Cauchy-Schwarz不等式在F-范数的范数定义证明中的应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
■—一
定义１
对于向 ＝ ， ） 当Ｐ 时，Ｉ ＝ ∑ 量 （， …， ， １ Ｉ 满足向 数 ｘ ｌ 量范 定义， 为向 称 量
Ｘ Ｐ 范数．其 中最常用的情形是 Ｐ＝ ， ， ｏ 的 一 １ ２ ｏ． Ｐ一 范数的一个经典结果为 Ｈ １ ｒ ６ ｅ 不等式．它的一个特殊情况为 Ｃ ｕｈ—ｃｗ ｒ ｄ ａｃｙＳｈ ａ ｚ不等式 ，即积式
文章编号 ：１０ — ８ １（ ０ ０）０ — ０ ７ ０ ０７ ９ ３ ２ １ ４ ０３ — ２
Ｃ ｕｈ — ｃｗ ｒ不等式在 Ｆ 范数的 ａｃｙ Ｓｈ ａｚ 一
范数定义证 明 中的应用
方秀男 ，汤凤香
（ 佳木 斯大 学 理学 院 ，黑龙 江 佳木 斯 １４ ０ ５０７）
摘 要 ：利用 Ｃ ｕｈ—ｃｗ ｒ ａｃｙＳｈ ａ ｚ不等 式给 出了 Ｆ 范数 满足 范数 定 义的证 明方 法． 一
） ＩｉＩ 及 式√ ＋， ＝ ｊ √ ，）√ ，） Ｉ ＋ ｌ ＝ － ｌ 和 （ ． ） ＋Ｉ （ ＋（ Ｙ＝ｘ ｌ ． Ｙ ｌ ｌ ＜ ｙ ｄ ） ， ＋ ， Ｉ ｙ ｌ ｌ
与向量范数定义相 比，矩阵范数除了需要满足向量范数相应 的条件外 ，还需满足相容性条件．
Ｉ ｊ． 据Ｃ ｃ —ｃ ａ 不 式 积 有 ｙ ｌｙ ｌ Ｉ ＝ ＝ ， 根 ａ ｈ Ｓ ｗ ｚ 等 的 式 （ ＞ｘ ｌｌｌ （， ） ｕｙ ｈ ｒ ， －Ｔ－ ０ｌ ￣ ：ｌ ｙ ：
令 Ｘ＝（１ …， １， ２， ａ 日１ ， ａ ａ１ …， ２，… ，ａ … ， ） Ｙ＝（ … ， １ ｂ１… ， ２， ， ｎ， ， ） ａ 和 ｂｎ ２， ｂ … ｂｌ… ｂ ， ，
百度文库
高 师 理 科 学 刊
第 ３ Ｏ卷
定 Ｆ ｂ ｉ 范 定义 足Ｉ＋ Ｉ－４， Ｉ ， ， ｅ ） 理１ ｒｅｕ 数 式满 ｝ Ｂ， １ ＋ （ Ｂ ｏ ｎｓ Ａ ＜ １ Ｎ Ａ Ｒ 证明 记Ａ （ ） ，Ｂ （ ～， 义内 Ａ 曰 ＝ ＝口 ＝ ） 定 积（， ）
侧 Ａ厕 ＝ 窆 Ｉ易这 义 积 符 ｆ 阿 Ｉ ， ＝ ’检 样 的 形 容验 定 内式
第 ３ 卷 第 ４ ０ 期
２ １ ０ ０拄 ７ 月
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ａ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ａ ｈ ｒ Ｃ Ｈ ｇ ｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ｌ ｉｎ ｅｏ ｃ ｅｓ ｎ ｏＳ Ｔｅ ｏ ｅ ｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｙ
Ｖ １３ Ｎｏ４ ｏ．Ｏ ．
Ｊ１ ２ ０ ｕ ． ０１
范数定义式并不是算子范数．
『Ｉ显然满足正定性和齐次性， Ｉｌ Ａ 定理 １２ － 分别证明 其满足三角不等式和相容性关系式．
收稿 日期 ：２ １－ ４－１ ０ ００ － ０
基金项 目 ：佳木斯 大学 科研 基金 项 目 （ ２ ０－ ５ ） Ｌ ０ ８０ ９ －
作者简介：方秀男 （ ９ ７ ，男，黑龙江汤原人，讲师，硕士 ，从事数值计算研究．Ｅ ｍ ｌ ｘｔ＠ｓ ａ ｏ １７一） － ａ ：ｆ ｆ ｉ ． ｍ ｌ ｎｘ ｎｃ
定义 ２】 如果对Ｒ 上任一矩阵Ａ， ［ ４ ３ 对应一个实数ｆｌ ＪＩ Ａ满足以下条件：
（ ）Ａ ０ 当 １ ＩＩ ， 且仅当Ａ ０ ＩＩ０ Ｉ ＝ 时，Ｉ ＝ ； Ａ Ｉ （ ） ＝￣ Ｉ ｅ ） ２ Ｉ ＩＩ （ ； ＇Ａ ａ Ｒ （）Ａ Ｂ－Ａ＋Ｂ（， Ｒ ； ３ Ｉ＋ ＩＩＩ ＪＩ ∈ ） ＩＩ［Ｉ Ａ ￣ Ｉ （）Ｉ ＩＩＩ Ｉ ｑ ， Ｒ ． ４ ＩＢ￣ＡＩ （ ∈ ～） Ａ ｌＩＩ Ａ Ｒ Ｂ
则Ａ ）窆 （ ＝ ，
１
Ｖ ＝】口Ｙ∑＝１６， 是Ａ 曰 ＋）Ａ ） ） （ ）ＡＡ （ ） １ ∑ｏｉ１∑ ／∑ ；ｉ１∑ 于 （ ， 曰 （Ａ （ ＋Ａ ， ＋ ， ＋Ｖ∑爿 ２＝ 爿 ＝ １ ｉ ∑ ／ ｉ ＝ ＋ Ａ ＝ ， ＋ ， ２， （ ）曰 ２＝１』 口／ ６ ｆ 、 ∑ ＝ １ ｉ Ｖ ］ 从 有 『 而 ，
√ ＿ ＿
厕
＋ 厕
， ｌ ，Ｕ， ｌ， 即Ａ － ｌ Ｉ ． ｌ ＋ － ＋ｌ Ａ 曰
证毕．
定 ｒｅｕ范 义 理２ Ｆ ｂ ｉ 数定 式满足ｌ －Ａ， Ｉ（， Ｒ ． ｏ ｎｓ １ ￣ ＩＩ， Ｂ ） Ａ 圳， ＩＩＢ Ａ ｅ Ｉ
最 常用 的矩 阵范 数是 矩 阵的算 子范数 ．
定 ３ 对于 定矩阵Ａ Ｒ 义 给 ∈ ～，Ｉ ， 舢ａｘ Ｉ ＝ｍ Ａ Ｕ
，
＝ ｍ
ａＡ ｌＡ Ｒ 在 矩阵范 定义的 ｘ （ ｘＰ ∈ 满足 ｌ 数
，
条件下称为矩阵 Ａ的算子范数．
■ —＿
＝１ Ｊ＝Ｊ
￣ Ｉ ＝２ Ｉ ∈ 称 矩 Ａ Ｆ ｅｓ 数 义 ， 易 明 阵 Ｆ ｅｓ Ａ １ ２ ‘ Ｒ ）为 阵 的 ｒｎ 范 定 式 容 证 矩 的 ｒｎ ＩＹ Ｉ／ Ｆ ｉ （ Ａ ｏｉ ｂｕ ｏｉ ｂｕ
关键词 ：矩阵范数 ；Ｆ 范数 ；Ｃ ｕｈ— ｃｗ ｒ不等式 一 ａｃｙＳｈ ａ ｚ 中图分类 号 ：０ ５ ．１ １ １ 文 献标识 码 ：Ａ ２ ｄ ｉ ０３６６ｉ ｎ１０— ８ １ ０００ ．１ ｏ：１．９９ ．ｓ． ７ ９３ ． １． ０２ ｓ ０ ２ ４
向量不等式 中的 Ｃ ｕｈ— ｃｗｒ 不等式在数学科学的各个领域 中有着极其广泛的应用 ， ａｃｙ Ｓｈ ａ ｚ 而矩阵范数理 论在矩阵分析和数值计算中也 占据着十分重要的地位．Ｆ 范数是矩阵范数的一种 ， 一 近年来众多学者尝试利 用其解决各种问题ｎ ．Ｆ 范数作为一类特殊的矩阵范数 ， 一 有着其特殊的定义和性质 ， 对于其范数定义性的 证明就显得很重要 ，本文利用 Ｃ ｕｈ —ｃｗ ｒ不等式提供了 Ｆ 范数的范数定义证明的方法． ａｃｙＳｈ ａ ｚ 一
定义１
对于向 ＝ ， ） 当Ｐ 时，Ｉ ＝ ∑ 量 （， …， ， １ Ｉ 满足向 数 ｘ ｌ 量范 定义， 为向 称 量
Ｘ Ｐ 范数．其 中最常用的情形是 Ｐ＝ ， ， ｏ 的 一 １ ２ ｏ． Ｐ一 范数的一个经典结果为 Ｈ １ ｒ ６ ｅ 不等式．它的一个特殊情况为 Ｃ ｕｈ—ｃｗ ｒ ｄ ａｃｙＳｈ ａ ｚ不等式 ，即积式
文章编号 ：１０ — ８ １（ ０ ０）０ — ０ ７ ０ ０７ ９ ３ ２ １ ４ ０３ — ２
Ｃ ｕｈ — ｃｗ ｒ不等式在 Ｆ 范数的 ａｃｙ Ｓｈ ａｚ 一
范数定义证 明 中的应用
方秀男 ，汤凤香
（ 佳木 斯大 学 理学 院 ，黑龙 江 佳木 斯 １４ ０ ５０７）
摘 要 ：利用 Ｃ ｕｈ—ｃｗ ｒ ａｃｙＳｈ ａ ｚ不等 式给 出了 Ｆ 范数 满足 范数 定 义的证 明方 法． 一
） ＩｉＩ 及 式√ ＋， ＝ ｊ √ ，）√ ，） Ｉ ＋ ｌ ＝ － ｌ 和 （ ． ） ＋Ｉ （ ＋（ Ｙ＝ｘ ｌ ． Ｙ ｌ ｌ ＜ ｙ ｄ ） ， ＋ ， Ｉ ｙ ｌ ｌ
与向量范数定义相 比，矩阵范数除了需要满足向量范数相应 的条件外 ，还需满足相容性条件．
Ｉ ｊ． 据Ｃ ｃ —ｃ ａ 不 式 积 有 ｙ ｌｙ ｌ Ｉ ＝ ＝ ， 根 ａ ｈ Ｓ ｗ ｚ 等 的 式 （ ＞ｘ ｌｌｌ （， ） ｕｙ ｈ ｒ ， －Ｔ－ ０ｌ ￣ ：ｌ ｙ ：
令 Ｘ＝（１ …， １， ２， ａ 日１ ， ａ ａ１ …， ２，… ，ａ … ， ） Ｙ＝（ … ， １ ｂ１… ， ２， ， ｎ， ， ） ａ 和 ｂｎ ２， ｂ … ｂｌ… ｂ ， ，
百度文库
高 师 理 科 学 刊
第 ３ Ｏ卷
定 Ｆ ｂ ｉ 范 定义 足Ｉ＋ Ｉ－４， Ｉ ， ， ｅ ） 理１ ｒｅｕ 数 式满 ｝ Ｂ， １ ＋ （ Ｂ ｏ ｎｓ Ａ ＜ １ Ｎ Ａ Ｒ 证明 记Ａ （ ） ，Ｂ （ ～， 义内 Ａ 曰 ＝ ＝口 ＝ ） 定 积（， ）
侧 Ａ厕 ＝ 窆 Ｉ易这 义 积 符 ｆ 阿 Ｉ ， ＝ ’检 样 的 形 容验 定 内式
第 ３ 卷 第 ４ ０ 期
２ １ ０ ０拄 ７ 月
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ａ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ａ ｈ ｒ Ｃ Ｈ ｇ ｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ｌ ｉｎ ｅｏ ｃ ｅｓ ｎ ｏＳ Ｔｅ ｏ ｅ ｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｙ
Ｖ １３ Ｎｏ４ ｏ．Ｏ ．
Ｊ１ ２ ０ ｕ ． ０１
范数定义式并不是算子范数．
『Ｉ显然满足正定性和齐次性， Ｉｌ Ａ 定理 １２ － 分别证明 其满足三角不等式和相容性关系式．
收稿 日期 ：２ １－ ４－１ ０ ００ － ０
基金项 目 ：佳木斯 大学 科研 基金 项 目 （ ２ ０－ ５ ） Ｌ ０ ８０ ９ －
作者简介：方秀男 （ ９ ７ ，男，黑龙江汤原人，讲师，硕士 ，从事数值计算研究．Ｅ ｍ ｌ ｘｔ＠ｓ ａ ｏ １７一） － ａ ：ｆ ｆ ｉ ． ｍ ｌ ｎｘ ｎｃ
定义 ２】 如果对Ｒ 上任一矩阵Ａ， ［ ４ ３ 对应一个实数ｆｌ ＪＩ Ａ满足以下条件：
（ ）Ａ ０ 当 １ ＩＩ ， 且仅当Ａ ０ ＩＩ０ Ｉ ＝ 时，Ｉ ＝ ； Ａ Ｉ （ ） ＝￣ Ｉ ｅ ） ２ Ｉ ＩＩ （ ； ＇Ａ ａ Ｒ （）Ａ Ｂ－Ａ＋Ｂ（， Ｒ ； ３ Ｉ＋ ＩＩＩ ＪＩ ∈ ） ＩＩ［Ｉ Ａ ￣ Ｉ （）Ｉ ＩＩＩ Ｉ ｑ ， Ｒ ． ４ ＩＢ￣ＡＩ （ ∈ ～） Ａ ｌＩＩ Ａ Ｒ Ｂ
则Ａ ）窆 （ ＝ ，
１
Ｖ ＝】口Ｙ∑＝１６， 是Ａ 曰 ＋）Ａ ） ） （ ）ＡＡ （ ） １ ∑ｏｉ１∑ ／∑ ；ｉ１∑ 于 （ ， 曰 （Ａ （ ＋Ａ ， ＋ ， ＋Ｖ∑爿 ２＝ 爿 ＝ １ ｉ ∑ ／ ｉ ＝ ＋ Ａ ＝ ， ＋ ， ２， （ ）曰 ２＝１』 口／ ６ ｆ 、 ∑ ＝ １ ｉ Ｖ ］ 从 有 『 而 ，
√ ＿ ＿
厕
＋ 厕
， ｌ ，Ｕ， ｌ， 即Ａ － ｌ Ｉ ． ｌ ＋ － ＋ｌ Ａ 曰
证毕．
定 ｒｅｕ范 义 理２ Ｆ ｂ ｉ 数定 式满足ｌ －Ａ， Ｉ（， Ｒ ． ｏ ｎｓ １ ￣ ＩＩ， Ｂ ） Ａ 圳， ＩＩＢ Ａ ｅ Ｉ
最 常用 的矩 阵范 数是 矩 阵的算 子范数 ．
定 ３ 对于 定矩阵Ａ Ｒ 义 给 ∈ ～，Ｉ ， 舢ａｘ Ｉ ＝ｍ Ａ Ｕ
，
＝ ｍ
ａＡ ｌＡ Ｒ 在 矩阵范 定义的 ｘ （ ｘＰ ∈ 满足 ｌ 数
，
条件下称为矩阵 Ａ的算子范数．
■ —＿
＝１ Ｊ＝Ｊ
￣ Ｉ ＝２ Ｉ ∈ 称 矩 Ａ Ｆ ｅｓ 数 义 ， 易 明 阵 Ｆ ｅｓ Ａ １ ２ ‘ Ｒ ）为 阵 的 ｒｎ 范 定 式 容 证 矩 的 ｒｎ ＩＹ Ｉ／ Ｆ ｉ （ Ａ ｏｉ ｂｕ ｏｉ ｂｕ
关键词 ：矩阵范数 ；Ｆ 范数 ；Ｃ ｕｈ— ｃｗ ｒ不等式 一 ａｃｙＳｈ ａ ｚ 中图分类 号 ：０ ５ ．１ １ １ 文 献标识 码 ：Ａ ２ ｄ ｉ ０３６６ｉ ｎ１０— ８ １ ０００ ．１ ｏ：１．９９ ．ｓ． ７ ９３ ． １． ０２ ｓ ０ ２ ４
向量不等式 中的 Ｃ ｕｈ— ｃｗｒ 不等式在数学科学的各个领域 中有着极其广泛的应用 ， ａｃｙ Ｓｈ ａ ｚ 而矩阵范数理 论在矩阵分析和数值计算中也 占据着十分重要的地位．Ｆ 范数是矩阵范数的一种 ， 一 近年来众多学者尝试利 用其解决各种问题ｎ ．Ｆ 范数作为一类特殊的矩阵范数 ， 一 有着其特殊的定义和性质 ， 对于其范数定义性的 证明就显得很重要 ，本文利用 Ｃ ｕｈ —ｃｗ ｒ不等式提供了 Ｆ 范数的范数定义证明的方法． ａｃｙＳｈ ａ ｚ 一