正弦定理和余弦定理习题及答案讲课教案

正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理 测试题

一、选择题：

1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )

A ．－223

B.223 C ．－6

3

D.63

2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2

＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

3．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )

A.1627

B.23

C.3

3

D.3

4

4．△ABC

中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈⎝

⎛⎭⎪⎫

0，π2，则△

ABC 的形状是( )

A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰直角三角形

5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )

A ．1＋ 3

B ．3＋ 3 C.3＋3

3 D ．2＋ 3

6．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2

A －cos 2

A ＝1

2

，则( )

A ．b ＋c ＝2a

B ．b ＋c <2ª

C ．b ＋c ≤2a

D ．b ＋c ≥2a

7、若ABC ∆的内角A 满足2sin 23

A =，则sin cos A A +=

B ．．53 D ．53

-

8、如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则

A ．111A

B

C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形

C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形

D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形

9、ABC V 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量

(,)p a c b =+u r ,(,)q b a c a =--r ,若//p q u r r

,则角C 的大小为

(A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23

π

10、已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）

Ｄ．

7

11、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =

A ．14

B ．34 C

D ．3

12、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、

c ,A =3

π,a =

3,b =1，则c =

(A) 1 （B ）2 （C ）3—1

（D ）3 二、填空题：

13、在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________.

14、在∆ABC 中，已知4

3

3=a ，b ＝4，A ＝30°，则sinB ＝ .

15、在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝

16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝

4，则边BC上的中线AD的长为．

三、解答题：

17。、已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝a 1

tan A

＋

b 1

tan B

，求内角C.

18、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A ＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C ＝1，试判断△ABC的形状．

19、如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝

10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．

20、已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边

AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1

sin 6

C ，求角C 的度数．

21、△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.4

3cos =B

（Ⅰ）求cot A +cot C 的值； （Ⅱ）设3

2

BA BC ⋅=u u u r u u u r ，求a ＋c 的值.

22、 某海轮以30海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东︒60，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东

︒30，海轮改为北偏东︒60的航向再行驶80分钟到达C 点，求P 、C

间的距离．

答案

1.解析：依题意得0°

sin B

得sin B ＝

b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2

B ＝63

，选D. 2.解析：由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝

b 2＋

c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝3

2

，于是A ＝30°，故选A. 3.解析：设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝2

3

，由余弦定理得CE ＝

CF ＝

AE 2

＋AC 2

－2AC ·AE cos45°＝5

3

，所以cos ∠ECF ＝

CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝4

5

，

所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF ＝

1－⎝ ⎛⎭

⎪

⎫452

45

＝3

4

. 答案：D

4.解析：∵lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，∴lg a c ＝lgsin B ＝lg 2

2

.∴