流体力学习题及答案-第四章

第四章 流体动力学基本定理及其应用

4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？ 答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为：

()p f v v t v ∇-=∇⋅+∂∂ρ

1ρρρρ

其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。

（2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流

线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：

C gz p

=++ρ

2V 2，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。

4-2 设进入汽化器的空气体积流量为s m /15.0Q 3

=，进气管最狭窄断面直径D=40mm ，喷

油嘴直径d=10mm 。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径d=6mm ，汽油液面距喷油嘴高度为50cm ，试计算喷油量。汽油的重度3

/7355m N =γ。 答：（1）求A 点处空气的速度：

设进气管最狭窄处的空气速度为1v ，压力为1p ，则根据流管的连续方程可以得到：

()

Q v d D =-1224

1

π， 因此：()

2

214d D Q

v -=

π。

（2）求真空度v p

选一条流线，流线上一点在无穷远处F ，一点为A 点；并且： 在F 点：0F p p =，0F =v ； 在A 点：?1A ==p p ，1A v v =。 将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：

g

v p p 202

11

+=+γγ

因此真空度为：

()()222222221101

842121d D Q d D Q v p p p v -⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-==-=πρπρρ 若取空气的密度为3

/226.1m kg =ρ，那么计算得到：

()

Pa p v 3

222221095.901.004.0114.315.0226.18⨯=-⨯⨯⨯=。 （3）求喷油量：

设喷油嘴处汽油的速度为2v ，并设空气的密度为1ρ，重度为1γ，汽油的重度为2γ。选一条流线，流线上一点为上述的A 点，另一点为汽油液面上的B 点；并且：

在A 点：2

101A 2

1v p p p ρ-

==，?2A ==v v ，m cm h z 5.050A ===； 在B 点：0B p p =，0B =v ，0B =z ； 代入到伯努利方程中，可以得到：

002211202

2

2102++=++

⎪⎭⎫ ⎝⎛-γργp h g

v v p ； 整理得到：

gh v v 22

12

122-=

γγ； 因此汽油喷出速度为：

gh v v 22

12

12-=

γγ； 其中空气重度3

11/1281.9226.1m N g =⨯==ργ；()

2

214d

D Q

v -=π，并注意到喷油嘴的直径是6mm ，而不是原来的10mm ，则计算得到：

()

s

m v /817.381.9366.245.081.92006

.004.014.315.016735581.9226.12222

2=-=⨯⨯--⨯⨯⨯⨯= 因此汽油流量为：

s cm s m v d Q /9.107/10079.1817.3006.014.34

1

413342222=⨯=⨯⨯⨯=⋅=-π。

4-3 如图所示，水流流入U 形弯管的体积流量Q=0.01m 3/s ，弯管截面由1S =50cm 2减小到

2S =10cm 2，流速1v 和2v 均匀，若2S 截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的作

用力及作用点的位置。3

/kg 1000m =ρ。 答：（1）求截面1S 和2S 上的流速1v 和2v ：

由连续方程可知：

s m m s m /21050/01.0S Q v 2

4311=⨯==-， s m m s m /101010/01.0S Q v 2

4322=⨯==-；

（2）求1S 上的压力1p ：

已知2S 上的压力=2p 1个工程大气压Pa 5

100.981⨯=； 由伯努利方程：

g

v p g v 22p 2

22211

+=+γγ 得到：

()

()Pa v v p 552

2212110461.1410010002

110981.021p ⨯=-⨯⨯+⨯=-+=ρ。

（3）求水流对弯管的作用力P ：

由动量定理可以得到：

22

212121P -P -P S v S v ρρ+=。

其中1P 和2P 分别为在1S 和2S 上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管，大气压力对其的作用力合力为0。因此：

1S 截面上作用力为：

()()

N S p p 240105010981.010164.1P 4551011=⨯⨯⨯-⨯=-=-，

2S 截面上作用力为：

()0P 2022=-=S p p 。