任意角的概念

思考: 思考
1.你的机械表慢了 分钟 你是如何将它校准的 你的机械表慢了5分钟 你是如何将它校准的? 你的机械表慢了 分钟,你是如何将它校准的 2.假如你的手表快了 假如你的手表快了1.25小时 你将如何将它校准 小时,你将如何将它校准 假如你的手表快了 小时 你将如何将它校准? 当时间校准后,分针旋转了多少度 当时间校准后 分针旋转了多少度? 分针旋转了多少度 3.过去我们是如何定义一个角的 角的范围是什么? 过去我们是如何定义一个角的?角的范围是什么 过去我们是如何定义一个角的 角的范围是什么
想一想：根据上述情况 你能对 想一想：根据上述情况,你能对 角的概念给以推广吗? 角的概念给以推广吗
二、任意角的概念: 任意角的概念
说明： 说明：零 角的终边 与始边重 合
正角：按逆时针方向旋转形成的角； 正角：按逆时针方向旋转形成的角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角； 零角：如果一条射线没有作任何旋转，称为零角。 零角：如果一条射线没有作任何旋转，称为零角。
o
它是第三象限的角； 它是第三象限的角；
（2）∵
660 = 300 + 360
o o
o
o
o
∴与 660
角终边相同的角是300 角，
它是第四象限的角； 它是o
；
o o
解：
− 950 12' = 129 48'−3 × 360
o
o
所以与 − 950 12 ' 角终边相同的角 o 是 129 48 ' ， 它是第二象限角． 它是第二象限角．
α∈
Ⅳ
则角的终边落在第几象限就是第几象限角。 则角的终边落在第几象限就是第几象限角。 终边落在第几象限
三、象限角
象限角：角的顶点与原点重合， 象限角：角的顶点与原点重合，角的始 边与X轴的非负半轴 包括原点）重合， 轴的非负半轴（ 边与 轴的非负半轴（包括原点）重合， 那么角的终边（除端点外） 那么角的终边（除端点外）落在第几象 就说这个角是第几象限角。 限，就说这个角是第几象限角。 注意：角的终边在坐标轴上， 注意：角的终边在坐标轴上，就认为这个角 称非象限角或轴线角） 不属于任一象 限（称非象限角或轴线角） 思考：象限角能比较大小吗？ 思考：象限角能比较大小吗？
思考： 思考：如果把角放在直角坐标 系中,那么怎样放既方便又合理 那么怎样放既方便又合理? 系中 那么怎样放既方便又合理
y 终边 终 边 x o 始边
终边 终 边
终 边
α ∈Ⅰ
α ∈Ⅲ
α∈ Ⅱ
1)置角的顶点于原点 置角的顶点于原点
2)始边重合于 轴的非负半轴 始边重合于X轴的 始边重合于 轴的非负半轴
例题分析：
【例1】在 0 ～ 360 间，找出与下 列各角终边相同的角 列各角终边相同的角，并判定它们是第 几象限角． 几象限角
（1） （3）
o o
− 120
o
；（2）
o
660
0
；
− 950 12 `
（1）
− 120
o
o ；
660 ； （2）
0
解： − 120 o = 240 o − 360 o ∵ ∴与 −120 角终边相同的角是 240 角，
考情分析：
《三角函数》本章知识在高中代数中很重要， 三角函数》本章知识在高中代数中很重要， 是高中数学中课时量最大的一章， 是高中数学中课时量最大的一章，是高考必 考的内容，试题大部分与三角函数图象有关. 考的内容，试题大部分与三角函数图象有关 三角函数不等式、三角函数的最值、 三角函数不等式、三角函数的最值、对称问 周期问题都与三角函数的图象有关， 题、周期问题都与三角函数的图象有关，学 习本章首先要掌握三角函数图象， 习本章首先要掌握三角函数图象，重 的图象。 点是 y = A sin( ω x + ϕ ) 的图象。
0
即任一与角 终边相同的角，都可以表示 终边相同的角， 与整数个周角的和。 成角 与整数个周角的和。
说明:终边相同 说明 终边相同 的角不一定相 等,相等的角终 相等的角终 边一定相同
α
α
ａ＋ 在运用终边相同的角的公式： 在运用终边相同的角的公式： K·3600，K ∈ Z 时要注意的几点： 时要注意的几点： (1)k是整数，这个条件不能漏； 是整数，这个条件不能漏； 是整数 (2)ａ是任意角（可正可负也可为零角）； 是任意角（可正可负也可为零角）；
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合 S ， 】 并把 S 中适合不等式 写出来： 素 β 写出来：
− 360o ≤ β < 720o 的元
o
（1） 60 ；（2）
解:（1）, （ ）
o
S
S = {β | β = 60 + k ⋅ 360 , k ∈ Z}
o o
o o o o
；（3） 463o14′ ． −21
思考： ）锐角是第一象限角吗？ 思考：1）锐角是第一象限角吗？ 第一象限角是锐角吗？ 两者关系如何？ 第一象限角是锐角吗？ 两者关系如何？
2) 0
的角是指锐角吗？ ～ 90 的角是指锐角吗？ o 3）小于 90 的角指锐角吗？ ） 的角指锐角吗？
o
o
A } 4） = {第一象限角
B = {锐角} 0
{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°,k∈Z} 90° 360° 360° ∈ 90 360 <α<180° 360 {α|180°＋2k 360°<2α<360°＋2k 360° ,k∈Z} 180° 2k·360 <2α<360° 2k·360 360° 360° ∈ 180
{α|45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180° ,k∈Z} 45° 180° 180° ∈ 45 180 <α/2<90° 180
C = {小于90 的角} 三者关系如何？ 三者关系如何？
探究: 探究
将角按照上述方法放在直角坐标系中后, 将角按照上述方法放在直角坐标系中后 给定一个角,就有唯一的一条终边与之对 给定一个角 就有唯一的一条终边与之对 反之,对于直角坐标系内任意一条射线 应.反之 对于直角坐标系内任意一条射线 反之 OB,以它为终边的角是否唯一 如果不唯 以它为终边的角是否唯一?如果不唯 以它为终边的角是否唯一 那么终边相同的角有什么关系? 一,那么终边相同的角有什么关系 那么终边相同的角有什么关系
o—端点 端点
OA—始边 始边 OB— 终边
记作： 角可以看成平面内一条射线 记作： 绕着端点从一个位置旋转到另一 角 α 或 个位置所成的图形． 个位置所成的图形． 简记： 简记：
α
∠α；
过去我们只研究0 范围的角,但现实中 过去我们只研究 0～3600范围的角 但现实中 还有其他角.你能举例说明吗 你能举例说明吗? 还有其他角 你能举例说明吗
o o o
−21o +1×360o = 339o ,
′ + k ⋅ 360o , k ∈ Z } 3） （3）S = { β | β = 363 14
o
−21 + 2× 260 = 699
o o
o
S 中适合
o
的元素是
′ − 2×360o = −356o46′, 36314
o o 36314′ −1×360o = 314′, o ′ + 0×360o = 36314′. 36314 o
五、课堂练习
课本 P5练习4、5
P7
六、课时小结
1.正角、负角、零角的定义 正角、负角、 正角 2.象限角、非象限角的定义 象限角、 象限角 3.终边相同的角的集合的书写及意义 终边相同的角的集合的书写及意义
七、作业： 作业：
1.第9页习题 第 页习题 页习题1.1 第 1. 2. 3题. 题 2.完成课时练习本节习题。 完成课时练习本节习题。 完成课时练习本节习题
y -3300 3900
300
x
o
300=
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600 －3300=300－3600 =300－1x3600 与ａ终边相同的角的一般形式为 300+2x3600 , 300+3x3600 ,
…,
300－2x3600 300－3x3600
…,
练习：求与3900°终边相同的最小正角和 练习：求与3900° 3900 最大负角. 最大负角.
300° 60° 300°，-60°.
【例3】用集合表示： 】用集合表示： 轴的正半轴上的角的集合． （1）终边落在 y 轴的正半轴上的角的集合． ） 轴上的角的集合． （2）终边落在 y 轴上的角的集合． ） 变式：1） 变式：1）终边落在
而形成角的旋转方 而形成角的旋转方向也有顺时针与逆时针的不 如两个齿轮的旋转. 同,如两个齿轮的旋转 如两个齿轮的旋转
因此,要知道角的形成过程 必须既要知道旋转量 因此 要知道角的形成过程,必须既要知道旋转量 要知道角的形成过程 必须既要知道旋转量, 又要知道旋转方向.这就需要对角的概念进行推广. 这就需要对角的概念进行推广 又要知道旋转方向 这就需要对角的概念进行推广
x
轴的角的集合
2）终边落在一、三象限角平分线上； ）终边落在一、三象限角平分线上； 3）第一象限角的集合； ）第一象限角的集合； 4）终边落在某个区域内的角的集合； ）终边落在某个区域内的角的集合；
思考：如果α是第二象限的角，那么2α、 思考：如果α是第二象限的角，那么2α、 2α α/2分别是第几象限的角 分别是第几象限的角？ α/2分别是第几象限的角？
ａ＋K·3600，K ∈ Z