母函数与自然数幂级数求和

∞ ∞
������ ������������ ������ ������ ������������ (������) ������ ������(������������) = (∑ ������ ������ ) (∑ ������ ������ ) = ∑ ������ ������(������) − 1 ������! ������! ������!
母函数与自然数幂级数 本文旨在回答一位同学的问题，求数列 an=nk 前 n 项和。 母函数 母函数的思想就是将数列与幂级数的系数对应起来， 数的加法对应于幂指数的加法， 最后通 过幂级数的系数导出数列的性质。对于某个序列 an，其母函数为 ������(������) = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ⋯ ������������ ������ ������ + ⋯ ⋯ 应用举例[1]： 求证：
0 ������ 1 ������−1 ������ ������−������ ������ 0 ������ C������ ������������ + C������ ������������ + ⋯ + ������������ ������������ + ⋯ + ������������ ������������ = ������������+������ ������ ������ 根据定义，������������ = ������������ 的母函数为(1 + ������)������ ; ������������ = ������������ 的母函数为(1 + ������)������ 两项相乘 0 1 ������ ������ )(������ 0 1 ������ ������ ������+������ (1 + ������)������ (1 + ������)������ = (������������ + ������������ ������ + ⋯ +������������ ������ ������ + ������������ ������ + ⋯ +������������ ������ ) = (1 + ������)
0 0 0 ∞ ∞ ∞
根据（*）式，考虑到������0 = 0, ������������ = 1(������ > 0)
������−1 ������ ������������ = ∑ ������������ ������������ ������=0
比较系数，得 ������0 = 1; ������������ = 0, ������ > 1
������−1 ������ ∑ ������������ ������������ = 0, ������ > 1 ������=0 ������ ������ ∑ ������������ ������������ = ������������ ������=0
这样就得到了 Bn 的递推公式，由 B0=1，数列所有项都可以求出，不难计算 ������2������+1 = 0(n > 1) 其他几项为： 1 1 1 1 1 5 691 7 B1 = − , B2 = , ������4 = − , ������6 = , ������8 = − , ������10 = , ������12 = − , ������14 = 2 6 30 42 30 66 2730 6 ������ ������ ������������ + = 1 + ∑ ������ ������ ������(������) − 1 2 ������!
������=0 ∞
������ ������������ (������ + 1) ������ ������((������ + 1)������) = ∑ ������ ������(������) − 1 ������!
������=0
∞
相减得： ������������ (������ + 1)−������������ (������) ������ ������(������((������ + 1)������) − ������(������������)) ������ ������ ∑ ������ = = ������������(������������) = ������ ∑ ������ ������ ������! ������(������) − 1 ������!
������+1 ������ ������������+1 (������ + 1) = ∑ ������������+1 ������������+1−������ (n + 1)������ ������=0
������������+1 (������ + 1)−������������+1 (1) ������ + 1
������=0 ∞ ∞
������=0
对比系数得： ������������+1 (������ + 1)−������������+1 (������) ������ ������ = (������ + 1)! ������! ������������+1 (������ + 1)−������������+1 (������) = (������ + 1)������ ������ t 取 1 至 n，角标换成 k 得， Sk = 1k + 2k + ⋯ + ������������ = t=0 ������������+1 (1)−������������+1 (0) = 0 ⟹ ������������+1 (1) = ������������+1 (0) = ������������+1
������=0 ������=1 ������+1 ������+1
例如，取 k=2, 1 ������(������ + 1)(2������ + 1) S2 = [3������2 (������ + 1) + 3������1 (������ + 1)2 + ������0 (������ + 1)3 ] = 3 6
0 ������=0 ������ ������
对于数列 an=1，其母函数为 ������ 2 ������ ������ +⋯+ +⋯ 2! ������! 当级数收敛时，其就等于自然对数底的 x 次方，这也是指数母函数名字的Байду номын сангаас源。 ������(������) = 1 + x + 伯努利数： 考虑指数型母函数为： ������ ������(������) − 1 对应的数列 Bn（此即为伯努利数） ，则 ������ ������������ = ∑ ������ ������ ������(������) − 1 ������!
������=2 ∞
������(������) = 可以证明������(������)为偶函数。
������ ������ + ������(������) − 1 2
∞
������(������������) = ∑
������=0 ∞
������ ������ ������ ������ ������!
������=0 ������=0 ������=0
根据（*）式
������ ������ ������������ (������) = ∑ ������������ ������������−������ ������ ������ ������=0
此多项式称为伯努利多项式，易知������������ (0) = ������������ ������ ������������ (������) ������ ������(������������) = ∑ ������ ������(������) − 1 ������!
0 0 ������ ������
������2 2 ������3 3 ������������ ������ + ������ + ⋯ + ������ ������ + ⋯ 2! 3 ������
有等式： ������������ ������ ������(������)������(������) = ∑ ������ ������ ; ������������ = ∑ ������������ ������������ ������������−������ (∗) ������!
所以， 1 1 ������ ������ ������������ = (∑ ������������+1 ������������+1−������ (������ + 1)������ − ������������+1 ) = ∑ ������������+1 ������������+1−������ (������ + 1)������ ������ + 1 ������ + 1
0 ∞
记������0 = 0, ������������ = 1(������ > 0)，则有 ������������ ������������ ������������ ������ = (∑ ������ ������ )(∑ ������ ������ ) = ∑ ������ ������ ������! ������! ������!
将右边也展开，对应系数即可证明。 若母函数可以整理为某一简单形式，则可尤其得到很多有用的性质。 指数型母函数 对数列 an 称 ������0 + ������1 ������ + 可以证明对于两个数列的母函数： ������������ ������������ ������(x) = ∑ ������ ������ , ������(������) = ∑ ������ ������ ������! ������!