高等结构动力学2_模态综合法(动态子结构方法)
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a J
Φ
a p b Φ J b {0} p
[C ]{ p} {0}
d行
(n1+n2)个 p a
所以，有：
[C dd ]1[C dI ] { p} { p I } [ S ]{q} [I ]
独立的模态坐标
(n1+n2-d)个
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ], [ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
对于一般的动力学分析问题，也可以得到缩聚方程为：
} [C ]*{q } [ K ]*{q} {R}* [ M ]*{q
[C ]* [ S ]T [C ][ S ], {R}* [ S ]T {R}
动态子结构方法的基本思想：
按照工程的观点或结构的几何轮廓，遵循某些原则要求，把完整的大型复 杂结构人为地抽象成若干个子结构。首先对自由度少得多的各个子结构进 行动态分析，然后经由各种方案，把它们的主要模态信息予以保留，以综 合总体结构的动态特性 总系统（n个自由度） 子结构1 dd ]1[C dI ] [S ] [ I ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
{ p} b p d个 pd 设{p}中独立广义坐标为{pI}，非独立广义坐标为{pd}： { p} p I (n1+n2-d)个 pd { pd } [C dd ]1[C dI ]{ p I } 可写为： [C dd ] [C dI ] {0} pI
子结构1 固定 子结构2
自由界面模态综合法：子结构交界面全部为自由
子结构1 自由 子结构2
子结构1 k m k m k m k
子结构2 k m m k
固定界面模态综合法：
子结构1 固定 子结构2
自由界面模态综合法：
子结构1 m/2 自由 m/2 子结构2
•模态综合法的基本步骤
以一个例子说明模态综合法的基本步骤
1 V { p}T [ K ]{ p} 2 [ 0] b [M ] [ K ]a [K ] [ 0]
pa { p} b (n1+n2)个 p
[ 0] b [K ]
[M]和[K]实际上是独立处理各子结构后得到的，而每个子结构的界面自由 度{uJa}、{uJb}不是相互独立的，因此坐标{p}中的元素不是相互独立的，不 独立坐标的个数d恒等于界面自由度数，例如上图中d＝3 由界面连续性条件： {u J } {u J }
[ 0] b [K ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
1 }T [ M ]{ p } T {p 2 [ M ]a [M ] [ 0]
动态子结构方法/模态综合法
• 1. 模态综合法的理论基础及基本概念 • 2. 子结构的各种模态 • 3. 固定界面模态综合法 • 4. 自由界面模态综合法
董兴建 上海交通大学 振动，冲击，噪声研究所 机械大楼A832
• 模态综合法的进一步阐述
有限单元法可成功将一连续系统转化为一个多自由度系统问题
可求得：系统的固有频率，振型（模态），动力响应
1 }T [ M ]{ p } T {p 2 [ M ]a [M ] [ 0]
(n1+n2)个
1 V { p}T [ K ]{ p} 2 [ 0] [ M ]b
pa { p} b p
{ p} [ S ]{q}
(n1+n2-d)个
[ K ]a [0] [K ] b [ 0 ] [ ] K [C dd ]1[C dI ] [S ] [I ]
系统的无阻尼自由振动的运动方程：
} [ K ]*{q} {0} [ M ]*{q
广义特征值问题：
[ K ]*{Φ} [ M ]*{Φ}
(n1+n2-d)
新方程的阶数等于所选取的全部保留模态的总数减去对接自由度数
系统的无阻尼自由振动的运动方程：
} [ K ]*{q} {0} [ M ]*{q
…
子结构n
（2）子结构模态分析
总系统（m个自由度，m<n） 子结构1 子结构2
（3）综合子结构而成 总系统方程并求解 （4）再现子结构
…
子结构n
再现子结构：于整体结构中再现由模态坐标返回到物理坐标后的各 子结构，以得到实际结构的主振型和位移及应力等动态响应
•模态综合法理论基础－Ritz法
取假设模态为若干个独立(线性无关)的假设振型的线性组合
a b
[ K ]a [Φ ]aT [ k a ][Φ ]a , [ K ]b [Φ ]bT [ k b ][Φ ]b
[ M ]a [M ] [ 0] [ 0] b [M ]
(n1+n2)个
pa { p} b p
[ K ]a [K ] [ 0]
1 a T a 1 b T b b a } [ m ]{u } T T T {u } [ m ]{u } {u 2 2 1 a T a 1 b T b b a b a V V V {u } [ k ]{u } {u } [ k ]{u } 2 2 a b 选择恰当的子结构的保留模态来构成子结构的李兹基： [Φ ] [Φ ]
界面
uJ uI
uI
整体结构
两个子结构a、b
每个子结构的自由度分为内部自由度{uI}和界面自由度{uJ}：
a u a I {u } a , u J b u b I {u } b u J
a b 根据界面连续性条件，有： {u J } {u J }
由力的对接条件，有：
X = a1f1 + a2f2 + + as fs s <n = Da T é ù a = ê a1 a2 as ú D = éê f1 f2 fs ùú ë û ë û
带入瑞利商
X TKX R(X ) = T X MX
原 n 特征值问题转化为近似的 s 阶特征值问题
现代工程结构特征：庞大，复杂
飞机，大型轮船，高层建筑，大型机械，航天器 系统自由度成千上万阶，甚至几十万阶 传统的动力特性和动力响应分析往往十分困难
对策：从量级上大幅缩减整体结构自由度而不改变问题的本质 模态综合法或动态子结构法
模态综合法的发展 －上世纪 60年代初，人们为了解决大型复杂结构系统整体动力 分析困难问题而提出了模态综合技术 －Hurty和 Glad Well等人于上世纪 60年代初奠定了模态综合技 术的理论基础 － 60 年 代 末 至 70 年 代 间 ， Craig 和 Bampton 、 Rubin 、 Hou 、 Hintz等人先后从各个不同侧面对古典的模态综合技术进行了 改进和总结 －我国学者王文亮、王永岩、张汝清等人也做了大量研究工作 ，使模态综合方法得到了进一步发展 －模态综合法主要分为固定界面模态综合法和自由界面模态综 合法
系统势能： V
1 系统动能： T {q }T [ M ]*{q } 2
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ]
1 {q}T [ K ]*{q} 2
[ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
1 a T a 1 b T b b a } [ m ]{u } T T T {u } [ m ]{u } {u 2 2 1 1 V V a V b {u a }T [ k a ]{u a } {u b }T [ k b ]{u b } 2 2 1 1 a T 1 b T a a b b } [M ] { p } {p } [M ] { p } {p }T [ M ]{ p } T {p 2 2 2 1 1 1 V { p a }T [ K ]a { p a } { p b }T [ K ]b { p b } { p}T [ K ]{ p} 2 2 2 其中： [ M ]a [Φ ]aT [ m a ][Φ ]a , [ M ]b [Φ ]bT [ m b ][Φ ]b
{ f Ja } { f Jb } {0}
界面内力合力为零
界面
uJ uI
uI
整体结构
a u a I {u } a , u J b u b I {u } b u J
子结构a、b
系统动能： T T a T b
1 a T a 1 b T b b a } [ m ]{u } {u } [ m ]{u } {u 2 2
( K - w2M )a = 0
有如下结论
K = DTKD wi2 = wi2 Xi = Dai XiTMX j = 0 i = 1,2,s
M = DTMD
i = 1,2,s XiTKX j = 0 i¹j
•模态综合法的基本概念
如图所示： 拆分为两个子结构
子结构1 子结构2
固定界面模态综合法：子结构交界面全部为固定约束
(n1+n2)个
[C dd ]1[C dI ] [S ] { p} [ S ]{q} [ I ] 1 1 }T [ M ]*{q } T {q V {q}T [ K ]*{q} 2 2
(n1+n2-d)个
n1个
n2个
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ] [ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
a b b [Φ Ja ]{ p a } [Φ J ]{ p b }
Φ
a J
p Φ b {0} p
b J
a
d个
d个
d行
d行
[C ]{ p} {0}
[C ] Φ Ja
d行
b ΦJ
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
a b
做模态坐标变换： {u } [Φ ] { p }, {u } [Φ ] { p }
a a a b b b
n1个
n2个
n1不一定与n2相等
称为第一次坐标变换
两个子结构的模态坐标 通常子结构保留模态的个数少于它的自由度，即 {pa}的分量数小于 {ua} 的 分量数，也即模态坐标的数量小于物理坐标的数量 第一次坐标变换：物理坐标 模态坐标
两个子结构的质量阵
系统势能： V V a V b
1 a T a 1 b T b b a {u } [ k ]{u } {u } [ k ]{u } 2 2
两个子结构的刚度阵
uJ uI
uI
a u a I {u } a , u J b u b I {u } b u J
Φ
a p b Φ J b {0} p
[C ]{ p} {0}
d行
(n1+n2)个 p a
所以，有：
[C dd ]1[C dI ] { p} { p I } [ S ]{q} [I ]
独立的模态坐标
(n1+n2-d)个
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ], [ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
对于一般的动力学分析问题，也可以得到缩聚方程为：
} [C ]*{q } [ K ]*{q} {R}* [ M ]*{q
[C ]* [ S ]T [C ][ S ], {R}* [ S ]T {R}
动态子结构方法的基本思想：
按照工程的观点或结构的几何轮廓，遵循某些原则要求，把完整的大型复 杂结构人为地抽象成若干个子结构。首先对自由度少得多的各个子结构进 行动态分析，然后经由各种方案，把它们的主要模态信息予以保留，以综 合总体结构的动态特性 总系统（n个自由度） 子结构1 dd ]1[C dI ] [S ] [ I ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
{ p} b p d个 pd 设{p}中独立广义坐标为{pI}，非独立广义坐标为{pd}： { p} p I (n1+n2-d)个 pd { pd } [C dd ]1[C dI ]{ p I } 可写为： [C dd ] [C dI ] {0} pI
子结构1 固定 子结构2
自由界面模态综合法：子结构交界面全部为自由
子结构1 自由 子结构2
子结构1 k m k m k m k
子结构2 k m m k
固定界面模态综合法：
子结构1 固定 子结构2
自由界面模态综合法：
子结构1 m/2 自由 m/2 子结构2
•模态综合法的基本步骤
以一个例子说明模态综合法的基本步骤
1 V { p}T [ K ]{ p} 2 [ 0] b [M ] [ K ]a [K ] [ 0]
pa { p} b (n1+n2)个 p
[ 0] b [K ]
[M]和[K]实际上是独立处理各子结构后得到的，而每个子结构的界面自由 度{uJa}、{uJb}不是相互独立的，因此坐标{p}中的元素不是相互独立的，不 独立坐标的个数d恒等于界面自由度数，例如上图中d＝3 由界面连续性条件： {u J } {u J }
[ 0] b [K ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
1 }T [ M ]{ p } T {p 2 [ M ]a [M ] [ 0]
动态子结构方法/模态综合法
• 1. 模态综合法的理论基础及基本概念 • 2. 子结构的各种模态 • 3. 固定界面模态综合法 • 4. 自由界面模态综合法
董兴建 上海交通大学 振动，冲击，噪声研究所 机械大楼A832
• 模态综合法的进一步阐述
有限单元法可成功将一连续系统转化为一个多自由度系统问题
可求得：系统的固有频率，振型（模态），动力响应
1 }T [ M ]{ p } T {p 2 [ M ]a [M ] [ 0]
(n1+n2)个
1 V { p}T [ K ]{ p} 2 [ 0] [ M ]b
pa { p} b p
{ p} [ S ]{q}
(n1+n2-d)个
[ K ]a [0] [K ] b [ 0 ] [ ] K [C dd ]1[C dI ] [S ] [I ]
系统的无阻尼自由振动的运动方程：
} [ K ]*{q} {0} [ M ]*{q
广义特征值问题：
[ K ]*{Φ} [ M ]*{Φ}
(n1+n2-d)
新方程的阶数等于所选取的全部保留模态的总数减去对接自由度数
系统的无阻尼自由振动的运动方程：
} [ K ]*{q} {0} [ M ]*{q
…
子结构n
（2）子结构模态分析
总系统（m个自由度，m<n） 子结构1 子结构2
（3）综合子结构而成 总系统方程并求解 （4）再现子结构
…
子结构n
再现子结构：于整体结构中再现由模态坐标返回到物理坐标后的各 子结构，以得到实际结构的主振型和位移及应力等动态响应
•模态综合法理论基础－Ritz法
取假设模态为若干个独立(线性无关)的假设振型的线性组合
a b
[ K ]a [Φ ]aT [ k a ][Φ ]a , [ K ]b [Φ ]bT [ k b ][Φ ]b
[ M ]a [M ] [ 0] [ 0] b [M ]
(n1+n2)个
pa { p} b p
[ K ]a [K ] [ 0]
1 a T a 1 b T b b a } [ m ]{u } T T T {u } [ m ]{u } {u 2 2 1 a T a 1 b T b b a b a V V V {u } [ k ]{u } {u } [ k ]{u } 2 2 a b 选择恰当的子结构的保留模态来构成子结构的李兹基： [Φ ] [Φ ]
界面
uJ uI
uI
整体结构
两个子结构a、b
每个子结构的自由度分为内部自由度{uI}和界面自由度{uJ}：
a u a I {u } a , u J b u b I {u } b u J
a b 根据界面连续性条件，有： {u J } {u J }
由力的对接条件，有：
X = a1f1 + a2f2 + + as fs s <n = Da T é ù a = ê a1 a2 as ú D = éê f1 f2 fs ùú ë û ë û
带入瑞利商
X TKX R(X ) = T X MX
原 n 特征值问题转化为近似的 s 阶特征值问题
现代工程结构特征：庞大，复杂
飞机，大型轮船，高层建筑，大型机械，航天器 系统自由度成千上万阶，甚至几十万阶 传统的动力特性和动力响应分析往往十分困难
对策：从量级上大幅缩减整体结构自由度而不改变问题的本质 模态综合法或动态子结构法
模态综合法的发展 －上世纪 60年代初，人们为了解决大型复杂结构系统整体动力 分析困难问题而提出了模态综合技术 －Hurty和 Glad Well等人于上世纪 60年代初奠定了模态综合技 术的理论基础 － 60 年 代 末 至 70 年 代 间 ， Craig 和 Bampton 、 Rubin 、 Hou 、 Hintz等人先后从各个不同侧面对古典的模态综合技术进行了 改进和总结 －我国学者王文亮、王永岩、张汝清等人也做了大量研究工作 ，使模态综合方法得到了进一步发展 －模态综合法主要分为固定界面模态综合法和自由界面模态综 合法
系统势能： V
1 系统动能： T {q }T [ M ]*{q } 2
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ]
1 {q}T [ K ]*{q} 2
[ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
1 a T a 1 b T b b a } [ m ]{u } T T T {u } [ m ]{u } {u 2 2 1 1 V V a V b {u a }T [ k a ]{u a } {u b }T [ k b ]{u b } 2 2 1 1 a T 1 b T a a b b } [M ] { p } {p } [M ] { p } {p }T [ M ]{ p } T {p 2 2 2 1 1 1 V { p a }T [ K ]a { p a } { p b }T [ K ]b { p b } { p}T [ K ]{ p} 2 2 2 其中： [ M ]a [Φ ]aT [ m a ][Φ ]a , [ M ]b [Φ ]bT [ m b ][Φ ]b
{ f Ja } { f Jb } {0}
界面内力合力为零
界面
uJ uI
uI
整体结构
a u a I {u } a , u J b u b I {u } b u J
子结构a、b
系统动能： T T a T b
1 a T a 1 b T b b a } [ m ]{u } {u } [ m ]{u } {u 2 2
( K - w2M )a = 0
有如下结论
K = DTKD wi2 = wi2 Xi = Dai XiTMX j = 0 i = 1,2,s
M = DTMD
i = 1,2,s XiTKX j = 0 i¹j
•模态综合法的基本概念
如图所示： 拆分为两个子结构
子结构1 子结构2
固定界面模态综合法：子结构交界面全部为固定约束
(n1+n2)个
[C dd ]1[C dI ] [S ] { p} [ S ]{q} [ I ] 1 1 }T [ M ]*{q } T {q V {q}T [ K ]*{q} 2 2
(n1+n2-d)个
n1个
n2个
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ] [ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
a b b [Φ Ja ]{ p a } [Φ J ]{ p b }
Φ
a J
p Φ b {0} p
b J
a
d个
d个
d行
d行
[C ]{ p} {0}
[C ] Φ Ja
d行
b ΦJ
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
a b
做模态坐标变换： {u } [Φ ] { p }, {u } [Φ ] { p }
a a a b b b
n1个
n2个
n1不一定与n2相等
称为第一次坐标变换
两个子结构的模态坐标 通常子结构保留模态的个数少于它的自由度，即 {pa}的分量数小于 {ua} 的 分量数，也即模态坐标的数量小于物理坐标的数量 第一次坐标变换：物理坐标 模态坐标
两个子结构的质量阵
系统势能： V V a V b
1 a T a 1 b T b b a {u } [ k ]{u } {u } [ k ]{u } 2 2
两个子结构的刚度阵
uJ uI
uI
a u a I {u } a , u J b u b I {u } b u J