沪科版初三数学知识点总结
数学九年级知识点沪科
数学九年级知识点沪科数学是一门抽象而又具有逻辑思维的学科，对于九年级的学生来说，数学知识点的理解和应用至关重要。
本文将全面介绍九年级的数学知识点，帮助学生更好地掌握数学技能。
一、数的概念及运算九年级数学的基础是数的概念及运算。
数包括自然数、整数、有理数和实数等概念。
自然数是1、2、3、4...，整数包括正整数、负整数和零，有理数指的是可以表示为两个整数比的数，而实数则包括有理数和无理数。
1. 自然数与整数自然数是我们通常所说的正整数，从1开始逐个递增。
整数则包括正整数、负整数和零，用于表示增减关系。
2. 有理数与实数有理数是可以表示为两个整数比的数，例如分数和整数。
实数则是包括有理数和无理数的集合，无理数是不能表示为两个整数比的数，例如根号2和圆周率π等。
3. 数的运算数的运算是指对数进行加减乘除等操作。
加法是指两个数值相加，减法是指一个数值减去另一个数值，乘法是指两个数值相乘，除法是指一个数值除以另一个数值。
二、代数表达式与方程代数是数学中研究数与数之间的关系的一门学科。
九年级的代数主要包括代数表达式与方程的应用。
1. 代数表达式代数表达式是用字母和数的组合来表示数与数之间的关系。
例如，3x + 2y 就是一个代数表达式，其中 x 和 y 是变量。
2. 方程方程是代数中常见的问题形式，表示两个代数表达式相等的关系。
解方程的过程是找出使等式成立的未知数的值。
三、几何图形几何是研究点、线、面及其相互关系的学科，九年级的几何主要包括图形的性质与图形的计算。
1. 平面图形平面图形包括多边形、圆、椭圆、抛物线等。
每种图形都有其特定的性质和计算方法。
2. 空间图形空间图形包括立体图形，如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体等。
对于这些图形，我们要了解它们的面、边和顶点的性质。
四、数据与统计数据与统计是数学中用于收集、整理和分析数据的一门学科。
九年级的数据与统计涉及概率、平均数和统计图表等内容。
1. 概率概率是用来描述事件发生可能性的数值。
沪科版九年级数学知识点
沪科版九年级数学知识点学习学问要擅长思索，思索，再思索。
每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲练的。
下面是我给大家整理的一些九年级数学的学问点，盼望对大家有所协助。
九年级下册数学学问点归纳学问点1.概念把形态一样的图形叫做相像图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相像，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特别的相像，即不仅形态一样，大小也一样.(3)判定两个图形是否相像，就是看这两个图形是不是形态一样，与其他因素无关.学问点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d，假如其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.学问点3.相像多边形的性质相像多边形的性质：相像多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相像多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相像多边形的“对应”来自于书写，且要明确相像比具有依次性.学问点4.相像三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相像三角形.解读：(1)相像三角形是相像多边形中的一种;(2)应结合相像多边形的性质来理解相像三角形;(3)相像三角形应满意形态一样，但大小可以不同;(4)相像用“∽”表示，读作“相像于”;(5)相像三角形的对应边之比叫做相像比.学问点5.相像三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相像;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相像.(3)假如一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像.(4)假如一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相像.(5)假如一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相像.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相像.学问点6.相像三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相像比;(3)相像三角形周长之比等于相像比;面积之比等于相像比的平方.(4)射影定理初三下册数学学问点总结20xx一、锐角三角函数正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边二、三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒绽开式(幂级数绽开法)f(x)=f(a)+f(a)/1!.(x-a)+f(a)/2!.(x-a)2+...f(n)(a)/n!.(x-a)n+...三、解直角三角形1.直角三角形两个锐角互余。
沪科版初中数学知识点总结
沪科版初中数学知识点总结一、数与代数1. 数的基本概念- 自然数、整数、有理数和无理数的定义及其性质。
- 整数的四则运算规则及其应用。
- 分数的加减乘除运算，分数的化简和比较大小。
- 小数的意义、性质及与分数的互化。
2. 代数表达式- 字母表示数，单项式和多项式的概念。
- 单项式的系数和次数，多项式的阶数和项数。
- 代数式的基本运算，包括加减乘除、因式分解等。
3. 一元一次方程与不等式- 一元一次方程的建立、解法及其应用。
- 不等式的概念、性质及解集表示。
- 一元一次不等式及其解集的求解。
4. 二元一次方程组- 二元一次方程组的建立和解集的表示。
- 代入法和消元法解二元一次方程组。
- 线性方程组的应用问题。
5. 函数的初步认识- 函数的概念，函数的定义域和值域。
- 线性函数、二次函数的图像和性质。
- 函数的简单运算，包括加法、减法、乘法和除法。
二、几何1. 平面图形的认识- 点、线、面的基本性质。
- 角的概念，包括邻角、对角、同位角等。
- 三角形的分类及其性质，包括等边、等腰、直角三角形。
- 四边形的分类及其性质，包括正方形、长方形、菱形、梯形。
2. 图形的变换- 平移、旋转、轴对称等基本变换。
- 相似变换的概念及其应用。
- 通过坐标系进行图形的定位和变换。
3. 圆的基本性质- 圆的定义、圆心、半径和直径。
- 圆的对称性，切线和割线的概念。
- 圆周角和圆心角的关系，圆的面积和周长的计算。
4. 空间几何- 空间图形的基本性质和分类。
- 立体图形的表面积和体积计算。
- 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的结构特征。
5. 解析几何初步- 坐标系的建立和应用。
- 直线和曲线方程的基本概念。
- 点、线、面间的位置关系。
三、统计与概率1. 统计- 数据的收集、整理和描述。
- 频数分布表和直方图的绘制。
- 平均数、中位数、众数的计算和意义。
- 方差和标准差的概念及其计算。
2. 概率- 随机事件的概念及其分类。
- 概率的定义和基本性质。
九年级数学沪教版知识点
九年级数学沪教版知识点数学是一门具有逻辑性和思维性的学科，也是人类的重要思维工具之一。
对于九年级的学生来说，数学已经相对复杂起来，需要一定的记忆和理解。
以下将介绍九年级数学沪教版的一些重要知识点。
1.函数和方程式函数和方程式是数学中的基础概念。
函数指的是一种关系，它将一个或多个输入对应到一个输出。
九年级的学生将学习到更多复杂的函数类型，如二次函数、指数函数和对数函数等。
方程式则是一个等式，其中包含未知数。
学生将学习如何解方程式和应用方程式解决实际问题。
2.平面几何在平面几何中，学生将学习到更多复杂的图形和性质。
例如，学生将学习到椭圆、双曲线和抛物线等二次曲线的性质。
同时还将学习到三角形的边角关系、相似性和三角函数等内容。
这些知识将帮助学生更好地理解和应用几何概念。
3.统计与概率统计与概率是数学中的一个重要分支，也是现实生活中常用的工具。
在九年级，学生将学习到如何收集和整理数据，以及如何分析和解释数据。
学生还将学习到如何计算概率，并应用概率解决实际问题。
4.数列与数学归纳法数列是按照一定规律排列的一组数。
学生将学习到如何找到数列的通项公式，并根据通项公式计算数列中的某一项。
学生还将学习到数学归纳法，它是一种证明数学命题的重要方法。
5.立体几何立体几何是平面几何的一个延伸，它研究的是三维空间中的图形和性质。
在九年级，学生将学习到如何计算体积和表面积，并应用这些概念解决实际问题。
学生还将学习到棱柱、棱锥、球等几何体的性质。
6.有理数与无理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
无理数则不可以表示为两个整数的比值，例如π 和√2。
学生将学习到有理数和无理数的性质，以及如何进行计算和比较。
7.多项式与因式分解多项式是由多个项相加或相减得到的式子。
学生将学习到如何进行多项式的加减乘除运算，并应用多项式解决实际问题。
因式分解则是将多项式分解为乘积的形式，许多数学问题都可以简化成因式分解的形式。
初中数学知识点总结沪科
初中数学知识点总结沪科初中数学知识点总结（沪科版）一、数与代数1. 有理数- 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。
- 有理数的分类：正整数、负整数、正分数、负分数、零。
- 有理数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方。
2. 整数- 整数的性质：奇数与偶数、质数与合数。
- 整数的四则运算：加法交换律、结合律；减法的性质；乘法交换律、结合律、分配律。
3. 分数与小数- 分数的基本性质：等值分数、分数的加减乘除运算。
- 小数的意义和性质：小数点的位置移动引起大小变化的规律、小数的四则运算。
4. 代数表达式- 单项式与多项式：单项式的定义和性质、多项式的定义和性质。
- 代数式的加减运算：合并同类项、分配律。
- 代数式的乘除运算：单项式乘以单项式、多项式乘以单项式、多项式乘以多项式、单项式除以单项式。
5. 一元一次方程与不等式- 方程与方程的解：一元一次方程的解法、解的性质。
- 不等式及其解集：一元一次不等式的解法、解集的表示。
- 用方程或不等式解决实际问题。
6. 二元一次方程组- 代入法解二元一次方程组。
- 加减法解二元一次方程组。
- 方程组的应用：根据实际问题列出方程组并求解。
二、几何1. 平面图形- 点、线、面的基本性质。
- 角的概念：邻角、对顶角、同位角、内错角。
- 三角形的分类：按边分类（等边、等腰、不等边三角形）、按角分类（锐角、直角、钝角三角形）。
- 四边形的分类：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形。
2. 图形的性质- 三角形的性质：三角形的内角和、外角性质、三角形的中位线定理。
- 四边形的性质：平行四边形的性质、矩形、菱形、正方形的性质。
- 圆的基本性质：圆的定义、圆的直径、弦、弧、切线、圆周角、圆心角。
3. 图形的变换- 平移：图形沿直线移动，保持形状和大小不变。
- 旋转：图形绕一点旋转一定角度，保持形状和大小不变。
- 轴对称：图形关于某条直线对称，对称轴两侧的图形完全重合。
初三上册数学知识点归纳沪科版
初三上册数学知识点归纳沪科版
一、整数与分数
1.整数的概念、绝对值、相反数和加减法
2.带分数的加减法、乘法和除法
3.分数的概念、化简、加减法和乘除法
4.数轴及其上的整数和分数的表示
二、代数初步
1.代数的基本概念、字母的运算和表示
2.算式计算、正负数的混合运算
3.代数式的概念、含有一个未知数的代数式的计算
4.二元一次方程的概念、解的概念和解线性方程
三、图形初步
1.基本图形的概念，包括点、线段、直线、射线和角
2.平面图形的概念，包括三角形、四边形、多边形和圆
3.平移、旋转和对称的概念
4.直线与平面的关系、直线的倾斜度和对应的斜率
四、数表与数图
1.表格的制作和表示
2.折线图和直方图的制作和表示
3.用折线图和直方图进行数据的分析和比较
五、比例与百分数
1.比例的概念和性质
2.比例中的四则运算
3.百分数的概念和计算方法
4.分数与百分数之间的转换
六、三角形的性质
1.三角形中角的性质
2.三角形中边的性质
3.三角形的合同和相似
4.三角形的面积和周长的计算
七、图形的变换
1.平移的概念和性质
2.旋转的概念和性质
3.对称的概念和性质
4.缩放的概念和性质
以上是初三上册数学知识点的归纳，涵盖了整数与分数、代数初步、图形初步、数表与数图、比例与百分数、三角形的性质和图形的变换等内容。
掌握了这些知识点，学生将会对初中数学的基本概念和基本运算有一个全面的了解，为进一步学习数学打下坚实的基础。
(沪科版)九年级数学下册知识点总结
(沪科版)九年级数学下册知识点总结
1. 几何与图形
- 三角形、四边形、多边形等几何图形的性质和判定方法；- 三角形的相似性质和判定方法；
- 直角三角形的性质和应用；
- 平行线与相交线的性质及其在解题中的应用；
- 圆的性质、弧与角、弦切线以及切线与切点的性质；
- 三视图的绘制和空间图形的认识等。
2. 函数与方程
- 一次函数和二次函数的性质、图像与应用；
- 线性方程组的解法及其应用；
- 一元一次方程和一元二次方程的解法；
- 二次函数、指数函数与对数函数的性质和应用。
3. 统计与概率
- 数据的收集整理和分析方法；
- 单纯随机抽样和系统抽样的特点与应用；
- 事件与事件的关系、概率的定义和性质；
- 用频率估计概率和概率与统计的关系等。
4. 三角函数
- 任意角的三角函数与恒等变换；
- 三角函数图像的变换与性质；
- 解三角形等。
5. 二次函数与一元二次方程
- 二次函数的单调性、最值、根与图像；
- 一元二次方程的根与一元二次方程的应用等。
6. 平面向量
- 向量的基本概念与运算；
- 向量共线及其运用；
- 平面向量的坐标表示与运算。
7. 平面直角坐标系
- 平面直角坐标系的建立和性质；
- 坐标表示和距离计算等。
以上是(沪科版)九年级数学下册的主要知识点总结，涵盖了几何与图形、函数与方程、统计与概率、三角函数、二次函数与一元二次方程、平面向量和平面直角坐标系的内容。
希望对您的研究有所帮助！。
沪科教版初三上册数学知识点汇总
沪科教版初三上册数学知识点汇总一、一元二次方程1.一元二次方程的一般形式•一元二次方程的一般形式为：$ax^2 + bx + c = 0$（其中$a \neq 0$）。
这是研究一元二次方程问题的起点，通过将其化为一般形式，可以确定$a$、$b$、$c$的值。
2.一元二次方程的解法•直接开平方法：适用于方程形如$(x-p)^2 = q$的情况，直接开平方求解。
•公式法：对于一般形式的一元二次方程，其解为$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
这种方法适用范围广，但计算较繁，易发生错误。
•因式分解法：将方程左边化为两个因式的乘积，然后令每个因式等于零求解。
这种方法计算简便，是首选方法。
•配方法：通过配方将方程化为完全平方的形式，然后求解。
这种方法使用较少，但在某些情况下非常有效。
3.一元二次方程根的判别式•判别式$\Delta = b^2 - 4ac$用于判断一元二次方程的根的情况：•当$\Delta > 0$时，方程有两个不相等的实根。
•当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实根。
•当$\Delta < 0$时，方程无实根。
二、二次函数1.二次函数的概念•一般地，形如$y = ax^2 + bx + c$（其中$a \neq 0$）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的基本形式•一般式：$y = ax^2 + bx + c$。
•顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中$(h, k)$为抛物线的顶点坐标。
•两根式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中$x_1$、$x_2$为抛物线与$x$轴两交点的横坐标。
3.二次函数的性质•开口方向：当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
•对称轴：抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}$。
•顶点坐标：抛物线的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$。
九年级数学沪科上册知识点
九年级数学沪科上册知识点数学是一门抽象而又具有逻辑性的学科。
对于九年级的学生来说，数学的难度也逐渐加深。
在九年级上册的沪科数学课本中，有许多重要的知识点需要掌握和理解。
本文将介绍几个重要的知识点，并对其进行简要解释。
一、有理数的乘除运算有理数的乘除运算是九年级数学的重要内容之一。
乘法和除法是数学中最基本的运算。
在进行有理数的乘除运算时，我们需要注意符号的运用和分数化简。
例如，当两个有理数相乘时，符号的规则是：两个正数相乘得正数，一个正数和一个负数相乘得负数，两个负数相乘得正数。
而在相除运算中，我们需要记住：正数除以正数得正数，正数除以负数得负数，并且除以0是没有意义的。
二、平方根与立方根平方根与立方根也是九年级数学中的重要知识点。
平方根是指一个数的平方等于某一给定的数，而立方根则是指一个数的立方等于某一给定的数。
计算平方根和立方根可以通过开根运算符和立方根运算符来进行。
平方根和立方根的运算可以帮助我们解决一些面积、体积等相关问题。
三、几何图形的计算在九年级数学中，还有一些关于几何图形的计算问题需要我们掌握。
例如，如何计算矩形的面积和周长，如何计算圆的面积和周长等等。
对于这些问题，我们需要了解相应的公式和计算方法。
例如，矩形的面积可以通过长乘以宽来求得，圆的面积可以通过π乘以半径的平方来计算。
对于周长的计算，我们也需要知道相应的公式。
四、代数方程的解法九年级数学中，我们还要学习代数方程的解法。
代数方程是含有未知数的等式，通过解代数方程，我们可以求得方程中的未知数的值。
有几种常见的代数方程解法，如因式分解法、配方法和公式法等等。
在解代数方程时，我们需要根据具体的方程类型选择合适的解法，并运用相应的方法进行计算。
五、平面坐标系的应用平面坐标系是九年级数学中的一个重要概念。
平面坐标系是由两条相互垂直的坐标轴构成的，通过确定两个坐标轴上的数值，我们可以确定平面上的一个点的位置。
平面坐标系的应用可以帮助我们解决许多几何问题，例如，计算两点之间的距离、计算一个点关于坐标轴的对称点等。
九年级沪科版数学知识点归纳
九年级沪科版数学知识点归纳1、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离九年级沪科版数学知识点归纳，|a|≥0。
零的绝对值时它本身九年级沪科版数学知识点归纳，也可看成它的相反数九年级沪科版数学知识点归纳，若|a|=a九年级沪科版数学知识点归纳，则a≥0九年级沪科版数学知识点归纳；若|a|=-a，则a≤0。
2.(5)定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。
(6)圆的切线上的一点与切点之间的线段长度，称为该点到圆的切线长度；切线长度定理:圆的两条切线可以从圆外的一点画出，它们的切线长度相等。
该点和圆心之间的连线平分两条切线之间的夹角。
3.数学的基本概念、定义和公式，数学知识点之间的内在联系，解决数学问题的基本思想和方法是复习的重中之重。
初三数学上册知识点总结归纳绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
等腰三角形的定义:两条边相等的三角形是等腰三角形。
(5)定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。
(6)圆的切线上的一点与切点之间的线段长度，称为该点到圆的切线长度；切线长度定理:圆的两条切线可以从圆外的一点画出，它们的切线长度相等。
该点和圆心之间的连线平分两条切线之间的夹角。
九年级沪科版数学复习清单?越详细越好。
九年级上海理科版数学知识点初步认识:数轴的定义、性质、绝对值及应用。
图形的概念:平行四边形、正方形、圆形、三角形、矩形、梯形、圆柱、圆锥、球面的定义和性质。
并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行九年级沪科版数学知识点归纳，通过运用九年级沪科版数学知识点归纳，达到深化理解、发展能力的目的，因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举一反熟练应用，避免以“练”代“复”的题海战术。
初中数学的两个分支枣-代数和几何，代数是研究“数”的，几何是研究“形”的。
沪教版九年级上册数学知识点【四篇】等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(“三线合一”)等腰三角形的两底角的平分线相等。
数学沪科版九年级全册知识点
数学沪科版九年级全册知识点数学是一门极具挑战性的学科，无论在学生还是老师的眼中都有着重要的地位。
在九年级这个阶段，数学课程将会涉及许多不同的知识点，而沪科版是中国数学教育的一项重要标志。
下面将会介绍数学沪科版九年级全册的一些重要知识点。
第一章：代数式与函数代数式是数学中最基础的概念之一。
它由数字、字母和运算符号等组成，可以进行加减乘除等各种运算。
在九年级的代数式学习中，要掌握代数式的化简、合并同类项和因式分解等基本技巧。
另外，函数是代数学中一个重要的概念，指的是一个输入值与输出值之间的对应关系。
九年级学生需要通过图像、表格和公式来描述和解决各种函数问题。
第二章：平面直角坐标系与图形的性质平面直角坐标系是研究平面图形性质的重要工具。
它由两个相互垂直的坐标轴组成，用来表示平面上每个点的位置。
在九年级的学习中，学生要掌握平面直角坐标系的基本概念、坐标的表示方法以及通过坐标计算各种图形的性质。
此外，还需要了解直线的斜率和截距等概念，以及如何通过直线方程表示和分析直线的性质。
第三章：多边形与三角形多边形是由若干条线段首尾相连而成的图形，在九年级的学习中，学生需要熟悉各种多边形的特征和性质。
例如，正多边形的内角和公式、等边三角形的性质等。
此外，三角形是几何学中最基本的图形之一，九年级学生需要掌握三角形的边长关系、内角和外角的性质，以及根据给定条件判断三角形的形状等。
第四章：相似与全等三角形相似与全等三角形是九年级数学中的重要概念。
相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形，全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形。
学生需要通过研究三角形的边长、角度和比例关系等来判断三角形之间是否相似或全等，并且能够运用相似与全等三角形的性质解决各种相关问题。
第五章：平行线与比例平行线和比例也是九年级数学中的重要内容。
平行线指的是在同一个平面内永远不会相交的线，学生需要通过学习平行线的特征和性质，例如平行线之间的夹角关系和平行线截断的比例关系等。
沪科九年级数学知识点
沪科九年级数学知识点在沪科九年级的数学学科中，孩子们将继续探索各种数学概念和技能，为即将到来的高中数学做好准备。
在这一年级中，涉及的数学领域更加广泛，包括代数、几何、函数等。
本文将讨论沪科九年级数学的一些重要知识点。
一、代数学1.1 一次函数在代数学中，一次函数是一个重要的概念。
一次函数表示为 y = mx + b 的形式，其中 m 是斜率，b 是截距。
这个方程表示了一条直线关系，可以帮助我们理解线性关系和求解问题。
1.2 二次函数二次函数是一个非常常见的代数函数。
它的一般表达式是 y = ax^2 + bx + c。
二次函数以抛物线的形式呈现，可以通过顶点和根的性质来分析和解决问题。
1.3 不等式不等式是另一个重要的代数概念。
不等式用于描述数值之间的关系，如大于、小于、大于等于、小于等于等。
解不等式可以帮助我们确定一组数的取值范围。
二、几何学2.1 三角形在几何学中，三角形是一个基本的图形。
沪科九年级中，我们将学习更多关于三角形的性质和定理，例如勾股定理、正弦定理和余弦定理。
这些定理可以帮助我们计算和解决与三角形相关的问题。
2.2 平行线与平行四边形平行线和平行四边形也是几何学中的重要概念。
学生将学习如何判断两条线是否平行，以及如何应用平行四边形的性质解决问题。
2.3 圆与圆周角圆是几何学中的一个非常重要的图形，圆周角是指圆内两条弧所对应的角。
学生将学习如何计算圆周角以及如何应用圆的性质解决问题。
三、函数3.1 函数的概念在数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数表示了两个变量之间的关系，其中一个变量的值取决于另一个变量的值。
学生将学习如何表示和理解函数以及如何解决与函数相关的问题。
3.2 二次函数和指数函数沪科九年级的学生将继续学习二次函数和指数函数。
他们将学习如何通过图像和方程来表示和分析这些函数，以及如何应用它们解决实际问题。
3.3 复合函数和反函数复合函数和反函数是函数中的两个重要概念。
沪科版九年级上册知识点
沪科版九年级上册知识点一、数与式1. 数的认识数是用于计数和量度的基本概念。
数包括自然数、整数、有理数和实数等。
2. 数的运算数的运算包括加法、减法、乘法和除法四则运算。
四则运算可以通过运算律和法则进行简化。
3. 数的性质数的性质主要包括奇偶性、整除性、质数与合数等。
可以通过这些性质来分析和判断数的特点。
4. 代数式与多项式代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式。
多项式是由代数式相加或相乘得到的表达式。
二、方程与不等式1. 一元一次方程一元一次方程是只含有一个未知数，且次数最高是一次的方程式。
解一元一次方程可以通过移项和化简等方法。
2. 一元一次不等式一元一次不等式是只含有一个未知数，且次数最高是一次的不等式。
求解一元一次不等式要注意不等号的方向和运算规则等。
3. 一次函数与方程一次函数是指关于未知数的一元一次方程。
通过一次函数的图象可以分析其增减性、零点和斜率等特点。
4. 一元二次方程一元二次方程是含有一个未知数，且最高次数为二次的方程。
求解一元二次方程可以通过配方法、求根公式和完全平方公式等。
三、平面图形与尺规作图1. 平面图形的认识平面图形包括点、线、面等基本图形。
可以通过边数、角度等特点来分类和认识平面图形。
2. 三角形的性质与分类三角形是由三条边和三个内角组成的图形。
可以根据边长和角度特点来分类和判断三角形的性质。
3. 平行四边形与矩形平行四边形是具有两组对边平行的四边形。
矩形是一种特殊的平行四边形，具有等边和直角的特点。
4. 尺规作图尺规作图是指使用直尺和圆规进行图形构造。
可以通过给定条件来绘制指定的图形。
四、数据与统计1. 统计与统计图统计是通过调查和分析数据来得出结论和规律。
统计图可以直观地表示和比较数据的分布和趋势。
2. 中心倾向与离散程度中心倾向是指数据的集中趋势，可以通过平均数、中位数和众数等来表示。
离散程度是指数据的分散程度，可以通过极差和方差等来衡量。
3. 概率与事件概率是指事件发生的可能性，可以通过实验、频率和几何概率等方法计算和分析。
九年级沪科版数学知识点
九年级沪科版数学知识点九年级是初中最后一个学年，也是学生数学学习的最后一段旅程。
在这段旅程中，九年级的学生将接触到更加深入和复杂的数学知识点。
通过探索和理解这些知识点，学生将能够进一步提高他们的数学能力和解决问题的能力。
下面将介绍一些九年级沪科版数学的重要知识点。
一、代数与函数代数与函数是九年级数学的核心内容之一。
在学习代数与函数的过程中，学生将学习如何通过符号表示数学问题，并进一步解决这些问题。
九年级学生将学习到一元一次方程、一元二次方程以及简单的函数的概念与运算。
同时，还会学习到如何通过解方程和求函数的解法来解决实际问题。
二、几何在九年级的几何学习中，学生将学习到更加复杂的几何知识。
他们将继续学习射影、相似形以及平行线与截线等知识点。
九年级的学生还将学习到三角形、四边形的性质，以及圆的相关知识。
在几何学习中，学生需要通过观察和推理来理解和证明几何问题。
三、概率与统计概率与统计是九年级数学中的另一个重要内容。
学习概率与统计可以使学生更好地理解和分析现实中的数据和随机事件。
在这个学习单元中，学生将学习到事件的概率、频率和统计图表的构建等内容。
他们将学习如何通过数据分析和图表解读来得出结论和做出预测。
四、立体几何在九年级的立体几何学习中，学生将学习到更加复杂的空间几何知识。
他们将学习到立体图形的投影、三视图，以及利用平行立方体和平行四面体来解决实际问题。
立体几何的学习将帮助学生培养空间想象力和推理能力。
五、数学应用题数学应用题是九年级数学学习的最后一个部分。
学习应用题是将九年级学到的各个知识点应用到实际问题中并解决问题的过程。
通过解决应用题，学生将能够将抽象的数学知识与实际问题相结合，加深对数学知识的理解。
总结起来，九年级的数学学习内容涉及代数与函数、几何、概率统计、立体几何和数学应用题。
通过深入学习和掌握这些知识点，九年级学生将能够进一步提高数学思维能力和解决问题的能力。
同时，他们还将为高中数学学习打下坚实的基础。
数学九年级知识点总结沪科版
数学九年级知识点总结沪科版数学九年级知识点总结（沪科版）数学作为一门理科学科，对于学生的学习能力和思维能力有着重要的促进作用。
九年级是中学阶段的关键年级，掌握好九年级数学知识点对于学生的学业发展至关重要。
本文将对数学九年级的知识点进行总结，帮助学生们更好地备考和应用数学。
一、代数与函数在九年级数学学科的代数与函数部分中，学生将深入学习方程与不等式、一次函数与方程、二次函数与方程、数列与等差数列等知识点。
1. 方程与不等式方程与不等式是九年级代数与函数的基础。
学生需要学会解一元一次方程和一元一次不等式，并能够应用到实际问题中。
另外，还需要掌握解含有绝对值的方程以及二次不等式的方法。
2. 一次函数与方程一次函数是数学中重要的概念之一。
学生需要学习一次函数的表示、性质和应用。
同时，还需要学会解一元一次线性方程以及应用到实际问题中。
3. 二次函数与方程二次函数是九年级数学中的重点内容。
学生需要学习二次函数的图像、性质以及二次函数的应用。
此外，还需要学会解一元二次方程，并能够应用到实际问题中。
4. 数列与等差数列数列是九年级数学中的一个重要概念，学生需要学习数列的概念、性质以及数列的应用。
其中，等差数列是数列中的一种特殊形式，需要学会求等差数列的通项公式、前n项和以及利用等差数列解决实际问题。
二、图形与空间在图形与空间部分，九年级数学学科主要涉及图形的性质、相似与全等、空间与立体图形等内容。
1. 图形的性质学生需要学习几何图形的名称、性质、判定方法等，包括平行四边形、正方形、直角三角形、等腰三角形等图形。
2. 相似与全等学生需要学习相似与全等的概念，以及判定相似与全等的条件和方法。
同时，还需要学会利用相似与全等解决实际问题。
3. 空间与立体图形学生需要学习空间图形的名称、性质以及判定方法，包括长方体、正方体、棱柱、棱锥等。
另外，还需要学会计算空间图形的表面积和体积，并能够应用到实际问题中。
三、数据分析和统计数据分析和统计是九年级数学中的重要内容，它涉及到数据的整理、统计和分析方法等。
数学九年级知识点沪科版
数学九年级知识点沪科版数学是一门精密而又重要的学科，对于学习者来说，掌握数学的知识点是非常重要的。
本文将介绍数学九年级的知识点，以沪科版教材为基准。
以下是九年级数学的重点内容。
1. 实数与整式1.1 实数的概念：自然数、整数、有理数、无理数的定义及性质。
1.2 整式的概念及运算：整式的定义、加减乘除运算法则。
1.3 因式与整式：最大公因式、最小公倍数的计算与应用。
1.4 整式的乘法公式：平方差公式、完全平方公式等。
2. 一次函数与一次不等式2.1 一次函数及其表示：函数的概念、函数的图象及性质、函数关系式的建立等。
2.2 一次函数的应用：函数的解析式在实际问题中的应用。
2.3 一次不等式及其解集：一次不等式的表示、不等式的解集的含义和表示法。
3. 平面图形的认识3.1 平面图形的分类：三角形、四边形、多边形的定义及性质。
3.2 三角形的分类及性质：等腰三角形、等边三角形、直角三角形的特点等。
3.3 四边形的分类及性质：矩形、正方形、菱形的定义及性质。
3.4 多边形的特征：凸多边形与凹多边形的特性。
4. 不等式与线性规划4.1 不等式与不等关系：不等式的定义、不等式的性质及表示法。
4.2 不等式的求解：一元一次不等式、含绝对值的一元一次不等式的求解等。
4.3 线性规划：线性规划的基本概念、解的存在性及最优解的判定。
5. 相似与全等5.1 图形的相似：相似三角形的判定及相似比例的计算。
5.2 图形的全等：全等三角形的判定及全等证明。
5.3 相似性质的应用：相似性质在求解实际问题中的应用。
6. 二次函数与二次方程6.1 二次函数：二次函数的定义、图象及性质。
6.2 二次方程：二次方程的定义、根的概念及求解方法。
6.3 二次函数与二次方程的关系：通过二次函数求解二次方程的应用。
7. 统计与概率7.1 参数统计与统计推断：统计的基本概念、参数的估计与推断。
7.2 概率：概率的定义、概率的计算、事件的独立性及复合事件的计算。
九年级数学复习知识点总结沪科版
九年级数学复习知识点总结沪科版
一元二次方程
- 一元二次方程的定义
- 一元二次方程的解法
- 一元二次方程的应用（例如抛物线的性质）
几何变换
- 平移、旋转和翻转的概念及性质
- 平移、旋转和翻转的图像变化规律
- 平移、旋转和翻转的实际应用
平面图形的性质与计算
- 三角形的性质与计算
- 四边形的性质与计算
- 圆的性质与计算
数据的分布与研究
- 统计图表的制作与分析
- 平均数、中位数和众数的计算与应用
- 数据搜集与调查的方法与步骤
概率与统计
- 概率的基本概念与计算
- 事件的相互关系与概率计算
- 统计分析与推论
几何证明
- 几何证明的基本方法与步骤
- 直角三角形、等腰三角形、相似三角形的证明- 平行线与角的证明
导数与函数
- 导数的概念与计算
- 函数的定义与性质
- 函数导数的计算与应用
三角函数
- 三角函数的基本概念与计算
- 三角函数的图像与性质
- 三角函数的应用（例如解三角形、计算高度等）
立体几何
- 三棱柱、四棱锥、棱台的性质与计算
- 球的性质与计算
- 空间几何图形的投影与截面
以上是九年级数学复习知识点的总结，包括了一元二次方程、几何变换、平面图形的性质与计算、数据的分布与研究、概率与统计、几何证明、导数与函数、三角函数、立体几何等内容。
希望对你的复习有所帮助！。
(完整word)沪科版初三数学知识点总结,推荐文档
初三数学知识点总结一、二次函数概念：21•二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c（ a ,b ,c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数y ax2 bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式21. 二次函数基本形式：y ax的性质:22. y ax c的性质:23. y a x h的性质:左加右减。
24. y a x h k 的性质:a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k .a 0向下 h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k .三、二次函数图象的平移1.平移步骤：2方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ，确定其顶点坐标 h , k ；⑵保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下: 2.平移规律 在原有函数的基础上 ’h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：2 2⑴y ax bx c 沿y 轴平移：向上(下)平移 m 个单位，y ax bx c 变成2 2yax bx c m (或 y ax bx cm ) ⑵yax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变成y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c )四、二次函数y a x h? k 与y ax 2 bx c 的比较ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前y=ax 2y=a(x h)2向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位*y=a (x h)2+k从解析式上看, 向上(k>0) 【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(*0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位向上(k>0)【或向下4ac b 2 4a，其中hb 4ac b 2 £五、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c化为顶点式y a(x h)2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x i, 0，X2, 0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y ax2 bx c的性质七、二次函数解析式的表示方法1 .一般式：y ax2bx c （a , b , c 为常数，a 0）；2 .顶点式：y a（x h）2 k （a , h , k 为常数，a 0 ）；3 .两根式：y a（x xj(x X2) ( a 0 , X i, X2是抛物线与x轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化•八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax bx c中，a作为二次项系数，显然a 0 •⑴ 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵ 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.⑴在a0的前提下，当b 0时，—02a，即抛物线的对称轴在y轴左侧;当b 0时，—0 ,2a即抛物线的对称轴就是y轴；1•当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为xw，顶点坐标为b4ac b2 2a，4a当x —时，y随x的增大而减小；当x 2a2值4ac b.4a—时，y随x的增大而增大；当x —时，y有最小2a 2a2•当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x—,顶点坐标为2a b 4ac b22a 4a 当x —时，y随2ax的增大而增大；当x —时，y随x的增大而减小；当x2a 2a时, y有最大值24ac b4a2总之，只要a, b , c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式2h k 关于原点对称后，得到的解析式是 第4页共3. 关于原点对称 y ax 2 bx c 关于原点对称后，得到的解析式是 ax 2 bx 当b0时， b20 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧.⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时， b 2a, 即抛物线的对称轴在y 轴右侧;当b0时， b 2a, 即抛物线的对称轴就是 y 轴； 当b0时，b 20,即抛物线对称轴在y 轴的左侧.ab 的符号的判定：对称轴b 决定了抛物线对称轴的位置.K——在y 轴左边则ab 0,2a在y 轴的右侧则ab 0,概括的说就是“左同右异” 总结： 3.常数项c⑴当c ⑵当c ⑶当c 总结起来，抛物线与 抛物线与 抛物线与 y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与 0时，0时，0时，c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.y 轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0 ； y 轴交点的纵坐标为负.1. 2. 3. 4.九、二次函数图象的对称 1. 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于x 轴对称2y ax bx 2axbx 2. y a x h 关于y 轴对称y ax 2 bx c 关于y 轴对称后，得到的解析式是ax 2bx c ；y25页总结起来，在a 确定的前提下,2y ax 2 bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ax 2 bx c —;2a2 2y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y a x h k .5. 关于点m, n 对称2y a x h k 关于点 m, n 对称后，得到的解析式是 y根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y ax 2 bx c 当函数值y 0时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数： ①当 b 2 4ac 0时，图象与x 轴交于两点, 0 , B x ?, 0 （论x ?），其中的人,x 是一元二次方程ax 2 bx c 0 a 0的两根•这两点间的距离 AB 他 为b 4ac② 当 0时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0时，图象与x 轴没有交点.1'当a 0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有 y 0 ； 2'当a 0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有 y 0 .22. 抛物线y ax bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为 （0 , c ）；3.二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y ax 2 bx c 中a , b , c 的符号，或由二次函数中 a , b , c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一a x h 2m 2n k个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c（a 0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：20抛物线与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一兀二次方程有两个不相等实根0抛物线与X轴只有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根0抛物线与X轴无交占八、、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根•二次函数图像参考:十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少y=2x2二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以x 为自变量的二次函数 y (m 2)x 2 m 2m 2的图像经过原点，则m 的值是反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查 试题类型为选择题，如：3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选 拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为x，求这条抛物线的解析式。
九年级数学沪科版复习知识点
九年级数学沪科版复习知识点九年级数学是学生们学习数学的最后一年，也是对之前所学知识的一次综合梳理和巩固。
本文将回顾九年级数学沪科版的重要知识点，帮助学生们更好地复习。
一、代数与函数1.代数式与方程式代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，表达数学关系。
方程式则是含有未知数的等式，表示等式两边的值相等。
学生们需要熟练掌握代数式化简和方程的解法。
2.一次函数与二次函数一次函数的标准式为y = kx + b，k为斜率，b为截距。
二次函数的标准式为y = ax²+ bx + c，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
学生们需要了解函数图像的特点并能进行图形分析。
3.幂指对数与指数函数幂指函数是y = a^x，a为大于0且不等于1的实数。
指数函数是y = a^x，a为正数且不等于1。
学生们需要学会求幂指函数的值以及指数函数的性质。
4.根式与分式根式是方程x² = a的解，可以是正数、负数或零。
分式则是含有分数形式的代数式，包括有理数与无理数的运算。
学生们需要学会化简分式和求根式的值。
二、几何与空间1.三角形与四边形学生们需要了解平面上的各种三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三角形等）和四边形（矩形、正方形、菱形等）的性质和计算方法。
2.相似与全等相似和全等是几何中常见的两个概念。
相似是指两个图形的形状和比例相同，但大小不同；全等是指两个图形的形状和大小完全相同。
学生们需要学会判断和证明相似和全等关系。
3.立体几何与三视图立体几何包括棱柱、棱锥、球等等。
学生们需要了解立体几何的表面积和体积计算方法，并能绘制物体的三视图。
三、数据与概率1.数据的收集与整理学生们需要了解如何进行数据的收集、整理和呈现，包括样本调查、频数表、条形图、折线图等。
2.统计指标与概率计算统计指标包括平均数、中位数、众数等，学生们需要学会计算和分析统计数据。
概率计算则涉及到事件发生的可能性，学生们需要掌握概率的基本概念和计算方法。
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初三数学知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。