高考数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆课件 理

0 的对称点仍在圆上，且圆与直线 x－y＋1＝0 相交的弦长为
2 2，则圆的方程是________.
解析 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 的对称点仍在圆上，说明圆心在直线 x＋2y＝0 上，即有
a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圆与直线 x－y＋1＝0 相交
考点整合
1.两直线平行或垂直 (1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存 在且l1与l2不重合时，l1∥l2. (2)两条直线垂直：对于两条直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2， 则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别地，当l1，l2中有一条直线的斜率不 存在，另一条直线的斜率为零时，l1⊥l2.
2.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半 径为 r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心 为－D2 ，－E2，半径为 r＝ D2＋2E2－4F；对于二元二次方程 Ax2 ＋ Bxy ＋ Cy2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 B＝0， A＝C≠0， D2＋E2－4AF＞0.
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直， 圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线 方程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定 理处理.
[微题型3] 与圆有关的弦长问题 【例 1－3】 (2015·泰州调研)若圆上一点 A(2，3)关于直线 x＋2y＝
5.直线与圆中常见的最值问题 (1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值. (2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值. (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值. (4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值 问题. (5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.
热点一 直线与圆有关问题 [微题型1] 求圆的方程 【例1－1】 (2015·广州模拟)若圆C经过(1，0)，(3，0)两点，且与 y轴相切，则圆C的方程为________.
解析 因为圆 C 经过(1，0)，(3，0)两点， 所以圆心在直线 x＝2 上，又圆与 y 轴相切， 所以半径为 2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4， ∴b2＝3，b＝± 3. 答案 (x－2)2＋(y± 3)2＝4
探究提高 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般 方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时， 要根据所给条件选取适当的方程形式.
第1讲 直线与圆
高考定位 高考对本内容的考查重点是直线间的平行和垂直 的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦 长问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出 现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程 知识.多为B级或C级要求.
真题感悟
1.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与 直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆 的标准方程为________. 解析 直线 mx－y－2m－1＝0 恒过定点(2，－1)，由题意，得半 径最大的圆的半径 r＝ （1－2）2＋（0＋1）2＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 答案 (x－1)2＋y2＝2
设点 M(x，y)，因为 MA＝2MO，所以 x2＋（y－3）2＝2 x2＋y2， 化简得 x2＋y2＋2y－3＝0，即 x2＋(y＋1)2＝4，所以点 M 在以 D(0， －1)为圆心，2 为半径的圆上. 由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|2－ 1|≤CD≤2＋1， 即 1≤ a2＋（2a－3）2≤3. 整理得－8≤5a2－12a≤0. 由 5a2－12a＋8≥0，得 a∈R；由 5a2－12a≤0，得 0≤a≤152. 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围是0，152.
[微题型2] 圆的切线问题 【例1－2】 (2015·重庆卷改编)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是
圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的 一条切线，切点为B，则AB＝________. 解析 圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 圆心为 C(2，1)，半径为 r＝2， 因此 2＋a×1－1＝0，a＝－1， 即 A(－4，－1)， AB＝ AC2－r2＝ （－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6. 答案 6
2.(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线 l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的 方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值 范围.
解 (1)由题设，圆心 C 是直线 y＝2x－4 和 y＝x－1 的交点，解得 点 C(3，2)，于是切线的斜率必存在. 设过 A(0，3)的圆 C 的切线方程为 y＝kx＋3，由题意，得|3kk2＋＋11|＝1， 解得 k＝0 或－34，故所求切线方程为 y＝3 或 3x＋4y－12＝0. (2)因为圆心在直线 y＝2x－4 上， 所以圆 C 的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
3.直线方程的5种形式中只有一般式可以表示所有的直线.在利用直 线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性. 比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一 定不要忽略过原点的特殊情况.而题中给出直线方程的一般式， 我们通常先把它转化为斜截式再进行处理.
4.处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应 用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到， 利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化.