

∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，

∵∠ACC′=1

2(180°?∠CAC′)，∠ABB′=1

2

(180°?∠BAB′)，

∴∠ABB′=∠ACC′，

∴在△CAO和△BFO中，∠BFO=∠CAO，

∵CA=CO，

∴∠COA=∠CAO，

又∵∠COA=∠BOF(对顶角相等)，

∴∠BOF=∠BFO，

∴BF=BO=14．

故答案为：14．

过C作CD⊥AB于点D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD=DO，然后根据∠CAB的余弦值列式求出AB、AD的值，再求出AO的值，根据BO=AB?AO代入数据求出BO，然后根据旋转的性质可得AC=AC′，AB=AB′，再根据旋转角得到∠CAC′=∠BAB′，然后根据三角形的内角和定理求出∠ABB′=∠ACC′，从而求出∠BOF=∠BFO，根据等角对等边的性质可得BF=BO，从而得解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的内角和定理，以及锐角三角函数的应用，求出BO的长度之后，难点在于求BF=BO．

17.【答案】解：(1)原式=x?1

x2?1+2

x2?1

=

x+1

(x+1)(x?1)

=1

x?1

，

当x=√2+1时，原式=

2+1?1=√2

2

；

(2)x(x?3)=x?3

移项，x(x?3)?(x?3)=0，

(x?3)(x?1)=0，

则x?3=0或x?1=0，

解得，x1=3，x2=1．

【解析】(1)根据分式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算得到答案；

(2)利用因式分解法过程方程．

本题考查的是分式的化简求值、一元二次方程的解法，掌握分式的加减混合运算法则、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．

18.【答案】解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠ABD+∠DBC=∠C，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠D，

∵AD//BC，

∴∠DBC=∠D，

∴∠C=2∠D，

∵∠BAC=20°，

∴∠ABC=∠C=80°，

∴∠D=40°．

【解析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，∠ABD=∠D，根据平行线的性质得出∠DBC=∠D，求出∠C=2∠D，求出∠C即可．

本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

19.【答案】解：(1)如图甲所示：

四边形ABCP即为所求；

(2)如图乙所示：四边形ABCP即为

所求．

【解析】(1)直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案；

(2)直接利用网格结合直角的定义得出答案．

此题主要考查了应用设计与作图，正确借助网格分析是解题关键．

20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，

∴∠ABE=∠CDF，

∵点E，F分别为OB，OD的中点，

∴BE=1

2OB，DF=1

2

OD，

∴BE=DF，

在△ABE和△CDF中，

{AB=CD

∠ABE=∠CDF

BE=DF

,

∴△ABE≌△CDF(SAS)；

(2)解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：

∵AC=2OA，AC=2AB，

∴AB=OA，

∵E是OB的中点，

∴AG⊥OB，

∴∠OEG=90°，

同理：CF⊥OD，

∴AG//CF，

∴EG//CF，

∵EG=AE，OA=OC，

∴OE是△ACG的中位线，

∴OE//CG，

∴EF//CG，

∴四边形EGCF是平行四边形，

∵∠OEG=90°，

∴四边形EGCF是矩形．

【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

(1)由平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；

(2)证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG//CF，由三角形中位线定理得出OE//CG，EF//CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．21.【答案】解：(1)将A的坐标代入y1=x+1，

得：m+1=2，

解得：m=1，

故点A坐标为(1,2)，

将点A的坐标代入：y2=k

x

，

得：2=k

1， 解得：k =2，

则反比例函数的表达式y 2=2

x ；

(2)结合函数图象可得： 当01时，y 1>y 2．

【解析】(1)将A 点代入一次函数解析式求出m 的值，然后将A 点坐标代入反比例函数解析式，求出k 的值即可得出反比例函数的表达式； (2)结合函数图象即可判断y 1和y 2的大小．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题注意数形结合思想的运用，数形结合是数学解题中经常用到的，同学们注意熟练掌握．

22.【答案】解：(1)将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得{a ?b +c =0

9a +3b +c =0c =3，解得{a =?1b =2c =3，

故抛物线的表达式为y =?x 2+2x +3；

(2)点A 、B 的坐标知，AB =4， ∵△PAB 的面积为=1

2×AB ×|y P |=

15

2

，即12×4×|y P |=15

2

，解得y P =±15

4， ∴?x 2+2x +3=±15

4

，解得x =1

2或3

2或2+√312

或2?√312

，

故点P 的坐标为(12,15

4)或(32,15

4)或(2+√312

,?154

)或(2?√312

,?15

4

).

【解析】(1)用待定系数法即可求解； (2)△PAB 的面积为=1

2×AB ×|y P |=

15

2

，即12×4×|y P |=152

，进而求解．

本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

23.【答案】三 180

【解析】解：(1)①由小芳家2019年全年月用电量的条形统计图得：2019年四个季度中小芳家用电量最大的是第三季度．

故答案为：三；

×100%=65%，

(2)132?80

80

答：2019年5月至6月用电量的月增长率为65%；

(3)设今年5月至6月用电量月增长率为1.5x，则6月至7月用电量月增长率的x，

根据题意列方程得：120(1+x)(1+1.5x)=240，

，x2=?2(不合题意舍去)，

化简得3x2+5x?2=0，解得x1=1

3

)=180(千瓦时)，

∴120×(1+1.5x)=120×(1+1.5×1

3

答：预计小芳家今年6月份的用电量是180千瓦时．

故答案为：180．

(1)根据图中提供的信息，得出2019年小芳家四个季度中用电量最大的季度；

(2)利用2019年5月至6月用电量的月增长率=(6月用电量?5月用电量)÷5月用电量×100%计算即可；

(3)设今年5月至6月用电量月增长率为1.5x，则6月至7月用电量月增长率的x，根据题意列方程，求解即可．

本题考查一元二次方程的实际运用，条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

24.【答案】(t,t)90°≤∠PED<135°2或(2√2?2)

【解析】解：(1)①如图1，

由题可得：AP=OQ=1×t=t(秒)，

∴AO=PQ，

∵四边形OABC是正方形，

∴AO=AB=BC=OC，

∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°，∵DP⊥BP，

∴∠BPD=90°，

∴∠BPA=90°?∠DPQ=∠PDQ，

∵AO=PQ，AO=AB，

∴AB=PQ，

在△BAP和△PQD中，

{∠BAP=∠PQD ∠BPA=∠PDQ AB=PQ

，

∴△BAP≌△PQD(AAS)，

∴AP=QD，BP=PD，

∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°，

∵AP=t，

∴DQ=t．

∴点D坐标为(t,t)，

故答案为：(t,t)．

②当t=0时，∠PEB=45°，

当t=2时，∠PEB=90°，

∴当0

故答案为：90°≤∠PED<135°．

(2)结论：△POE的周长C=4，是定值．

理由：延长OA到K，使得AK=CE，连接BK，

∵BC=BA，∠BCE=∠BAK=90°，CE=AK，∴△KAB≌△ECB(SAS)，