Jacobi正交多项式的一些性质
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[5]Guo Benyu.Jacobi spectral approximation and its applications to differential equations on the half line [J]. Journal of Computational Mathematics,18(2000):95~112.
Jacobi 正交多项式的一些性质
赵廷刚
张建宏
（兰州城市学院 数学学院，甘肃兰州 730070）（甘肃省临夏南龙中学，甘肃临夏 731100）
摘 要：Jacobi 正交多项式被广泛地应用于 Jacobi 谱方法的数值分析中，它的性质对于误差分析极其重要.
通过总结 Jacobi 正交多项式的一些性质，给出了它的一些新性质.
α，β
Jn （x）
=Ck，nωα+k，β+（k x）ddxkk
α，β
Jn （x），
0＜k＜n，
其中 Ck，n=（- n-k）（n+k+α+β+1）.
∞
叟 叟 性质 6
Jacobi 正交多项式
α，β
Jn （x）
n=0
的区间
端点函数值为：
α，β
Jn （1）＝
Γ（n＋α+1） ， n！Γ（α+1）
或者
α，β
α，α
多项式；当 α=β 时，Jn （x）也叫做 Ultraspherical 多项
式.
α，β
定义 2 Jacobi 正交多项式 Jn （x）是下面奇异
Sturm-Liouville 问题的特征函数
Σ ‖ d
dx
ωα，（β x）ddx
u（x）
α，β
+λn
ωα，（β x）u（x）=0；
其中特征值为：
α，β
从上面这 9 条性质中还能推出其它一些有用的性
质.从性质 5 可以推出Jacobi谱逼近的收敛阶.
参考文献： [1]Guo Benyu.Spectral methods and Their Applications[M]. World Scientific, Singapore,1998.
Philadelphia,PA,2000. [3]Shen Jie and Tang Tao.Spectral and High-Order Methods
α，β
Jn （x）＝
Γ（n+β+1） Γ（n+α＋β+1）
n
Σk=0 （2k+αΓ（＋βk）＋Γβ（+k1）+α＋β）Jαk-1，β（x），
α，β
Jn （x）＝
Γ（n+β+1） Γ（n+α＋β+1）
n
Σ ·k=0（-1）n-k（2k+αΓ（＋βk）＋Γα（+k1）+α＋β）Jαk，β-1（x）.
性质 8（三项递推关系） Jacobi 正交多项式
λn =n（n+α+β+1），n叟0， α，β＞-1.
α，β
定义 3 Jacobi 正交多项式 Jn （x）可由下面的关
系式生成：
n
ωα，（β x）Jαn，β（x）＝（－2nn1！）
dn dxn
ωn+α，n+（β x），其中
n叟0， α，β＞-1，
或者下面更一般的关系式生成：对 n叟m叟0，α，β＞-1，
ωα，（β x）=（1-x）（α 1＋x）β， α，β＞-1
r
是权函数.赋权的 Sobolev 空间记为 Hωα，（β I）.当 r=0
0
时，Hωα（，β I）=L 2ωα（，β I）是平方可积的函数空间，其上的内 积和范数定义为：
乙 （u，v）ωα，β= u（x）v（x）ωα，（β x）dx， I
Jn （x） n=0
满足下面的递推关系
α，β
α-1，β
α，β-1
（n+α+β）Jn （x）=（n+α）Jn （x）+（n+β）Jn （x），
α，β
α，β－1
α-1，β
Jn－1（x）＝Jn （x）－Jn （x），
α-1，β
α，β
（2n+α+β+1）（1-x）Jn （x）＝2（n+α+1）Jn （x）
α，β
[7]Guo Benyu and Wang Lilian. Jacobi interpolation approximations and their applications to singular differential equations[J]. Advances in Computational Mathematics,14(2000): 227~276.
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2
这里的正交化是在内积空间 Lωα，（β I）中进行的.我们
α，β
称 Jn （x）为 n 次 Jacobi 多项式.
顺便指出，当
α=β=-
1 2
-1/2，-1/2
时，Jn （x） 是第一类
Chebyshev
多项式；当
α=β=
1 2
1/2，1/2
时，Jn （x）是第二类
0,0
Chebyshev 多项式；当 α=β=0 时，Jn （x）是 Legendre
或者满足下面更一般的关系式：对 n叟m叟0，α，β＞-1
有
ωα，（β x）Jαn，β（x）＝（－2nn1！）m
dm dxm
m+α，m+β
ωm+α，m+（β x）Jn-m （x），
α，β
第一个零次 Jacobi 多项式定义为 J0 （x）=1.
∞
叟 叟 性质 4 （递推关系）Jacobi 正交多项式
α，β
u（x）
α，β
+λn
ωα，β（x）u（x）=0；
α，β
其中特征值为 λn =n（n+α+β+1）， n叟0， α，β＞-1.
α，β
性质 3 Jacobi 正交多项式 Jn （x）满足下面
的微分关系式：对 n叟0，α，β＞-1 有
ωα，（β x）Jαn，β（x）＝（－2nn1！）n
dn dxn
ωn+α，n+（β x），
初始条件为：
Baidu Nhomakorabea
α，β
α，β
J0 （x）＝1，J1 （x）＝
1 2
（（α+β+2）x+（α-β））.
α，β
性质 9 Jacobi 正交多项式 Jn （x）满足
a（n 1-x2）ddx
α，β
α，β
α，β
Jn （x）=b（n x）Jn （x）＋cnJn-1（x），
其中 an=（2n+α-β），bn （x）＝n [α－β－（2n+α＋β）x]，cn=2 （n+α）（n+β）.
[8]G. Szeg觟,Orthogonal Polynomials，AMS, Providence，RI， 1959.
[9]J. Bergh and J. L觟fstr觟m.Interpolation Space: An Introduction [M].Springer-Verlag，2003.
Jnγ（αn，β1）=（22nα++β+α1Γ+（βn++1）β+Γ（1）nΓ+（αα++β1+）1） 并且 Jαn，β（-x）=（-1）nJβn，α（x），于是就有
Jαn，β（-x）=（-1）n nΓ（！nΓ（+ββ++11））.
α，β
性质 7 n 次 Jacobi 正交多项式 Jn （x）可以表 示成低阶 Jacobi 多项式的和：
ωα，（β x）Jαn，β（x）＝（－1）2n（mn！n-m）！
收稿日期：2009－06－11 作者简介：赵廷刚（1970—），男，甘肃庆阳人，副教授，博士.研究方向：偏微分方程数值方法.
1
dxm m+α，m+β
n-m
α，β
第一个零次 Jacobi 多项式定义为 J0 （x）＝1.
可以证明，关于 Jacobi 正交多项式的上面三个
关键词：Jacobi 多项式；谱方法；正交多项式
中图分类号：O175.26
文献标识码：A
文章编号：1008－9020（2009）05-001－03
1. 引言 近来，因为谱方法具有很高的数值精度，所以它 被广泛的用于偏微分方程的数值求解中[1-3].谱方法 中常用的正交多项式是 Chebyshev 多项式和 Legendre 多项式，它们都是 Jacobi 正交多项式的特殊情 形.因此，研究 Jacobi 正交多项式的性质对于谱方法 的数值分析极其重要.Jacobi 正交多项式的性质大多 散见于各种文献[1，4-8]. 本文收集了 Jacobi 正交多项式 的一些性质，并给出了一些新的性质. 设 I＝[-1，1]是实直线上的标准区间，定义在 I 上 的正函数
定义是相互等价的[7].
3. Jacobi正交多项式的性质
Jacobi 正交多项式的前三个性质可以直接从
上一节的三个定义中推出.
α，β
∞
性质 1（正交性）Jacobi 正交多项式{Jn （x）}n=0
2
构成了一组 Lωα，（β I）- 正交系，即
α，β α，β
α，β
（Jn
，Jm
） =γ ωα，β
n
δnm ，
姨 ‖u‖ωα，β= （u，u）ωα，β
当 r＞0 为整数时，
燮 燮 H
（I）= r
ωα，β
u∈L 2ωα（，β I）：ddkxuk
∈L 2ωα（，β I），0燮k燮r
它的内积、范数和半范数分别为：
Σ Σ Σ r
（u，v）r，ωα，β=
dku ，dkv dxk dxk
，
ωα，β
k=0
姨 ‖ ‖ ‖ ‖ = u r，ωα，β 姨（u，u）r，ωα，β ，｜u｜r，ωα，β＝
with Applications.Bejing:Science press,2006. [4]R. Askey.Orthogonal Polynomials and Special functions,
Regional Conference Seris in Applied Mathematics,21,SIAM, Philadelphia,1975.
-2（n+1）Jn+1（x），
α，β+1
α，β
（2n+α+β+1）（1＋x）Jn （x）＝2（n+β+1）Jn （x）
α，β
+2（n+1）Jn+1（x），
α，β
α，β
α+1，β
Jαn，β（x）- Jαn＋，β1（x）=C（n 1-x）Jαn+1，β（x），
Jn （1） Jn＋1（1）
Jn （1）
α，β
dku ，dkv dxk dxk
. ωα，β
当 r＞0 为实数时，我们通过内插空间[9]来定义
Hrωα（，β I）.
2. Jacobi 正交多项式的定义
本节我们给出 Jacobi 正交多项式的三种不同
的定义.
∞
燮 燮 定义 1
Jacobi正交多项式
α，β
Jn （x）
n=0
可以通
过正交化代数多项式基底{1，x，x2，…，xn，…}得到，
[6]Guo Benyu. Jacobi approximations in certain Hilbert spaces and their applications to singular differential equations[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications，243（2000）： 373~408.
2
! " Jn
（x）
满足下面的递推关系
n=0
Jαn，β（x）＝（2n+α＋β-12）n（（{ n2+nα+＋αβ＋）（β）（2n2+nα+＋αβ＋-β2－）2）x+α2-β2}
×Jαn-，1β（x）-（2n2+n（αn-+1）α（＋nβ）+（β2-n1）+（α2＋nβ+-α2）＋β）Jαn-，2β（x），n＞1，
其中 δnm 是 Kronecker δ 函数，
α+β+1
α，β
γn
=（2n+2α+βΓ+（1）nΓ+（αn++1）1）Γ（Γ（nn++βα++1）β+1），
Γ（x）表示 Gamma 函数.
α，β
性质 2（微分方程）Jacobi 正交多项式 Jn （x）是
满足下面的微分方程：
d dx
ωα，β（x）ddx
Some Properties of Jacobi Orthogonal Polynomials
d dx
Jαn，β（x）＝（n+α2+β+1）Jαn-＋11，β+1（x），
于是可以递推地得到关系
dk dxk
α，β
Jn （x）=
Γ2（kΓn（+nk++αα++ββ++11））Jαn-+kk，β+k（x），0燮k燮n.
再从性质 2 可以推得
d dx
ωα+k+1，β+k+（1 x）ddx
dk dxk
α，β
α，β+1
Jn （x）
α，β
－
Jn＋1（x）
α，β
=C（n′ 1+x）
Jn （x）
α，β+1
，
Jn （－1） Jn＋1（－1）
Jn （-1）
其中
Cn=
2n+α+β+2 2α+2
，Cn′=
2n+α+β+2 2β+2
.
∞
叟 叟 性质 5
Jacobi 正交多项式
α，β
Jn （x）
n=0
满足下
面的关系
Jacobi 正交多项式的一些性质
赵廷刚
张建宏
（兰州城市学院 数学学院，甘肃兰州 730070）（甘肃省临夏南龙中学，甘肃临夏 731100）
摘 要：Jacobi 正交多项式被广泛地应用于 Jacobi 谱方法的数值分析中，它的性质对于误差分析极其重要.
通过总结 Jacobi 正交多项式的一些性质，给出了它的一些新性质.
α，β
Jn （x）
=Ck，nωα+k，β+（k x）ddxkk
α，β
Jn （x），
0＜k＜n，
其中 Ck，n=（- n-k）（n+k+α+β+1）.
∞
叟 叟 性质 6
Jacobi 正交多项式
α，β
Jn （x）
n=0
的区间
端点函数值为：
α，β
Jn （1）＝
Γ（n＋α+1） ， n！Γ（α+1）
或者
α，β
α，α
多项式；当 α=β 时，Jn （x）也叫做 Ultraspherical 多项
式.
α，β
定义 2 Jacobi 正交多项式 Jn （x）是下面奇异
Sturm-Liouville 问题的特征函数
Σ ‖ d
dx
ωα，（β x）ddx
u（x）
α，β
+λn
ωα，（β x）u（x）=0；
其中特征值为：
α，β
从上面这 9 条性质中还能推出其它一些有用的性
质.从性质 5 可以推出Jacobi谱逼近的收敛阶.
参考文献： [1]Guo Benyu.Spectral methods and Their Applications[M]. World Scientific, Singapore,1998.
Philadelphia,PA,2000. [3]Shen Jie and Tang Tao.Spectral and High-Order Methods
α，β
Jn （x）＝
Γ（n+β+1） Γ（n+α＋β+1）
n
Σk=0 （2k+αΓ（＋βk）＋Γβ（+k1）+α＋β）Jαk-1，β（x），
α，β
Jn （x）＝
Γ（n+β+1） Γ（n+α＋β+1）
n
Σ ·k=0（-1）n-k（2k+αΓ（＋βk）＋Γα（+k1）+α＋β）Jαk，β-1（x）.
性质 8（三项递推关系） Jacobi 正交多项式
λn =n（n+α+β+1），n叟0， α，β＞-1.
α，β
定义 3 Jacobi 正交多项式 Jn （x）可由下面的关
系式生成：
n
ωα，（β x）Jαn，β（x）＝（－2nn1！）
dn dxn
ωn+α，n+（β x），其中
n叟0， α，β＞-1，
或者下面更一般的关系式生成：对 n叟m叟0，α，β＞-1，
ωα，（β x）=（1-x）（α 1＋x）β， α，β＞-1
r
是权函数.赋权的 Sobolev 空间记为 Hωα，（β I）.当 r=0
0
时，Hωα（，β I）=L 2ωα（，β I）是平方可积的函数空间，其上的内 积和范数定义为：
乙 （u，v）ωα，β= u（x）v（x）ωα，（β x）dx， I
Jn （x） n=0
满足下面的递推关系
α，β
α-1，β
α，β-1
（n+α+β）Jn （x）=（n+α）Jn （x）+（n+β）Jn （x），
α，β
α，β－1
α-1，β
Jn－1（x）＝Jn （x）－Jn （x），
α-1，β
α，β
（2n+α+β+1）（1-x）Jn （x）＝2（n+α+1）Jn （x）
α，β
[7]Guo Benyu and Wang Lilian. Jacobi interpolation approximations and their applications to singular differential equations[J]. Advances in Computational Mathematics,14(2000): 227~276.
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2
这里的正交化是在内积空间 Lωα，（β I）中进行的.我们
α，β
称 Jn （x）为 n 次 Jacobi 多项式.
顺便指出，当
α=β=-
1 2
-1/2，-1/2
时，Jn （x） 是第一类
Chebyshev
多项式；当
α=β=
1 2
1/2，1/2
时，Jn （x）是第二类
0,0
Chebyshev 多项式；当 α=β=0 时，Jn （x）是 Legendre
或者满足下面更一般的关系式：对 n叟m叟0，α，β＞-1
有
ωα，（β x）Jαn，β（x）＝（－2nn1！）m
dm dxm
m+α，m+β
ωm+α，m+（β x）Jn-m （x），
α，β
第一个零次 Jacobi 多项式定义为 J0 （x）=1.
∞
叟 叟 性质 4 （递推关系）Jacobi 正交多项式
α，β
u（x）
α，β
+λn
ωα，β（x）u（x）=0；
α，β
其中特征值为 λn =n（n+α+β+1）， n叟0， α，β＞-1.
α，β
性质 3 Jacobi 正交多项式 Jn （x）满足下面
的微分关系式：对 n叟0，α，β＞-1 有
ωα，（β x）Jαn，β（x）＝（－2nn1！）n
dn dxn
ωn+α，n+（β x），
初始条件为：
Baidu Nhomakorabea
α，β
α，β
J0 （x）＝1，J1 （x）＝
1 2
（（α+β+2）x+（α-β））.
α，β
性质 9 Jacobi 正交多项式 Jn （x）满足
a（n 1-x2）ddx
α，β
α，β
α，β
Jn （x）=b（n x）Jn （x）＋cnJn-1（x），
其中 an=（2n+α-β），bn （x）＝n [α－β－（2n+α＋β）x]，cn=2 （n+α）（n+β）.
[8]G. Szeg觟,Orthogonal Polynomials，AMS, Providence，RI， 1959.
[9]J. Bergh and J. L觟fstr觟m.Interpolation Space: An Introduction [M].Springer-Verlag，2003.
Jnγ（αn，β1）=（22nα++β+α1Γ+（βn++1）β+Γ（1）nΓ+（αα++β1+）1） 并且 Jαn，β（-x）=（-1）nJβn，α（x），于是就有
Jαn，β（-x）=（-1）n nΓ（！nΓ（+ββ++11））.
α，β
性质 7 n 次 Jacobi 正交多项式 Jn （x）可以表 示成低阶 Jacobi 多项式的和：
ωα，（β x）Jαn，β（x）＝（－1）2n（mn！n-m）！
收稿日期：2009－06－11 作者简介：赵廷刚（1970—），男，甘肃庆阳人，副教授，博士.研究方向：偏微分方程数值方法.
1
dxm m+α，m+β
n-m
α，β
第一个零次 Jacobi 多项式定义为 J0 （x）＝1.
可以证明，关于 Jacobi 正交多项式的上面三个
关键词：Jacobi 多项式；谱方法；正交多项式
中图分类号：O175.26
文献标识码：A
文章编号：1008－9020（2009）05-001－03
1. 引言 近来，因为谱方法具有很高的数值精度，所以它 被广泛的用于偏微分方程的数值求解中[1-3].谱方法 中常用的正交多项式是 Chebyshev 多项式和 Legendre 多项式，它们都是 Jacobi 正交多项式的特殊情 形.因此，研究 Jacobi 正交多项式的性质对于谱方法 的数值分析极其重要.Jacobi 正交多项式的性质大多 散见于各种文献[1，4-8]. 本文收集了 Jacobi 正交多项式 的一些性质，并给出了一些新的性质. 设 I＝[-1，1]是实直线上的标准区间，定义在 I 上 的正函数
定义是相互等价的[7].
3. Jacobi正交多项式的性质
Jacobi 正交多项式的前三个性质可以直接从
上一节的三个定义中推出.
α，β
∞
性质 1（正交性）Jacobi 正交多项式{Jn （x）}n=0
2
构成了一组 Lωα，（β I）- 正交系，即
α，β α，β
α，β
（Jn
，Jm
） =γ ωα，β
n
δnm ，
姨 ‖u‖ωα，β= （u，u）ωα，β
当 r＞0 为整数时，
燮 燮 H
（I）= r
ωα，β
u∈L 2ωα（，β I）：ddkxuk
∈L 2ωα（，β I），0燮k燮r
它的内积、范数和半范数分别为：
Σ Σ Σ r
（u，v）r，ωα，β=
dku ，dkv dxk dxk
，
ωα，β
k=0
姨 ‖ ‖ ‖ ‖ = u r，ωα，β 姨（u，u）r，ωα，β ，｜u｜r，ωα，β＝
with Applications.Bejing:Science press,2006. [4]R. Askey.Orthogonal Polynomials and Special functions,
Regional Conference Seris in Applied Mathematics,21,SIAM, Philadelphia,1975.
-2（n+1）Jn+1（x），
α，β+1
α，β
（2n+α+β+1）（1＋x）Jn （x）＝2（n+β+1）Jn （x）
α，β
+2（n+1）Jn+1（x），
α，β
α，β
α+1，β
Jαn，β（x）- Jαn＋，β1（x）=C（n 1-x）Jαn+1，β（x），
Jn （1） Jn＋1（1）
Jn （1）
α，β
dku ，dkv dxk dxk
. ωα，β
当 r＞0 为实数时，我们通过内插空间[9]来定义
Hrωα（，β I）.
2. Jacobi 正交多项式的定义
本节我们给出 Jacobi 正交多项式的三种不同
的定义.
∞
燮 燮 定义 1
Jacobi正交多项式
α，β
Jn （x）
n=0
可以通
过正交化代数多项式基底{1，x，x2，…，xn，…}得到，
[6]Guo Benyu. Jacobi approximations in certain Hilbert spaces and their applications to singular differential equations[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications，243（2000）： 373~408.
2
! " Jn
（x）
满足下面的递推关系
n=0
Jαn，β（x）＝（2n+α＋β-12）n（（{ n2+nα+＋αβ＋）（β）（2n2+nα+＋αβ＋-β2－）2）x+α2-β2}
×Jαn-，1β（x）-（2n2+n（αn-+1）α（＋nβ）+（β2-n1）+（α2＋nβ+-α2）＋β）Jαn-，2β（x），n＞1，
其中 δnm 是 Kronecker δ 函数，
α+β+1
α，β
γn
=（2n+2α+βΓ+（1）nΓ+（αn++1）1）Γ（Γ（nn++βα++1）β+1），
Γ（x）表示 Gamma 函数.
α，β
性质 2（微分方程）Jacobi 正交多项式 Jn （x）是
满足下面的微分方程：
d dx
ωα，β（x）ddx
Some Properties of Jacobi Orthogonal Polynomials
d dx
Jαn，β（x）＝（n+α2+β+1）Jαn-＋11，β+1（x），
于是可以递推地得到关系
dk dxk
α，β
Jn （x）=
Γ2（kΓn（+nk++αα++ββ++11））Jαn-+kk，β+k（x），0燮k燮n.
再从性质 2 可以推得
d dx
ωα+k+1，β+k+（1 x）ddx
dk dxk
α，β
α，β+1
Jn （x）
α，β
－
Jn＋1（x）
α，β
=C（n′ 1+x）
Jn （x）
α，β+1
，
Jn （－1） Jn＋1（－1）
Jn （-1）
其中
Cn=
2n+α+β+2 2α+2
，Cn′=
2n+α+β+2 2β+2
.
∞
叟 叟 性质 5
Jacobi 正交多项式
α，β
Jn （x）
n=0
满足下
面的关系