实验3 资源的
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* * * 安排，即 u1 , u2 , L , u5 .
有了以上假设便可由题意得出： 第 k+1 年初完好机器数=（1-生产 A 种产品机器的年折损率）×第 k 年安排生产 A 种产
品的机器数+（1-生产 B 种产品机器的年折损率）×第 k 年安排生产 B 种产品的机器数 由此，我们便得到如下的状态方程：
Vk ( xk ) ，由此形成逆推过程，解法大意如下：
* 第 一 步：据 （2） 式逆向递推求最优策略 {uk , k 5, 4,3, 2,1} 的形式解， 即从 V6 ( x6 ) 0 出 * 发，据（2）式得到 V5 ( x5 ) 为目标的极大问题表达式，再由一元函数微分学则求得 u5 的含 * * x5 的表达式及 V ( x5 ) 的含 x5 的表达式（形式解） ；依次可得 u4 (V ( x4 )), u3 (V ( x3 )), L ， * u1 (V ( x1 )) 等形式解。 * * 第二步：从 x1 1000 出发，据形式解 {uk , k 5, 4,3, 2,1} ，顺序求得 uk 的反馈解，即
xk 1 0.8uk 0.9( xk uk ) 0.9 xk 0.1uk
（1）
又不妨令 L( xk , uk ) 表示第 k 年的纯收入， Vk ( xk ) 表示从第 k 年初往后各年的最大利润 之和，则 Vk ( xk ) 便是本问题的最优性能指标值，即是衡量生产方案优劣的一个标准，特别
实验 3 资源的最优配置策略
一、问题
设某工厂有 1000 台机器，生产两种产品 A、B，若投入 y 台机器生产 A 产品，则纯收入 为 5y，若投入 y 台机器生产 B 种产品，则纯收入为 4y，又知：生产 A 种产品机器的年折损 率为 20%，生产 B 产品机器的年折损率为 10%，问在 5 年内如何安排各年度的生产计划，才 能使总收入最高？
本问Байду номын сангаас的解。
四、试验内容与要求
1.建立求解最优配置策略的数学模型，即定期多阶段决策问题的基本方程，该决策问题 分为 5 个阶段(k=5,4,3,2,1). 令 xk 表示第 k 年初完好机器数，即问题中的状态变量： uk 表示第 k 年安排生产 A 种产 品的机器数，它是对 xk 的一种决策，即问题中的决策变量，则表示第 k 年安排生产 B 种产 品的机器数， 0 uk xk . 所谓最优策略，即是为使得总利润最高，而对 5 年内各年生产 A 种产品的机器数的最佳
* * * 地，使 V1 ( x1 ) 最优的方案（策略）{u1 , u2 , L , u5 } 便是本问题所求出的最佳方案（最优策略）。
对于本问题，因 Vk ( xk ) 表示从第 k 年初往后各年的最大利润之和，且本问题要求 5 年 的最大利润，所以，显然有 V6 ( x6 ) 0 ，根据求解多阶段决策问题的动态规划基本方程，我 们便得到带有终端条件 v6 ( x6 ) 0 的基本方程。
二、试验目的
巩 固“高等数学”课程中关于导数、 极值等知识，帮助学生了解并应用一种最优化模型 ， 即定期多阶段决策模型，以求解资源的最优配置问题。
三、预备知识
本问题可以归结为一个定期多阶段决策模型，它的解题思路可概括为：多段决策，分步 寻求最优，即是把一个复杂的多阶段最优决策问题化为多个单段最优决策问题，具体地讲， 本问题在 5 年的期限内可以分为 5 个阶段来决策， 采取逆向递推的方法， 分段求解极值问题 ， 最后确定整个问题的最优目标（即 5 年的最高总收入） 。 在求解问题时，要涉及到一些基本概念，诸如，状态变量、状态方程、决策变量、最优 策略、最优目标，以及寻求最优策略的基本方程，对于这些概念在本问题中所对应的实际意 义，我们在“试验内容及要求”中加以说明。
{L( xk , uk ) Vk 1 ( xk 1 )} Vk ( xk ) 0max u k xk V6 ( x6 ) 0
（2）
其中 Vk ( xk ) 表示从 xk 的诸状态转移到最终状态 xn 的最优指标； L( xk , uk ) 表示从 xk 的诸状 态转移到 xk 1 的某一状态的指标； Vk 1 ( xk 1 ) 表示从 xk 1 的某一状态转移到 xn 的最优指标。 2.据基本方程求解资源配置的最优策略。据（2）式，若已求得 Vk 1 ( xk 1 ) ，则可求得
有了以上假设便可由题意得出： 第 k+1 年初完好机器数=（1-生产 A 种产品机器的年折损率）×第 k 年安排生产 A 种产
品的机器数+（1-生产 B 种产品机器的年折损率）×第 k 年安排生产 B 种产品的机器数 由此，我们便得到如下的状态方程：
Vk ( xk ) ，由此形成逆推过程，解法大意如下：
* 第 一 步：据 （2） 式逆向递推求最优策略 {uk , k 5, 4,3, 2,1} 的形式解， 即从 V6 ( x6 ) 0 出 * 发，据（2）式得到 V5 ( x5 ) 为目标的极大问题表达式，再由一元函数微分学则求得 u5 的含 * * x5 的表达式及 V ( x5 ) 的含 x5 的表达式（形式解） ；依次可得 u4 (V ( x4 )), u3 (V ( x3 )), L ， * u1 (V ( x1 )) 等形式解。 * * 第二步：从 x1 1000 出发，据形式解 {uk , k 5, 4,3, 2,1} ，顺序求得 uk 的反馈解，即
xk 1 0.8uk 0.9( xk uk ) 0.9 xk 0.1uk
（1）
又不妨令 L( xk , uk ) 表示第 k 年的纯收入， Vk ( xk ) 表示从第 k 年初往后各年的最大利润 之和，则 Vk ( xk ) 便是本问题的最优性能指标值，即是衡量生产方案优劣的一个标准，特别
实验 3 资源的最优配置策略
一、问题
设某工厂有 1000 台机器，生产两种产品 A、B，若投入 y 台机器生产 A 产品，则纯收入 为 5y，若投入 y 台机器生产 B 种产品，则纯收入为 4y，又知：生产 A 种产品机器的年折损 率为 20%，生产 B 产品机器的年折损率为 10%，问在 5 年内如何安排各年度的生产计划，才 能使总收入最高？
本问Байду номын сангаас的解。
四、试验内容与要求
1.建立求解最优配置策略的数学模型，即定期多阶段决策问题的基本方程，该决策问题 分为 5 个阶段(k=5,4,3,2,1). 令 xk 表示第 k 年初完好机器数，即问题中的状态变量： uk 表示第 k 年安排生产 A 种产 品的机器数，它是对 xk 的一种决策，即问题中的决策变量，则表示第 k 年安排生产 B 种产 品的机器数， 0 uk xk . 所谓最优策略，即是为使得总利润最高，而对 5 年内各年生产 A 种产品的机器数的最佳
* * * 地，使 V1 ( x1 ) 最优的方案（策略）{u1 , u2 , L , u5 } 便是本问题所求出的最佳方案（最优策略）。
对于本问题，因 Vk ( xk ) 表示从第 k 年初往后各年的最大利润之和，且本问题要求 5 年 的最大利润，所以，显然有 V6 ( x6 ) 0 ，根据求解多阶段决策问题的动态规划基本方程，我 们便得到带有终端条件 v6 ( x6 ) 0 的基本方程。
二、试验目的
巩 固“高等数学”课程中关于导数、 极值等知识，帮助学生了解并应用一种最优化模型 ， 即定期多阶段决策模型，以求解资源的最优配置问题。
三、预备知识
本问题可以归结为一个定期多阶段决策模型，它的解题思路可概括为：多段决策，分步 寻求最优，即是把一个复杂的多阶段最优决策问题化为多个单段最优决策问题，具体地讲， 本问题在 5 年的期限内可以分为 5 个阶段来决策， 采取逆向递推的方法， 分段求解极值问题 ， 最后确定整个问题的最优目标（即 5 年的最高总收入） 。 在求解问题时，要涉及到一些基本概念，诸如，状态变量、状态方程、决策变量、最优 策略、最优目标，以及寻求最优策略的基本方程，对于这些概念在本问题中所对应的实际意 义，我们在“试验内容及要求”中加以说明。
{L( xk , uk ) Vk 1 ( xk 1 )} Vk ( xk ) 0max u k xk V6 ( x6 ) 0
（2）
其中 Vk ( xk ) 表示从 xk 的诸状态转移到最终状态 xn 的最优指标； L( xk , uk ) 表示从 xk 的诸状 态转移到 xk 1 的某一状态的指标； Vk 1 ( xk 1 ) 表示从 xk 1 的某一状态转移到 xn 的最优指标。 2.据基本方程求解资源配置的最优策略。据（2）式，若已求得 Vk 1 ( xk 1 ) ，则可求得